第1章 学案1 空间向量的概念及其线性运算-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

校本学案参芳答案与精析 第一章 空间向量与立体几何 =AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD -AB+BD+DC+CA=0. 学案1空间向量的概念及其线性运算 法二：（转化为减法运算） 课堂活动 (AB-CD)-(AC-BD) 活动一 =(AB-AC)+(BD-CD) 新知导学 =CB+BC=0.] 问题1提示：①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量 2.解：(I)AB+BC-DC=AB+BC+CD=AC+CD=AD,如 称为向量；②画法：用有向线段AB画出来；③表示方法：AB 图中向量AD: 或ā（书写时用带箭头的小写字母表示）：④零向量：始点和终 (2)连接GF,因为E,F,G分别是BC,CD,DB的中点， 点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；⑤单 位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；⑥相等的向 量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量； ⑦相反向量：在平面中大小相等且方向相反的两个向量称为 相反向量 问题2提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空 间向量研究的是三维空间的向量， (2)联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向 所以GD=BG,G=E心， 量、相等向量的概念等在平面和空间中都适用】 所以AB-DG-CE=AB+GD+EC-AB+BG+GF= 新知生成 A市，如图中向量AF, 1.大小方向模长度长度 活动三 2.零向量模等于1相等相反 新知导学 3.同一平面共面不共面 问题5提示：在平面中a十2a十3a=6a,我们称为向量的数乘 新知应用 运算，其结果仍是一个向量. 1.D[A中，单位向量长度相等，方向不确定； 新知生成 B中，有向线段只是空间向量的一种表示形式； 相同相反 C中，向量不能比较大小.] 新知应用 2.BC[A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不 解：(1)P是CD1的中点， 仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向 不一定相同； AP-AA.+A,D.+D,P-a+AD+7D.C B为真命题，AC与A1C,的方向相同，模也相等，故AC =a+e+号a店=a+2b+c =A1C1; (2)N是BC的中点， C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，a与c AN-AA++成=-a+b+8成 不一定平行.门 =-a+b+号4=-a+5+名c 活动二 新知导学 (3):M是AA1的中点， 问题3提示：①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则 :M-i+A护-}A有+A护 或向量加法的平行四边形法则； -2a+(a+e+2b）-2a+2b+e 1 ,1 几何意义：a十b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边或 以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线（图略） 母题变式(1)：解：因为P,N分别是C1D1,BC的中点， ②向量减法的三角形法则：a一b表示以a与b为邻边的平行 四边形的另一条对角线（图略）. 所以PN=PC+C+C=号A店+(-AM)+(-2AD) 问题4提示：空间向量加减法的运算法则所满足的运算律与 1 平面向量完全相同， =-a+2b-2c. 新知应用 母题变式(2)：解：A=AD,+D,户=AA+A+号A店 1.0[法一：（转化为加法运算） (AB-CD)-(AC-BD) =a+号b+c, 110 活动四 新知应用 学案2空间向量的数量积 证明：设AB=a,AD=b,AA1=c. 课堂活动 A正=2D,A=号F式， 活动一 新知导学 A正-号ADi=号市-号b 问题提示：可以，可以， 新知生成 A-号AG=号(aC-aA=号a正+A亦-A= (1)∠AOB(2)垂直 新知应用 90°120°[，AB⊥平面BCC1B1,C1BC平面BCC1B1, :床-A庄-a正-号0-号=号6台6-c小 .AB⊥C1B, 故(AB,C1B)=90° 又成-EA+AA+a店-号b-e+a-a-子-c, 连接BD,A1D(图略)， .B D//BD, 床-成 .(A1B,B1D1〉=(A1B,BD〉=180°-∠A1BD 又：EF∩EB=E, ,△ABD为等边三角形， ∴E,F,B三点共线 ∠A1BD=60°，∴.(A1B,B1D1)=120°.] 课堂达标 活动二 1.ABC[A项，向量用有向线段表示，不能比较大小，是真 命题； 新知生成 B项，两向量相等：方向相同，模相等，若向量起点相同，则终 2.(2)乘积 点也相同，是真命题； 3.0 C项，零向量：模为0的向量，真命题； 新知应用 D项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，是假命题.