第1章 学案3 空间向量基本定理-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 学案3空间向量基本定理 课 记 昆学习任务 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.（逻辑推理） 2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题 (逻辑推理、数学运算) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.（数学抽象） 课堂活动 活动一理解共面向量定理 阄新知导学 阅读教材P13-14,完成下列问题. 问题1平面向量基本定理的内容是什么？在空 间中是否仍然成立？ 厅新知生成 2.对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的 1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a,则存在 一点O,空间一点P满足关系式OP=xOA+ 的实数入，使得b=λa. yOB+OC,求证：点P在平面ABC内的充要 2.共面向量定理 条件是x十y十之=1. (1)共面向量定理：如果两个向量a,b 则向量a,b,c共面的充要条件是，存在 的实数对(x,y),使c=xa十yb. (2)共面向量定理的推论：如果A,B,C三 点 ,则点P在平面ABC内的充要条 件是，存在 的实数对(x,y),使AP= xAB+yAC. 仓新知应用 1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为DD1的中点，N∈AC,且AN:NC=2:1, 求证：A1,B,N,M四点共面. 1110 空间向量基本定理学案3 「方法总结」证明空间向量共面或四点共面的 ③如果三个向量a,b,c不共面，则它们的线性 听 方法 组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量，空 课 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以用另两 间向量的一组基底记为{a,b,c}.此时a,b,c 记 个向量表示，即若p=xa十yb,则向量p,a,b 都称为 ;如果p=xa十yb十c,则称 共面 xa十yb十c为p在基底{a,b,c}下的分解式. (2)四点共面：若存在有序实数组(x,y,之)，使得 提醒：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成 对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C,有 空间的一组基底.基底选定后，空间的所有向量 OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+x=1成立， 均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的 则P,A,B,C四点共面. 表达式也有可能不同 活动二掌握空间向量基本定理 (2)一组基底是一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。： 阄新知导学 (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任！ 问题2(1)如图，设i,j,k是空间中 k 意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向： 三个两两垂直的向量，且表示它们 量不共面，就说明它们都不是零向量， 的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间 今新知应用 向量p=OP,p能否用i,j,k表示呢？ 1.(多选)在正方体ABCD-A1BC1D1中，能构 成空间的一组基底的一组向量为 ) A.AA,AB,AC B.BA,BC,BD C.AC,BD,CB D.AD,BA,AC 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B,C1中，M为棱 AB的中点，点N为上底面A1BC1的中心，用 (2)你能证明唯一性吗？ 空间的一组基底{CA,CB,CC}表示MN,则 】 B 厅新知生成 如果空间中的三个向量a,b,c ,那么 A.M=号ci-cB+cC 对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序 B.MN=-1CA-1CB+CC 实数组(x,y,z),使得p=xa十yb+xc. ①xa十yb十zc=0台x=y=之=0. C.MN--gCA+CB+CC ②表达式xa十yb+zc称为向量a,b,c的 或 D.MN-CA+CB+CO 1110 人教B版数学选择性必修第一册 听 3.