第1章 学案2 空间向量的数量积-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案2空间向量的数量积 记 昆学习任务 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.（数学抽象） 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.（逻辑推理、数学运算） 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.（直观想 象、数学运算) 课堂活动 活动一掌握空间向量的夹角 阄新知导学 阅读教材P8一10，完成下列问题， 「方法总结」找两向量夹角的关键是把两向 问题空间中任意两个向量可以平移到同一起点 量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角， 吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？ 再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是 [0,π]. 活动二掌握空间向量的数量积的概念、 几何意义及性质 厅新知生成 厅新知生成 1.空间向量的数量积 (1)定义：给定两个非零向量a,b,在空间内任 定义：已知两个非零向量a,b,则|a|bcos(a,b) 选一点O,作OA=a,OB=b,则大小在[0，π] 称为a,b的数量积（或内积），记作a·b.即a·b 内的 称为a与b的夹角，记作(a,b). =lallblcos(a,b) (2)如果a,b>= 2则称向量a与向量b 规定：零向量与任意向量的数量积为0. 记作a⊥b. 2.数量积的几何意义 (I)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空 (3)约定零向量与任意向量都垂直. 间中的直线l(或平面a),过a的始点和终点分 提醒：找两个向量夹角时，起点必须相同. 别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A, 今新知应用 B,则向量AB称为a在直线l(或平面a)上的 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB与 投影.如图所示 C1B的夹角(AB,C1B〉= ;向量A1B 与B1D1的夹角(A1B,B1D1)= 116 空间向量的数量积学案2 (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a (5)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零 听 在b上的投影a的数量与b的长度的 向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一般 特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上 不成立 记 的投影a'的数量. 今新知应用 3.空间向量的数量积的性质 1.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD, 若a,b是非零向量，则a⊥b台 垂直 BC=CD=4,∠BCD-红，点E为AC的中 a·b= 点，则BE·CD= 同向：a·b=|a·|b 共线 反向：a·b=-|a·|b (1)a·a=|ala|cosa,a〉 =|a2; 模 A.8 B.4 (2)la|=√a·a; 向量数量 C.-8 D.-4 (3)a·ba·b 积的性质 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1= 若0为a,b的夹角，则cos0 AB=2,AD=1,M为棱DD1的中点，P是线 夹角 a·b lab 段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是 ( (1)数乘结合律：(aa)·b=入(a ·b); 运算 (2)交换律：a·b=b·a; 律 (3)分配律：(a十b)·c=a·c+ D b·c B 提醒：(1)数量积必须是点乘，其结果是一个 A.A1P·A1B B.A1P·PB 实数 C.A1P·PM D.A,P·AM (2)当两个向量的夹角0为锐角时，a·b>0; 「方法总结」求数量积的两种情况及方法 但当a·b>0时，夹角0不一定为锐角，因为0 (1)已知向量的模和夹角 可能为0. 利用a·b=a||b|cos(a,b),并结合运算律进行 (3)当两个向量的夹角0为钝角时，a·b<0; 计算 但当a·b<0时，夹角0不一定为钝角，因为0 (2)在几何体中求空间向量的数量积 可能为π. 先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形！ (4)向量a在向量b方向上的投影是一个 式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知· 向量. 模和夹角的向量的数量积. 710 人教B版数学选择性必修第一册 听 活动三掌握空间向量数量积的简单应用 2.求两个空间向量a,b夹角的方法类同平面内 两向量夹角的求法，利用公式cos〈a,b〉= 笔 今新知应用 a·b 角度1利用数量积求模和夹角 ab,在具体的几何体中求两向量的夹角时， 1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面AB 可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的 CD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2,且 起点重合，转化为求平面中两直线的夹角的大小 ∠A1AD=∠A1AB=60°，M为BD的中点，P 问题。 角度2利用数量积解决垂直问题 为BB1的中点，设AB=a,AD=b,AA1=c. 2.在空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB= D ∠A0C=,求证：OALBC.. M (1)用向量a,b,c表示向量PM,并求出线段 PM的长度； (2)求向量PM与A1C所成角的余弦值. 