故 1.B[在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 选ABC.] 2.B[在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，M为A1C1与 ∠BCD-S BD1的交点， E为AC的中点，B成=号(BA+B心， AB=a,AD=b,AA:=c, 威-丽+B立-+名硒-+宫赋+ 所以成.前-成·G+号d.市=0+合×4x4× =合a+合Ad+ad,=-a+合6+e, 1 cos号=4 故选B.] 故选B.] 3.AC[对于A,BD=AD-AB=b-a,故A正确； 2.D[由题意得，A1M=√2，A1B=2√2，BM=√6， 对于B,BD1=AD+DD1-AB=b十c-a,故B错误； 则A1M2+BM2=A1B2, .A1M⊥BM. 对于C,AC,=AB+BC+CC1=a十b十c,故C正确； 如图，过点P作PN⊥AB于点N, 对于D,A0=d-Ad=2+A)-AA-7a+ M 名bc,故D错灵 故选AC.] 4A[在△BCD中，G是CD的中点，2(BD+BC)=心， 对于A,A1P·A1B=|A1P1IA1B1cos∠PA1B=|A1N1IA1B1, ∴A店+(BD+BC)=A店+B元-AG.故选A] 由于点P是动，点，所以A1N不是定值，所以A1P·A1B不 是定值，故选项A错误； 5.1[AD=AB+BC+CD=(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+ 对于B,A1P.PB=|A1P1IPB|cos∠A1PM=IMPIPB 2e2)=7e1+(k+6)e2. 设AD=入AB,则7e1+(k+6)e2=A(e1+ke2),所以 =6-PIP=-(-)'+, 伦+6年释=1】 由于点P是动点，所以PB不是定值，所以A1P.PB不是 68a+2-eta+-+6(台a2+号) 定值，故选项B错误； 对于C,A1P.PM=-|PM2,由于|PM不是定值，故选项 -3(a-2b+c) C错误； +3a-2b+3c-3a+6b-3c F2a+b-。c+10n-5b ,10 对于D,由于向量A,P在向量A1M上的投影向量为A1M, =8a+2c 5 所以A1P·A,M=|A1M12=2为定值. 故选D.] 12空间向量的概念及其线性运算 学案1 第一章空间向量与立体几何 听 学案1空间向量的概念及其线性运算 记 昆学习任务 1.学习向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念.（数学抽象） 2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义.（逻辑推理） 3.掌握空间向量的线性运算.（数学运算） 2.几类特殊的空间向量 课堂活动 名称 定义及表示 活动一理解空间向量的概念 始点和终点相同的向量称为 零向量 阄新知导学 记为0 单位向量 的向量称为单位向量 阅读教材P3一4，完成下列问题， 问题1你还记得平面向量中有哪些与向量相关 与向量a大小 、方向 相反向量 的概念？ 的向量，称为a的相反向量，记为一a 如果两个非零向量的方向相同或者相 平行（共 反，则称这两个向量平行（也称为两个 线)向量 向量共线) 相等的 大小相等、方向相同的向量称为相等 向量 的向量 问题2对比平面向量与空间向量的有关概念， 二者有什么区别与联系？ 3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表 示它们的有向线段通过平移之后，都能在 内，则称这些向量 ；否则， 称这些向量 提醒：(1)空间向量的模可以比较大小，任意两 个空间向量可以相等，但不能比较大小 厅新知生成 (2)共线向量不一定具有传递性，比如其中一个 向量为0时，不具有传递性 1.空间中既有 又有 的量称为空 (3)空间向量书写时必须加“→” 间向量，向量的大小也称为向量的 (或 ).空间向量可用有向线段表示，有 今新知应用 向线段的 表示向量的大小，向量a的 1.下列关于空间向量的说法中正确的是( 始点是A,终点是B,则向量a也可记作AB A.单位向量都相等 其模记为a或AB|. B.空间向量就是空间中的一条有向线段 人教B版数学选择性必修第一册 C.若向量AB,CD满足|AB|>|CD,则AB 后新知生成 课 >CD 记 语言 首尾顺次相接，首指向 D.相等向量的方向必相同 叙述 尾为和，若封闭，和为0 三角形 2.(多选)下列命题为真命题的是 法则 图形 A.若空间向量a,b满足|a=|bl,则a=b 叙述 B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC 加法 运算 共起点的两边为邻边作 =A,Ci 语言 平行四边形，共起点对 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p, 平行四边 叙述 角线为和 则m=p 形法则 图形 D.空间中，若a∥b,b∥c,则a∥c 叙述 「方法总结」空间向量的概念与平面向量的概 语言 共起点，连终点，方向指 、 念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、 叙述 向被减向量 相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可 减法 三角形 以拓展为空间向量的相关概念 运算 法则 图形 b 叙述 活动二掌握空间向量的加减法运算 0 阄新知导学 加法 交换律 a+b=b+a 运算 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 、 阅读教材P5一7，完成下列问题. 提醒：(1)两个向量的减法运算可以看成是一个 问题3你还记得平面向量的加、减运算的法 向量加上另一个向量的相反向量， 则吗？ (2)共起点的两个向量相减，其差为减向量的终 点指向被减向量的终点的向量 (3)向量的加法和减法运算结果仍是向量， 新知应用 1.