第1章 学案15 章末复习提升课 空间向量与立体几何-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

章未复习提升课学案15 学案15 章末复习提升课 听 网络构建 应用体验2已知a=(2,-2,2),a十b=(6,-3,2). 记 空间向量的定 (1)求向量b的坐标； 空间向量 义及其表示 (2)设向量c=(2,m,n),c∥(b一a),求cl; 的概念及 空间向量运算的定 其运算 空间向量的 义及其几何意义 (3)若(ka十b)⊥(a-2b),求k的值 线性运算和 数量积运算 空间向量运算的运 算律 空间向量基本定理 空间向量基本定 理与空间向量运 空间直角坐标系 算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 用空间向 用空间向量研究 把向量运算 用空间向量 量表示点 立体几何中的直 的结果“翻 解决立体几 直线、平 线、平面的位置 译”成相应 何问题 面等元素 关系、距离和夹 的几何结论 角问题 「方法总结」空间向量的数乘运算及向量共面！ 专题提升 的充要条件 专题一空间向量的概念及运算 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多 共线的充要条件与平面向量的性质是一致的， 概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向 (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向} 量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，向量 量是不是与已知的两个不共线的向量共面，特别 加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减 地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是 法的三角形法则，数乘运算与向量共线的判断、 存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC. 数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的 专题二利用空间向量证明位置关系 基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 1.空间向量作为工具来研究几何问题，真正把几 2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的 何的形与代数中的数实现了有机结合，给立体： 数学运算能力. 几何的研究带来了极大的便利.基本思想是利 应用体验1（多选)如图，在四面体ABCD中， 用直线的方向向量与平面的法向量，判断、证明 E,F分别为BC,CD的中点，则 () 空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面 的平行与垂直. 2.通过将立体几何的线面关系转化为向量间的关 系，进一步提升逻辑思维推理能力和数学运算 素养 应用体验3如图，在三棱锥P AE乎-B ABC中，三条侧棱PA,PB, B.AE+AF=AC PC两两垂直，且PA=PB= ---->B C.AD+DC+CB=AB PC=3,G是△PAB的重心， A1 D.Ad-2(A店+AC)-ED E,F分别为BC,PB上的点，且BE:EC= PF:FB=1:2. 471 人教B版数学选择性必修第一册 (1)求证：平面GEF⊥平面PBC; 应用体验4在四棱锥 课 (2)求证：EG与直线PG和BC都垂直. P-ABCD中，BC∥AD,PA 记 ⊥AD,平面PAB⊥平面 ABCD,∠BAD=120°，且 PA-AB-BC-TAD-2. (1)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值； (3)求平面PBC与平面PCD所成角的余弦值. 「方法总结」利用空间向量证明或求解立体几 何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标 系转化为坐标运算，再借助于向量的有关性质求 解（证）. 「方法总结」(1)在建立空间直角坐标系的过程 专题三利用空间向量求空间角 中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合 1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量 理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时 求直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、 需要的坐标. 平面与平面所成的角。 (2)在解直线与平面所成的角、两个平面所成的角 (1)求异面直线所成的角 问题时，有两种思路：一是转化为两条直线所成的 设两异面直线的方向向量分别为n1,n2,那么 角；二是利用平面的法向量 这两条异面直线所成的角为0=〈n1,n2)或0= 专题四利用空间向量求距离 π-〈n1,n2）,∴.cos0=cosn1,n2〉. 1.空间距离的计算思路 (2)求直线与平面所成的角 (1)点P到直线1的距离：已知直 如图，设平面a的法向量为n1, 线1的单位方向向量为，A是 直线OA的方向向量为n2,直线 直线上的定点，P是直线1外一点，设向量 OA与平面a所成的角为0，则 AP在直线l上的投影向量为AQ=a,则点P /a sin0=|cos(n1,n2）|. 到直线1的距离为√/1AP2一(a·u)2(如图) (3)求平面与平面所成的角 (利用勾股定理和向量夹角公式转化易得)， 如图，设平面α，3的法向量分 (2)点P到平面a的距离：设平面a的法向量为 别为n1,n2.因为两平面的法 n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点 向量所成的角（或其补角）等 P到平面a的距离为AP·n(如图. 于平面α，B所成的角0，所以 cos 0=cos<n1,n2). 2.通过直线的方向向量与平面的法向量求空间 角，进一步提升逻辑推理能力和直观想象 素养。 1148 章未复习提升课学案15 2.通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生 x一x0=y一y=之一.根据上述材料，若直 听 的逻辑思维能力和数学运算的学科素养 应用体验5如图，在棱长为2 线l是两个平面x-2y十2=0与2x-之+1=0 笔 的正方体ABCD-A1B1CD1 的交线，则直线1的一个方向向量是() 中，E为A1B1的中点，F为 A.(2,1,4) B.(1,3,5) AB的中点. C.(1,-2,0) D.(2,0,-1) (1)求直线AE与直线CF 3.(多选)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2), 所成角的余弦值； B(2,0,一1)，C(3,2,1),则下列说法正确的是 (2)求点B到直线AC1的距离； ) (3)求点C到平面AEC1的距离. A.OB.BC=0 B.cos(OA,OB)=-2 C.点O到直线BC的距离为√⑤ D.O,A,B,C四点共面 4.如图，ABCD-EFGH为长方体，MNPQ-EF- GH为正四棱台，其中AB=4,MN=BF=2, N=3,点K为BC上一点，且C-Z为 PQ的中点，则异面直线KZ与FN所成角的 余弦值为 ( ) 「方法总结」利用向量法求点面距，只需求出平 M 面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示 的向量，代入公式求解即可. 七课堂达标 1.若a十b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2), 则a·b等于 ( A.5v9 B.2v39 39 13 A.-5 B.-1 C.5 D.7 2.阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过 C.53 2√13 26 D. 13 点P(xo,y0,之)且一个法向量为m=(a,b,c) 5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P点满 的平面a的方程为a(x-xo)+b(y-y)+ 足AP= 店++则点r到直线 c(之一之o)=0,过点P(x0,y0,之0)且方向向量 为n=(u,v,w)(uuw≠0)的直线l的方程为 AB的距离为 课后反思 491☐所以△ADN为等边三角形， 所以∠ADN=60°，∠BDN=30°， 故∠ADB=90°， A 所以AD⊥DB. E 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以A1,0,1D,B,1,11),E(0,0,号)，F(1,1,） C1(0,1,1),A(1,0,0), 所以A1B1=(0,1,0), 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0)，B1(0,2√3,4)，E(2, BE=(-1,-1,-2), 0,2),DE=(2,0,2),DB1=(0,2√3,4)， 设平面EDB1的法向量为n=(x,y,之)， u- 1DE·n=2x+2z=0, 则 DB1·n=2W3y+4z=0, 所以A可《=一子 令y=2,得n=(W3,2,-3), 所以点A1到直线B,E的距离为A1B12-(A1B1·w)2 因为DB=(0,2√3,0)， -- 所以点B到平面EDB,的距离d=n,DB_2V30 5 (2)因为A花=(-1,02)，FC=(-1,0,2), 故选D.] 5.A[由题意知，EF=(-1,1,1),PE=(3,-1,-2), 所以AE∥FC,即AE∥FC1, 所以，点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的 则点P到直线EF的距离d= PE PE·EF\2 距离， 震-(9.