「方法总结」利用数量积证明（判断）线线垂直 的方法 分别在两直线上取两个向量，计算这两个向量的 数量积是否为0，从而判断两直线是不是垂直. 课堂小结 1.知识清单： (1)空间向量的夹角及数量积的概念。 (2)空间向量的投影 「方法总结」1.求线段长度的步骤 (3)空间向量的数量积的性质. (1)将线段用向量表示. 2.方法归纳：数形结合 (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量， 3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点， (3)利用a=√a得所求长度. 向量的投影仍是一个向量. 118 空间向量的数量积学案2 4课堂达标 5.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA 听 =AB=23,则PO·(PA+PB)= 笔 1.在正四面体ABCD中，点E,F分别是AC,AD 6.如图，在棱长均为1的四棱柱ABCD- 的中点，则BC与EF的夹角为 ( A,B,CD,中，∠A,AD=答，CN-3 C1A1, A.30° B.60° C.120° D.150° 3 2.对于任意空间向量a,b,c,下列说法正确的是 BM=IBD:,AB=a,AD=b,AA:=c. ( A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.a·(b+c)=a·b+a·c C.若a·b<0,则a,b的夹角是钝角 D D.(a·b)c=a(b·c) 3.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC= (1)试用a,b,c表示MN; 2,PB=1,且∠APB=∠CPB=∠APC=60°， (2)求MN的长度； 点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC (3)求向量AA1与MN所成角的余弦值. =2DG,则下列说法正确的是 B A.PG=17 B.PG=√2 C.PG.AB=-4 3 nPG,Ai=-音 4.已知a,b是异面直线，且a⊥b,e1,e2分别为取 自直线a,b上的单位向量，且a=2e1十3e2, b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为 课后反思 910活动四 新知应用 学案2空间向量的数量积 证明：设AB=a,AD=b,AA1=c. 课堂活动 A正=2D,A=号F式， 活动一 新知导学 A正-号ADi=号市-号b 问题提示：可以，可以， 新知生成 A-号AG=号(aC-aA=号a正+A亦-A= (1)∠AOB(2)垂直 新知应用 90°120°[，AB⊥平面BCC1B1,C1BC平面BCC1B1, :床-A庄-a正-号0-号=号6台6-c小 .AB⊥C1B, 故(AB,C1B)=90° 又成-EA+AA+a店-号b-e+a-a-子-c, 连接BD,A1D(图略)， .B D//BD, 床-成 .(A1B,B1D1〉=(A1B,BD〉=180°-∠A1BD 又：EF∩EB=E, ,△ABD为等边三角形， ∴E,F,B三点共线 ∠A1BD=60°，∴.(A1B,B1D1)=120°.] 课堂达标 活动二 1.ABC[A项，向量用有向线段表示，不能比较大小，是真 命题； 新知生成 B项，两向量相等：方向相同，模相等，若向量起点相同，则终 2.(2)乘积 点也相同，是真命题； 3.0 C项，零向量：模为0的向量，真命题； 新知应用 D项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，是假命题.故 1.B[在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 选ABC.] 2.B[在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，M为A1C1与 ∠BCD-S BD1的交点， E为AC的中点，B成=号(BA+B心， AB=a,AD=b,AA:=c, 威-丽+B立-+名硒-+宫赋+ 所以成.前-成·G+号d.市=0+合×4x4× =合a+合Ad+ad,=-a+合6+e, 1 cos号=4 故选B.] 故选B.] 3.AC[对于A,BD=AD-AB=b-a,故A正确； 2.D[由题意得，A1M=√2，A1B=2√2，BM=√6， 对于B,BD1=AD+DD1-AB=b十c-a,故B错误； 则A1M2+BM2=A1B2, .A1M⊥BM. 对于C,AC,=AB+BC+CC1=a十b十c,故C正确； 如图，过点P作PN⊥AB于点N, 对于D,A0=d-Ad=2+A)-AA-7a+ M 名bc,故D错灵 故选AC.] 4A[在△BCD中，G是CD的中点，2(BD+BC)=心， 对于A,A1P·A1B=|A1P1IA1B1cos∠PA1B=|A1N1IA1B1, ∴A店+(BD+BC)=A店+B元-AG.故选A] 由于点P是动，点，所以A1N不是定值，所以A1P·A1B不 是定值，故选项A错误； 5.1[AD=AB+BC+CD=(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+ 对于B,A1P.PB=|A1P1IPB|cos∠A1PM=IMPIPB 2e2)=7e1+(k+6)e2. 设AD=入AB,则7e1+(k+6)e2=A(e1+ke2),所以 =6-PIP=-(-)'+, 伦+6年释=1】 由于点P是动点，所以PB不是定值，所以A1P.PB不是 68a+2-eta+-+6(台a2+号) 定值，故选项B错误； 对于C,A1P.PM=-|PM2,由于|PM不是定值，故选项 -3(a-2b+c) C错误； +3a-2b+3c-3a+6b-3c F2a+b-。c+10n-5b ,10 对于D,由于向量A,P在向量A1M上的投影向量为A1M, =8a+2c 5 所以A1P·A,M=|A1M12=2为定值. 故选D.] 12 活动三 新知应用 所以P-Pò+D店-P+}D成=P市+号(-P市)- 角度1 号防+-成++心， 1.