化简：(AB-CD)-(AC-BD)= 问题4你能类比平面向量的加减运算律给出空 2.如图，已知空间四边形ABCD,连接AC,BD, E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简以 间向量的加减运算律吗？ 下式子，并在图中标出化简结果 112 空间向量的概念及其线性运算 学案1 续表 (1)AB+BC-DC; 听 结合律 λ(ua)=(au)a (2)AB-DG-CE. 运算 (入十u)a=λa+ua,λ(a+b)= 律 分配律 记 Aa+λb 提醒：(1)当入=0或a=0时，λa=0. (2)入的正负影响着向量λa的方向，入的绝对值的 大小影响着入a的长度. (3)向量λa与向量a一定共线. (4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们！ 的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 「方法总结」空间向量加法、减法运算的两个 今新知应用 技巧 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首 中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别 尾相接. 是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以 (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必 下各向量： 要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. D 活动三掌握空间向量的数乘运算 M )新知导学 阅读教材P7一8，完成下列问题. (1)AP;(2)A1N;(3)MP. 问题5平面中是如何表示a十2a十3a的？ 后新知生成 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘 定义 向量 λa与向量a的 λ>0且a≠0 方向 几何 Aa与向量a的 λ<0且a≠0 la=lλlla 意义 方向 λa=0,其方向 λ=0或a=0 是任意的 310 人教B版数学选择性必修第一册 听 母题变式(1)：若本题条件不变，试用a,b,c表示 活动四掌握空间向量线性运算的应用： 课 向量PN. 共线问题 记 新知应用 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E在A1D1上，且A1E=2ED1,点F在体对角 线A,C上，且AF=名元.求证：E,F,B三点 3 共线 D 母题变式(2)：若将本题中的条件“P是C1D1的 P 中点”改为“点P在线段CD上，且PD }”,其他条件不变，如何表示AP? 「方法总结」证明空间三点P,A,B共线的 方法 (1)存在实数入，使PA=λPB成立」 (2)对空间任-点O,有OP=OA+tAB(t∈R). !「方法总结」利用数乘运算进行向量表示的 (3)对空间任-点O,有OP=xOA+OB(x十y=1). 技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体 课堂小结 图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标 1.知识清单： 向量转化为已知向量. (1)向量的相关概念. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙 、 (2)向量的线性运算（加法、减法和数乘）. !运用中点性质. (3)向量线性运算的应用. 114 空间向量的概念及其线性运算学案1 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、 3.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 听 数形结合， 中，AC和BD的交点为O,设AB=a,AD=b, 课 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个 AA1=c,则下列结论正确的是 记 要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数， 七课堂达标 B 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能 比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 A.BD=b-a C.只有零向量的模等于0 B.BD=a-b+c D.共线的单位向量都相等 C.ACj=a+b+c 2.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M为 A1C1与BD1的交点，若AB=a,AD=b, DA,0=++e 1 4.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点，连接！ AA1=c,则与BM相等的向量是 () D AG,则A店+2(BD+BC) A.AG B.CG C.BC D.BC 1 1 A.2a+2b+c 5.设e1,e2是空间中两个不共线的向量，已知AB +b+e =e1十ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且 A,B,D三点共线，则实数k= C.ze-gb-te 6化简2(a+2b-3e)+5(后ab+号c) D.-ta-e 3(a-2b+c)= 课后反思 510