第1章 学案9 空间中的平面与空间向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

AB=4,CD=1,AD=2, 述通过空间内任一，点并且与一个向量垂直的平面，我们把 .A(2,0,0),C(01,0),B(2,4,0). AM·n=0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向 .∠PAD=60°， 量n称为平面a的法向量， 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD 新知生成 =2√3. 1.非零垂直法向量 .P(0,0,2√3) 2.(1)方向向量法向量(2)平行(3)0 (2)由(1)得，PA=(2,0,-23), 新知应用 解：因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，所以AB, BC=(-2,-3,0), AD,AP两两垂直. ∴c0sPA,BC)=2X(-2)+0×(-3)+(-2W3)X0 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), 4×√13 P0,0,D,D0,0,E(0,号，2），c15,0)所以 又异面直线所成的角为锐角或直角， -(o）a成-10 异面直线PA与BC所成角的余孩值为V区 13 7.解：(1)证明：E为BC的中点， :D定=之(D店+D心)，由题意知DB1OA, B x 得DB.OA=0,同理可知D元.OA=0, 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量， ∴D成.o=2i+Dd).oi=D.ai+2D心. n·AC=0, x+3y=0, 则 即 OA=0, n·AE=0, (2y+ 22=0, ∴.DE⊥OA. x=-3y, 同理可证DE⊥BC, 所以 z=-√3y. ∴.DE是异面直线OA与BC的公垂线段 令y=-1,则x=x=√5， (2):D元-0-0i=2o+20元-2oi, 所以平面ACE的一个法向量为n=(√3，一1，√3).（答案不 “1D1:=(2+20-2o)°-40+o心+ 唯一) 母题变式：解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 0A+20.0元-20房.0A-20元.0A)=子12+1+ 系，则P(0,0,1),C(1W3,0),所以PC=(1,5,-1)即为直 线PC的一个方向向量. 12+2×1×1×cos60°-2×1×1×cos60°-2×1×1× 因为D(0,√3,0)，所以PD=(0,√3，-1). os60= 设平面PCD的法向量为n=(x,y,之)， n·PC=0, D正-号，即异西直线OA与BC阅的矩离为号 则 n·PD=0, 学案9空间中的平面与空间向量 x十3y-之=0， 即 W5y-z=0, 课堂活动 活动一 所以 =0:令y=1,则2=5， z=√3y. 新知导学 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,√3).（答案不唯一） 问题1提示：有且只有1条，有且只有1个 活动二 问题2提示：如图， 新知导学 问题3提示：线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与 此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；线面 垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直 线垂直，那么该直线与此平面垂直；面面平行的判定定理：如 容易看出，如果任取两点M1,M2(M1,M2,A三点不共线)， 果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，那么 且AM1·n=0,AM2·n=0,则n⊥a(a为A,M1,M2所在 这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面过另 平面).由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任 一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 新知生成 一点M都满足AM·n=0,又知满足条件AM·n=0的所 1.l⊥al∥alCa 有点M都在平面a内，这就说明，我们可以用AM·n=0表2.a1⊥a2a1∥2a1与a2重合 112 新知应用 2.D[因为a⊥3，所以m·n=0,即3×(-1)+1×1+(-2) 1.B[根据题意可得m⊥n, ×k=0,解得=一1. 所以m·n=-8-2+2x=0,解得x=5. 故选D.] 故选B.] 3.A[直线1的方向向量a=(1,2,一1)， 2.D[因为l⊥a,故u∥n, 平面a的法向量m=(一2，一4，k),l⊥a, 13=λ， ..a//m, 故存在实数入，使得u=n,故a十b=2λ， a-b=3入， =品会解得=2 _15 故选A.] a=2' 4.垂直[由三垂线定理，可知PC与BD垂直.] 则 5.①②③[根据题意，不妨设正方体的棱长为1， 则C(1,1,0),C1(1,1,1),B(1,0,0). 故选D.] 