解：1)P成-P+B成-B应+时-}丽+ 由于PA=PC=2,PB=1, 2(AD-A)=2b-a-c): -√兮P+啦+， 由题意可知，|a=b|=l,cl=2,a·b=0,a·c=b·c=1 所以11=号√4+1+4+2x2s音+2x4m号+2xas哥 ×2x号=1， = 所以P-b-a-e)=82+a2+e2-2a6-2b 3,故A正确，B错误 又AB=PB-PA, c+2a·c)=2, 3 所以店.P店=P-).(号++P心) 所以线段PM的长为汽 =号Pi+Pi.P元-P-PA,P心) (2)南1)可知P应=2b-a-c), =(1+2cos号-4-2X2os号）=-青，故C王魔，D 又因为A1C-AC-AA,-=AB+BC-AA,=a+b-c, 错误。 故选AC.] 所以A衣.pi-a+b-e)号b-a-e)=号w+e2 4.6[由aLb,得a·b=0, a-260)=号×1+2-1P-2×1)=1,1AC- 所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0, 所以2k-12=0,解得k=6.] √(a+b-c)z-√a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c 5.16[如图所示， √1+1+4+0-2-2=√2， 所以cosA,C,P=AC·PM 15 AC1IPM12×63 则向量PM与A,亡所成角的余孩值为 3 角度2 2.证明：如图所示， pA.Pi-pA.p心-p.p元=2×2×号=6，pi =PB2=P元=12. 又P0-Pi+ò-P时+号市-P财+号×号店+AC) =Pi+Pi+P心. 因为OA.BC=OA.(O元-OB)=OA.O元-OA.OB =|OAI·1OC1·cOs∠AOC-IOA·IOB|·cos∠AOB 所以PO.(PA+P)=子(PA+Pi+P心)·(Pi+P) =0, -P防+2.成++i,成+成，心) 所以OA⊥BC,所以OA⊥BC. =16.] 课堂达标 1.C[由题意，可得成-C心， 6,解：(I)由题意知，M=MD,+D,C+CN=子BD,+A正 所以(BC,EF)=(BC,CD)=180°-(CB,CD)=180°-60° +cA=号aD,-A)+ai+号C=号(+Ad =120°.] -A+A店-号A店+a)-+号c 2.B[对于A,a⊥b,b⊥c,可能为a∥c,故A错误； 对于B,a·(b十c)=a·b十a·c,故B正确； (2)棱长均为1的四棱柱ABCD-AB,CD,中，∠A1AD=, 对于C,a·b<0,则a,b的夹角是钝角或平角，故C错误； 对于D,(a·b)·c=a·(b·c)说明a和c共线，但是a和c M-(传+子)-号6+46e+e)=号x(1+ 不一定共线，故D错误 故选B.] 4cos子+4)=名， 3.AC[因为D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC =2DG, 所以-亨 31 ad·=e(b+)=e+号e2= 1 活动二 3 cos 3 新知导学 +号-， 问题2(1)提示：如图，设00为OP 5 在i,j所确定的平面上的投影，则 因为cos(AA:,MN)= AA,·MN 6_57 1x14 OP-OQ+QP. IAAMNI 3 又向量QP,k共线，因此存在唯一 所以向量AA与M成所成角的余孩值为5,7 的实数z,使得QP=zk,从而OP 14 =OQ十k. 学案3空间向量基本定理 在i,j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的 课堂活动 有序实数对(x,y),使得OQ=xi十j. 活动一 从而OP=OQ十k=xi十十xk. 新知导学 (2)提示：假设除(x,y,z)外，还存在有序实数组(x'y',之')， 问题1提示：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面 使得p=x'i十yj十之k, 内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa十 则x'i+yj十xk=xi+yj+zk. yb.平面向量基本定理在空间中仍然成立. 不妨设x'卡x, 新知生成 则(x'-x)i=(y-y')j+(之-之')k, 1.唯一 2.(1)不共线唯一(2)不共线唯一 + 两边同除以(x'-x),得i=y,一卫 新知应用 由共面向量定理可知，i,j,k共面，这与已知矛盾. 1.证明：设AA1=a,AB=b,AD=c, 所以x=x',同理y=y,之=之'， 则A1B=b-a, 所以有序实数组(x,y,z)是唯一的 M为线段DD1的中点， 新知生成 Ac- 不共面②线性组合线性表达式③基向量 新知应用 又AN:NC=2:1, 1.AC[画出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示. :不=号AC=号+e, ∴AN=a-d=号b+e)-a -子b-a+(e-2)-号Ai+号A应， .A1N,A1B,A1M为共面向量. 又“三向量有相同的起，点A1, A1,B,N,M四点共面 对于A,直线AB,AC所在的平面是ABCD,而AA1与平面 2.证明：①充分性： ABCD相交， .OP=xOA+yOB+OC, 所以AA1,AB,AC不共面，故这组向量可以成为基底，故选 可变形为OP=(1-y-)OA+OB+0C, 项A正确； ..OP-OA=>(OB-OA)+(OC-OA), 对于B,BA,BC,BD满足BA+BC=BD, ..AP=yAB+zAC, 所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，故选项B 点P与A,B,C共面. 错误； ②必要性： 对于C,直线AC1,BD1所在的平面是ABC1D1,而CB与平 点P在平面ABC内，A,B,C三点不共线， 面ABC1D1相交， ∴.存在有序实数对(m,n)使AP=mAB+nAC, 所以AC1,BD1,CB不共面，这组向量可以成为基底，故选项 OP-OA=m (OB-OA)+n(OC-OA), C正确； :.OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC, 对于D,因为AD,=AC+CD=AC+BA,所以AD1,BA, :OP=x0A+yOB+z0元， AC共面，所以这组向量不可以成为基底，故选项D错误. 又：点O在平面ABC外， 故选AC.] ∴.OA,0B,OC不共面， 2.B[取下底面ABC的中心Q,连接NQ,CM,则MQ ∴.x=1-m-n,y=m,z=n, .x+y+z=1. 14