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几 课 何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指 记 底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 ABC-A1B1C1中，M,N分别是A1C1,BB1的 中点，G是MN的中点，若AG=xAB十yAA A.0 B.1 C.2 D.3 十xAC,则x+y十z= 「方法总结」根据条件确定基底，一般用已知的 向量（向量的长度已知，夹角已知等）作为基底，有 时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可 证平行、垂直.可求两向量的数量积、夹角、长度， A 七课堂小结 1.知识清单： 「方法总结」1.基底的判断方法 (1)共线向量基本定理、共面向量定理 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要 (2)空间向量基本定理. 判断它们是不是共面，如果从正面难以入手，可用 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错. 2.用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形 飞课堂达标 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行 1.若{a,b,c}构成空间的一组基底，则下列各组 四边形中. 向量中能构成空间的一组基底的是() (3)利用三角形法则或平行四边形法则，借助向量 A.{b+2c,b,b-2c} 的线性运算把所求向量用已知基向量表示出来. B.{a,a+2b,a-2b} 活动三掌握空间向量基本定理的应用 C.(a+b,a-b;c} D.(a+b,a+b+c;c} 新知应用 如图在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，AB 2.0为空间任意-点，若A正=-号01+号0店 =AD=AA1=2,AB⊥AD,∠A1AD= 十O元，若A,B,C,P四点共面，则t=() ∠A1AB=60°，P为A1D与AD1的交点，设 A.1 B c D. AB=a,AD-b,AA=c, 3.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ①BD1=-a+b十c; E,F分别是AA1,BC的中点，G,H分别在线 ②AC1=2√5； 段CC1,A1D1上，且满足CG=2GCi,A1H= ③AC·PC=5. 2HD1,设AA1=a,AB=b,AD=c,则下列结 其中正确的个数为 论正确的是 () 1112 空间向量基本定理学案3 C 6.如图所示，平行六面体 C H 听 c ABCD-A1B1C1D1中，点 B B E,F分别在B1B和D1D 记 1 D 上，BE=SBB1,DF= 2 A.EF--1g 1 D. a+b+2c (1)求证：A,E,C1,F四点共面； aG所-a-b-c (2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求x十y+之 的值. 1 C.FH-a-b+ D.E-ga+b+e 4.已知三棱锥O-ABC,M,N分别是对棱OA,BC 的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN,设 OA=a,OB=b,OC=c,则OG= (用基底{a,b,c}表示) 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AA1=3,AD=2√2，P为C1D1的中点，M为 BC的中点，则AM与PM所成的角为 课后反思 1310ad·=e(b+)=e+号e2= 1 活动二 3 cos 3 新知导学 +号-， 问题2(1)提示：如图，设00为OP 5 在i,j所确定的平面上的投影，则 因为cos(AA:,MN)= AA,·MN 6_57 1x14 OP-OQ+QP. IAAMNI 3 又向量QP,k共线，因此存在唯一 所以向量AA与M成所成角的余孩值为5,7 的实数z,使得QP=zk,从而OP 14 =OQ十k. 学案3空间向量基本定理 在i,j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的 课堂活动 有序实数对(x,y),使得OQ=xi十j. 活动一 从而OP=OQ十k=xi十十xk. 新知导学 (2)提示：假设除(x,y,z)外，还存在有序实数组(x'y',之')， 问题1提示：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面 使得p=x'i十yj十之k, 内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa十 则x'i+yj十xk=xi+yj+zk. yb.