对于①，CC1=(0,0,1),则直线CC1的一个方向向量为(0,0， 3.B[因为n1=(W3,x,2),n2=(一3，W3,-2√3)分别是平面 1),正确； a,B的法向量，且aB, 对于②，BC1=(0,1,1),则直线BC1的一个方向向量为(0， 所以中温-后后所开 1,1),正确； 对于③，因为AB⊥平面B1C1CB,而AB=(1,0,0), 故选B.] 故（一1,0,0）可作为平面B1C1CB的法向量，即③正确； 活动三 对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为CD⊥平面 新知导学 B1C1CB,BC1C平面B1C1CB, 问题4提示：无数条. 则BC1⊥CD,易得BC1⊥B1C,又CD∩B1C=C,故BC1⊥ 新知生成 平面B1CD, 1.射影斜线 而BC1=(0,1,1),即BC1可作为平面B1CD的法向量，故④ 2.斜线射影 错误.] 新知应用 6.解：由题意得A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2). 证明：如图，连接AO并延长交BC于点E,连接PE :AD⊥平面SAB,.AD=(1,0,0)是平面SAB的一个 法向量 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则DC=(1,2,0),DS =(-1,0,2) n·DC=0, |x+2y=0, . n·Ds=0, -x+2x=0, PA⊥平面ABC,AE⊥BC(O是△ABC的垂心)， BC⊥PE(三垂线定理)， 任22”令x=1,则a=(1,-合，安）】月 x=2z. 点Q在PE上. ,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE, a=(1,-子，安）即为平面SCD的一个法向量. .BC⊥平面PAE, 学案10 空间中直线、平面的平行与垂直 又OQC平面PAE,.BC⊥OQ. 连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC; 课堂活动 连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC,连接MF 活动一 PA⊥平面ABC,BF⊥AC, 新知应用 .BF⊥PC(三垂线定理). 证明：如图所示，以D为坐标原点，建 ,BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,BM,BFC平面BMF, 立空间直角坐标系， .PC⊥平面BMF, 设PD=DC=a. 又OQC平面BMF, 连接AC,交BD于点G,连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), ∴.PC⊥OQ. 又BC∩PC=C,BC,PCC平面PBC, P0,0a),C(0,a,0),E(0,22） 所以OQ⊥平面PBC. B(a,a,0). 课堂达标 法一：设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 1.CD[选项A,B显然是正确的；对于C,与平面垂直的直线的 方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的 又D-(0,受号)脑-a,受-号） 单位法向量也不唯一，C不正确；当a,b共线时，n不一定是 n·DE=0, 平面a的法向量，D不正确.] 则有 n·EB=0, 1311空间中的平面与空间向量学案9 学案9空间中的平面与空间向量 听 昆学习任务 记 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.（数学抽象、数学运算) 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用.（逻辑推理） 3.会利用空间向量证明线面、面面的平行与垂直.（逻辑推理） 提醒：(1)平面α的法向量垂直于平面。内的所 课堂活动 有向量。 活动一求平面的法向量 (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互· 阄新知导学 平行. 今新知应用 阅读教材P38一39，完成下列问题. 问题1过空间一点与已知平面α垂直的直线有 如图，在四棱锥P-ABCD中， 多少条？过空间一点与已知直线1垂直的平面 底面ABCD为矩形，PA⊥平 有多少个？ 面ABCD,E为PD的中点， AB=AP=1,AD=√，试建 立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的 问题2设A是空间任一点，n为空间任一非零 个法向量 向量，则适合条件AM·n=0的点M的集合 构成什么图形？ 同新知生成 1.如果a是空间中的一个平面，n是空间中的一 个 向量，且表示n的有向线段所在的 母题变式：若本题条件不变，试求直线PC的一个 直线与平面a ,则称n为平面a的一 方向向量和平面PCD的一个法向量： 个 ,也称n与平面a垂直，记作n⊥a. 2.平面法向量的性质 (1)如果直线1垂直平面a,则直线1的任意一 个 都是平面a的一个 (2)如果n是平面a的一个法向量，则对任意的实 数入≠0，空间向量n也是平面a的一个法向量， 而且平面α的任意两个法向量都 「方法总结」利用待定系数法求平面法向量的 (3)如果n为平面a的一个法向量，A为平面a 步骤 上一个已知的点，则对于平面。上任意一点B,向 (1)设向量：设平面的一个法向量为n=(x,y,之). 量AB一定与向量n垂直，即AB·n= (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量 从而可知平面a的位置可由n和A唯一确定. AB,AC. 2910 人教B版数学选择性必修第一册 听 n·AB=0, 2.