-(》 故选A.] A正u=0, 5 6号[由题意知，话=(-11,0)，A亡=(-1,02)，A市 所以直线FC,到直线AE的距离为J1AFI2-(AF.u)2 (0,-1,0), 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), √-( AB·n=0, (3)设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,之)， 则{ AC.n=0, AE=0,1,D,a2=(-10,2)A=0,01, p仁中 n·AB1=y十之=0， 由 令x=1,得y=12=分 a应-x+2=0, 令x=2,得n=(1,一2,2)，设点A1到平面AB1E的距离 则m=(1,1,） 为d, 因为，点P到平面ABC的距离即为两平行平面间的距离， 所以所求距离为AP·n2 动一不-号两去A,对李雷A,E的压我务号 n n 3] 学案15章末复习提升课 7.10[由题意知，AC=AB+AD+AA,|AC=AB 专题提升 +AD:+AA+2AB.AD+2AD.AA:+2AB.AA:=1+ 专题一 1+4+2+2=10,∴.AC1=√10.] 应用体验1ACD[因为E,F分别为BC,CD的中点， 8.解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,之 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以示=B前，故A正确： 231■ 若AE+A市=AC,可得A正=A花-A京=F元，由题图可知 又PA⊥AD,CEC平面 AE,FC不共线，矛盾，故B错误； ABCD,ADC平面ABCD,CE 与AD相交， AD+DC+CB=AC+CB=AB,故C正确； .PA⊥平面ABCD. E为BC的中点， (2)在平面ABCD内作AF⊥ 故花=2+AC), AD交BC于F,则AF,AD, E AP两两垂直， 则A市-号店+AC)=A市-是×2A正-A市-花-ED, 以A为坐标原点，建立空间直 角坐标系，如图所示， 故D正确. 则A(0,0,0),F(3,0,0),B(√3，-1,0)，P(0,0,2), 故选ACD.] PB=(3,-1,-2), 应用体验2解：(1)由a=(2,-2,2),a+b=(6,一3,2)，得b :AF⊥平面PAD, =(a+b)-a=(4,-1,0). .AF=(√3,0,0)为平面PAD的一个法向量， (2)由(1)得b-a=(2,1,-2),而向量c=(2,m,n),c∥(b 设PB与平面PAD所成的角为日， a),因此c=(2,1,-2), 3 所以|c=√22+1+（-2)7=3. 六sin0=cos(Pi,AF1=Pg·A 6 IPB1IAF12√2X√54' (3)a=(2,-2,2),b=(4,-1,0), 则a2=12,b2=17,a·b-10, 直线PB与平面PAD所成角的正孩值为5 4 由(ka+b)⊥(a-2b), 得(ka+b)·(a-2b)=ka2-2ka·b+a·b-2b2 (3).C(5,1,0),D(0,4,0), =12k-20k+10-34=-8k-24=0, PC=(3,1,-2),CD=(-3,3,0),BC=(0,2,0), 所以k=一3. 设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,之1)，平面PCD的法向 专题二 量为n=(x2,y2z2), 应用体验3证明：(1)如图，以P为坐标 24 m⊥PB,n⊥PC, 原点，PA,PB,PC所在的直线分别为 m⊥BC,n⊥CD x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系 W3x1-y1-2z1=0,W3x2十y2-2z2=0, Pxyz. 2y1=0, -√3x2+3y2=0, 则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3), A 令x1=2得m=(2,0,W3),令y2=1得n=(W3,1,2) E(0,2,1), 设平面PBC与平面PCD所成的角为a, F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0) :'.cos a=l cos(m ,n)= m·nl45 √42 于是EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1). Imllnl J7X22 7 设平面GEF的法向量为n=(x,y,之)， 则L示 平面PBC与平面PCD所成角的余孩值为 7 nLEG. 专题四 即厂y-=0, 应用体验5解：(1)以D1为坐标原 可取n=(0,1,-1). 