平面向量基本定理在空间中仍然成立. 不妨设x'卡x, 新知生成 则(x'-x)i=(y-y')j+(之-之')k, 1.唯一 2.(1)不共线唯一(2)不共线唯一 + 两边同除以(x'-x),得i=y,一卫 新知应用 由共面向量定理可知，i,j,k共面，这与已知矛盾. 1.证明：设AA1=a,AB=b,AD=c, 所以x=x',同理y=y,之=之'， 则A1B=b-a, 所以有序实数组(x,y,z)是唯一的 M为线段DD1的中点， 新知生成 Ac- 不共面②线性组合线性表达式③基向量 新知应用 又AN:NC=2:1, 1.AC[画出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示. :不=号AC=号+e, ∴AN=a-d=号b+e)-a -子b-a+(e-2)-号Ai+号A应， .A1N,A1B,A1M为共面向量. 又“三向量有相同的起，点A1, A1,B,N,M四点共面 对于A,直线AB,AC所在的平面是ABCD,而AA1与平面 2.证明：①充分性： ABCD相交， .OP=xOA+yOB+OC, 所以AA1,AB,AC不共面，故这组向量可以成为基底，故选 可变形为OP=(1-y-)OA+OB+0C, 项A正确； ..OP-OA=>(OB-OA)+(OC-OA), 对于B,BA,BC,BD满足BA+BC=BD, ..AP=yAB+zAC, 所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，故选项B 点P与A,B,C共面. 错误； ②必要性： 对于C,直线AC1,BD1所在的平面是ABC1D1,而CB与平 点P在平面ABC内，A,B,C三点不共线， 面ABC1D1相交， ∴.存在有序实数对(m,n)使AP=mAB+nAC, 所以AC1,BD1,CB不共面，这组向量可以成为基底，故选项 OP-OA=m (OB-OA)+n(OC-OA), C正确； :.OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC, 对于D,因为AD,=AC+CD=AC+BA,所以AD1,BA, :OP=x0A+yOB+z0元， AC共面，所以这组向量不可以成为基底，故选项D错误. 又：点O在平面ABC外， 故选AC.] ∴.OA,0B,OC不共面， 2.B[取下底面ABC的中心Q,连接NQ,CM,则MQ ∴.x=1-m-n,y=m,z=n, .x+y+z=1. 14 :-Md+Q成=ci+d=}×2@i+) 对于D,a十b十c=c+(a十b),三个向量不能构成基底，故D 错误。 +CC-CA-CB+CC.. 故选C.] 2.C[若A,B,C,P四点共面，则存在有序实数对(x,y),使 故选B. AP=xAB+yAC, 所以O°-OA=xOi-xOA+0元-0A, 整理得OP=(1-x-y)OA+xOB+yOC, B 又由题知0成-O耐+日O成+：0心，由空间向量的基木定 --= 3.号[连接AM,AN, 潮得=日所以1-日 1 理知， 1 x8 因为M,N分别是A1C1,BB1的 M (y=t, 1 中点，G是MN的中点， t=8 则A店=名（成+A成） B 故选C.] 2(aA+2ac+a店+名Ad) 3.AD[对于A,E-i+a店+萨-号AM+A店+ 号成=-号Ad+A+合A茹=-名+b+分，截A -名+d+}花， 正确； 又AG=xAB+yAA1+AC, 对于B,Gi-GC+CD,+D,i=}cC-A正-AD =号Ad-店-号A市=3a-b-号c,故B错误： =] 对于C,F市=FE+EA+A1方=-E京+AA+子A,D 活动三 新知应用 =-(2a+b+c)+2a+号e=a-6+日c,故C D[对于①，BD,=BA+A币+DD,=-A店+AD+AA 错误； -a十b十c,命题①正确； 对于D,EG=EA+AB+BC+CG=-AA+A店+AD+ 对于②，AC1=AB+AD+AA1=a十b十c, 所以AC=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=4+4+4 名cG-7a+b+e+号a-日a+b+e,放D正瑞 +0+2X2×2Xcos60°+2×2×2×cos60°=20， 故选AD.] 所以AC11=2√5，即AC1=2√5，命题②正确； 4石a+号b+分e[~MG=2GN,M2-号， 1 对于③，周为P心=Pi+D心=2AD+A店=子(AD 又M,N分别是对棱OA,BC的中点，OA=a,OB=b,O元 A+a成-a+0名 =c, 所以ad·p元=a+b+e）(a+2b-c）=a+6 +6+6=4+2-2+0+x2x2x c0s60°=5，命题③正确； 综上，正确的命题有3个， 故选D.] 