已知4=(3，a十b,a-b)(a,b∈R)是直线l的 (3)列方程组：由 列出方程组. n·AC=0 方向向量，n=(1,2,3)是平面a的法向量，若l 笔 ⊥a,则 () n·AB=0, (4)解方程组： A.a=1,b=8 B.a=-1,b=-2 n·AC=0. 3 2b 15 15 C.a- 2 D.a=z6=-d (5)赋非零值：取其中一个为非零值（常取士1）， 2 (6)得结论：得到平面的一个法向量. 3.已知n1=(√3，x,2),n2=(-3,√5，-23)分 活动二利用法向量证明线面、面面平行 别是平面α，3的法向量，若a∥3，则x=( 与垂直 A.-7 B.-1C.1 D.7 阄新知导学 「方法总结」(1)用向量法证明线面平行时，证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直后，需检 阅读教材P39一40，完成下列问题. 验该直线是不是平面内的直线，若不在平面内，则 问题3线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂 线面平行；若在平面内，则不能判断为平行 直的判定定理是什么？ (2)用向量法证明线面平行时，找（求）平面的法向 量时，若一条直线与平面垂直，则该直线的方向向 量可以作为平面的法向量. 同新知生成 活动三掌握三垂线定理及其逆定理 1.直线与平面平行、垂直的判定 阄新知导学 如果y是直线l的一个方向向量，n是平面a的 个法向量，则 阅读教材P41一42，完成下列问题. 问题4若直线l和平面a不垂直，则平面a内与 n∥v→ ;nv→ 或 直线1垂直的直线有多少条？ n (1) 2 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1,n2分别是平面a1,a2的一个法向 同新知生成 量，则 1.三垂线定理 n1⊥n2H ;n1∥n2台 或 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该 平面内的 垂直，则它也和这条 垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. n 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 垂直，则它也和这条斜线在该平面内的 个新知应用 垂直.简记为：和斜线垂直，则和射影垂直 1.直线1的一个方向向量为m=(-4,2,2),平面a 提醒：(1)三垂线定理描述的是斜线PA,射影 的一个法向量为n=(2,一1，x),若l/a,则x= OA和直线a之间的垂直关系. (2)直线a可以移动，但只能在平面内移动.因 A.-5 B.5 C.-1 D.1 此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面. 1130 空间中的平面与空间向量学案9 (3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平 C.平面的单位法向量是唯一确定的 面内的一条直线垂直的判定定理。 D.如果a,b与平面a共面且n⊥a,n⊥b,那么 课 n就是平面a的一个法向量 新知应用 记 2.平面a的法向量n=(3,1,一2)，平面3的法向 如图，三棱锥P-ABC中，PA 量m=(-1,1,k),若a⊥3，则k= ⊥平面ABC,若O,Q分别是 A.-2 B.2 C.1 D.-1 △ABC和△PBC的垂心，求 3.若直线l的方向向量a=(1,2,一1)，平面a的 证：OQ⊥平面PBC. 法向量m=（一2，一4，k),若1⊥a,则实数= ( A.2 B.-10C.-2 D.10 4.菱形ABCD∥平面a,PA⊥a,则PC与BD的 位置关系是 5.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体， 「方法总结」在证明线面垂直时，首先应证明线 线垂直，在证明线线垂直时，应用三垂线定理及其 逆定理，可以使其过程简化 ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)； 专课堂小结 ②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)； 1.知识清单： ③平面B1C1CB的一个法向量为(-1,0,0)； (1)平面法向量的概念及性质，求平面的法 ④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 向量 则上述结论正确的是 (填序号) (2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直. 6.已知四边形ABCD是直角梯 (3)三垂线定理及其逆定理。 形，∠ABC=90°，SA⊥平面 2.方法归纳：数形结合、转化与化归、待定系数法. ABCD,SA=AB=BC=2, 3.常见误区：求平面的法向量时，没有正确赋值导 AD=1.在如图所示的空间直 致错误。 角坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面！ SAB的一个法向量， 七课堂达标 1.(多选)下列说法中不正确的是 ( A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所 有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 课后反思 311