点，建立如图所示的空间直角坐 x-y-x=0, 标系， 显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量， 则A(2,0,2),E(2,1,0),C(0,2, 又n·PA=0, 2),F(2,1,2), n⊥PA, 所以A正=(0,1，-2)，CF=(2, .平面GEF⊥平面PBC -1,0), 设直线AE与直线CF所成的角 (2)由(1)知，EG=(1,-1,-1), 为0， PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3), IAE.CF 1 EG·PG=0,EG·BC=0, 则cos0=|cos(AE,CF)1= AE1CF5X5=方， .EG⊥PG,EG⊥BC, ∴.EG与直线PG和BC都垂直. 故直线AE与直线CF所成角的余孩值为号 专题三 (2)B(2,2,2),A(2,0,2),C1(0,2,0), 应用体验4解：(1)证明：作CE⊥AB于E, 所以AB=(0,2,0),AC1=（-2,2,-2) .∠BAD=120°，∴.CE与AD必相交， AB·AC1 又，'平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD 所以点B到直线AC1的距离为|AB2 AB,CE⊥AB,CEC平面ABCD, .CE⊥平面PAB,PAC平面PAB, 2√6 CE⊥PA, 23 3· 24 (3)由题意知，A正=(0,1，-2)，AC=(-2,2,-2),A元 K立=(0,23)，FN=1,1,1), (-2,2,0), cos(KZ,FN)= KZ·FN 5 5√39 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z), |KZ1IFN|√/13XW3 39 则n·-y-2&=0, n·AC1=-2x+2y-2x=0, ·异面直线KZ与FN所成角的余弦值为5Y3 39· 取之=1，则y=2,x=1,所以n=(1,2,1), 故选A.] 所以点C到平面ABC,的距离为A花：n=一2+4 5.√5[以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x, n √6 y,z轴，建立空间直角坐标系， =6 3 课堂达标 B C 1.A[a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2), ∴.a=(1,-2,0),b=(-3,1,2), A .a·b=-3-2+0=-5. 故选A.] B 2.A[设直线1的一个方向向量为n。=(xy,之)， 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2), 平面x-2y十2=0与2x-z十1=0的法向量分别为m1= （1,-2,0)和m2=(2,0,-1), 可得AB=(2,0,0),AD=(0,2,0),AA1=(0,0,2), 则m·n。=x-2y=0, 所以市=号+号aò+a-(得，1,2)， m2·no=2x-x=0, 不妨取x=2,则n。=(2,1,4). 可得cos(AP,AB)= AP.AB 故选A.] APIIABI 3.ABC[由题意可知，OA=(0,1,2),OB=(2,0,-1),BC= 2x号 4 3 (1,2,2), 7=7 所以OB.BC=2X1十0X2+(-1)×2=0,故A正确； 2x√（侣+1+22 所以os(0A,0)=0A·O店 -2 2 1OA11OB1√5×5 一5，故B 所以n,=coe(a市，a=35, 正确； 又油市-子 因为OB.BC=0,所以OB⊥BC,OB=5,所以点0到直 线BC的距离为√5，故C正确； 所以点P到直线AB的距离为A血<A立，A店)=号× 0C=(3,2,1), 假设0，A,B,C四点共面，则OA,OB,OC共面， 9-6 设0C=x0A+y0B,即(3,2,1)=x(0,1,2)+y(2,0,-1), 第二章 平面解析几何 因为OA,OB不共线， 2y=3, 学案16坐标法 则x=2, 此方程组无解，所以O,A,B,C四点不共面， 课堂活动 2x-y=1, 活动一 故D错误。 新知导学 故选ABC.] 问题1提示：(1)要使尽可能多的已知，点、直线落在坐标轴上； 4.A[以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐 标轴； (3)考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原，点，将图 形的对称轴作为坐标轴. 新知生成 A y 1.x1A(x1)(1)x2-x1(2)|x2-x1 D 2.(1)(x2-x1y2-y)(2)|AB|V√(z2-x)+(y2-y) K C 3)y=十y2 2 在正四棱台EFGH-MNPQ中， 新知应用 点N到平面EFGH的距离为√（√5）2一(2√2一√2)2=1， 1.(2,10)或（一10,10）[由，点M到x轴的距离等于10可知， 则K(3,0,0),F(0,0,2),N(1,1,3),Z(3,2,3), 其纵坐标为士10. 251■