课堂达标 1.C[对于A,b=号(6+20)+号(6-2c),三个向量不能物 ∴0d-oM+店-O成+号-o成+号o成-o)- 成基底，故A错误； 成+示-}×2i+号×成+)-a耐 对于B,a=号a+26)+号(a-2b),三个向量不能构成基 1 +i+-名a++gc】 底，故B错误； 5.90°[令AB=a,AD=b,AA=c, 对于C,a十b,a一b,c,三个向量不能互相表示，能构成空间 的一组基底，故C正确； 则A成=A店+号Ai=a+2, 51 P成-A成-市-+访-A-AD-D-店 活动三 新知应用 +2A市-d-A市-2-A-2A市-AA,=a 解：(1)a=（-4,2,4), -c, .la=√(-4)2+22+4=√36=6. (2)a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2), 故AM.Pi=(a+2b）·(3a-2b-c) .a·b=(-4,2,4)·(-6,3,-2) =24+6-8=22, -ga-za.6-a.e+ib.a-i8-z6.c 又|a=6,|b|=√/(-6)2+32+(-2)2=7， =×4-×8-0 2211 .cos(a,b）= 6×7211 即AM⊥PM,则AM与PM所成的角为90°.] 发口与b灸角的余款位方品 6.解：1)证明：AG-店+A市+AM-店+市+号Ad 课堂达标 1.C[A中，p=(2,-1,3);B中，q=(-1,2,0);C中，r=(1, +子AA=A店+子AA+A市+子AA,=(A店+B配)+ 3,-1);D中，s=(0,-3,0).] (AD+DF)=AE+AF, 2.B[.a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1), .b=a十b-a=(-1-1,2-(-2),-1-1)=(-2,4,-2). A,E,C1,F四点共面 故选B.] (2):E示=AF-A正=AD+D示-(A店+BE)=AD+ 3.A[因为a=(1,-2,1),b=(2,0,1),所以2a-b=2(1,-2,1) 号D,--专丽=-+A茄+AM, -(2,0,1)=(0,-4,1),所以|2a-b|=√02+(-4)2+1 又EF=xA店+yAD+AA, =17 故选A.] =-1y=1= 4.2[由题意，得c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 1 :x十y十z=3 由(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,解得x=2.] 5.5[已知a=(-1,2,1),b=(1,3,2), 学案4空间向量的坐标与运算 则a+b=(0,5,3),2a-b=(-3,1,0) 则(a+b)·(2a-b)=0×(-3)+5×1+3×0=5.] 课堂活动 6.解：(1)a+b-2c=(2,-3,1)+(2,0,3)-2(0,2,2) 活动一 =(2,-3,1)+(2,0,3)-(0,4,4)=(4,-7,0), 新知导学 a+b-2cl=√4+(-7)2+02=√65. 问题1提示：能.对于平面中任意不共线的向量e1,e2,若p= (2)a-b=(0,-3,-2),b-c=(2,-2,1), xe1十ye2,则有序实数组(x,y)是基底{e1,e2}下的坐标. 新知生成 .|a-b|=√13，|b-c|=√9=3， (1)单位向量两两垂直(2)单位正交分解(3)(x,y,x) (a-b)·(b-c)=0+(-3)×(-2)+(-2)×1=4. 坐标分量 新知应用 ..cos(a-6,b-c)-(a-b).(b-c) la-bllb-cl 解：a=(3,2,-1);b=(-1,0,3). 44W13 活动二 √13X339 新知导学 学案5空间向量的坐标与空间向量的 问题2提示：a+b=(x1+x2y1十y2):a-b=(x1一x2y1一y2)y Aa=(入x1,y1);a·b=x1z2十y1y2;la=√x+y等. 平行、垂直 新知生成 x1=x2y1=y2,21=22(x1十x2y1十y2,之1十z2) 课堂活动 x1x2十y1y2十z1之2 活动一 新知应用 新知导学 解：a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2), 问题1提示：0/h=b=a台区：二1'当1y1都不为0时， 2a·(-b)=2(2,-1,-2)·(0,1,-4)=(4,-2,-4)· y2=y1, (0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14, 又a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2,0,-6), 有-出=入，即x1y2一xy1=0,而此时x11x2归可 x1 y1 .(a+b)·(a-b) 以是任意实数 =(2,-2,2)·(2,0,-6) 新知生成 =2×2十(-2)×0+2×(-6)=-8. x1Ay1λz 16