4.2等差数列的前n项和公式 第2课时等差数列的前n项和的性质与应用练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　等差数列的前n项和的性质与应用 1.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1<a2<0,则数列{an}的前n项和Sn (　 ) A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值 C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值 2.在等差数列{an}中,已知公差d=,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100= (　 ) A.145 B.150 C.170 D.120 3.[2025·浙江精诚联盟高二联考] 在等差数列{an}中,前7项之和为30,最后7项之和为110,前n项之和是230,则项数n为 (　 ) A.21 B.22 C.23 D.24 4.[2025·湖北武汉高二期末] 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则的值为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=4,S12=9,则S8= (　 ) A.20 B.16 C.7 D.2 6.[2025·北京朝阳区高二期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S3>0”是“{Sn}为递增数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在等差数列{an}中,若<-1,且前n项和Sn有最大值,则Sn取得最大值时n的值为　　　　.  8.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=　　　　.  9.我国古代有这样一个有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,且装米量自下而上逐节等量减少,问竹子的各节各装米多少升?以此计算,这根竹子的装米量为　　　　升.  10.已知等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,若(a3-1)(a4-1)=2,S6=15,则Sn≥0时n的最大值为 (　 ) A.9 B.10 C.11 D.12 11.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,若-=-1,S1=32,则下列说法正确的是 (　 ) A.an=-2n+34,n∈N* B.S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为-8 C.Sn取得最大值时n的值为16 D.Sn≥0时,n的最大值为33 12.已知等差数列{an}的首项a1=-1,Sn为{an}的前n项和,若数列{Sn}是递增数列,则{an}的公差d的取值范围是　　　　　.  13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S11>0,S12<0,则数列(1≤n≤11)中的最大项为第　　　　项.  14.[2025·陕西西安高二期末] 记Sn是等差数列{an}的前n项和,且a5=S3,a2-a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使Sn>2an-1成立的n的最小值; (3)求数列{(-1)nSn}的前2n项和T2n. 15.某企业投资144万元建立一座蔬菜加工厂,第一年的支出为24万元,以后每年的支出比上一年增加8万元,每年销售蔬菜的收入为100万元,设f(n)(单位:万元)表示前n年的纯利润.(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额) (1)该企业从第几年开始获得纯利润? (2)若五年后,该企业为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案:①年平均纯利润最大时,以96万元的价格出售该厂;②纯利润最大时,以32万元的价格出售该厂.哪种方案较合算? 16.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=S12,且(n+1)Sn<nSn+1,则 (　 ) A.数列{an}为递增数列 B.S10和S11均为Sn的最小值 C.存在正整数k,使得Sk=0 D.存在正整数m,使得Sm=S3m 17.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若对任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,则的值不可能为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=10. (1)若S20=590,求{an}的公差; (2)若a1∈Z,且S7是数列{Sn}中最大的项,求a1所有可能的值. 17.已知等差数列{an}的公差为d,且d≠0,设Sn为数列{an}的前n项和,数列{bn}满足bn=4Sn-2n(n∈N*). (1)若a1=-1,d=1,且bn<an,求n的所有可能取值; (2)若数列{}也是公差为d的等差数列,求数列{(-1)nbn}的前n项和Tn. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等差数列的前n项和的性质与应用 1.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a1<a2<0,所以d=a2-a1>0,所以数列{an}为递增数列,且a1<0,所以Sn有最小值,无最大值,故选A. 2.A　[解析] 因为在等差数列{an}中,公差d=,且a1+a3+a5+…+a99=60,所以a2+a4+a6+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+50d=60+25=85,则a1+a2+a3+…+a100=60+85=145.故选A. 3.C　[解析] 由题意易得两式相加得7(a1+an)=140,即a1+an=20,所以前n项之和Sn==230,所以n=23,故选C. 4.B　[解析] 因为数列{an},{bn}均为等差数列,所以由=,可设Sn=n(2n+1)k,Tn=n(3n-1)k,k≠0,则a7=S7-S6=105k-78k=27k,b5=T5-T4=70k-44k=26k,所以==.故选B. 5.C　[解析] 由题意得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,故S4+S12-S8=2(S8-S4),即4+9-S8=2(S8-4),解得S8=7.故选C. 6.B　[解析] 由{an}是等差数列,S3>0,得S3=a1+a2+a3=3a2>0,所以a2>0,S4=a1+a2+a3+a4,不能判断a4的正负,所以不能判断S3,S4的大小,所以不能确定{Sn}是否为递增数列;若{Sn}为递增数列,则Sn-Sn-1>0(n≥2),即当n≥2时,an>0,所以a2>0,又S3=a1+a2+a3=3a2,所以S3>0.所以“S3>0”是“{Sn}为递增数列”的必要不充分条件.故选B. 7.8　[解析] 由<-1,得<0,又等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,所以公差d<0,所以a8>0,a9+a8<0,则a9<0,所以Sn取得最大值时n的值为8. 8.5　[解析] ∵数列{an}是等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,又S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴(S9-S6)+9=2×7,得S9-S6=5. 9.10.5　[解析] 依题意,竹子自下而上各节的装米量构成等差数列{an},n∈N*,n≤7,则a1+a2=4,a6+a7=2,故a1+a7=a2+a6=3,所以这根竹子的装米量为=10.5(升). 10.C　[解析] 由S6=15,可得S6==3(a3+a4)=15,解得a3+a4=5.又因为(a3-1)(a4-1)=2,即a3a4-(a3+a4)+1=2,所以a3a4=6.因为等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,所以公差d<0,所以a3>a4,可得a3=3,a4=2,则d=a4-a3=-1.由a3=a1+2d=a1-2=3,解得a1=5,所以Sn=na1+d=5n-=-n2+n,令Sn≥0,即-n2+n≥0,解得0≤n≤11,所以n的最大值为11.故选C. 11.ABD　[解析] 因为-=-1,S1=32,所以数列是以=32为首项,d=-1为公差的等差数列,所以=32-(n-1)=33-n,即Sn=n(33-n),而开口向下的二次函数y=x(33-x)=-x2+33x的图象的对称轴方程为x=,所以当n=16或n=17时,Sn取得最大值,故C错误;由Sn=n(33-n),得a1=S1=32,Sn-1=(n-1)(34-n)(n≥2,n∈N*),所以an=Sn-Sn-1=n(33-n)-(n-1)(34-n)=34-2n(n≥2,n∈N*),又a1=32满足上式,所以an=34-2n(n∈N*),故A正确;由Sn=n(33-n),得S2=62,S4-S2=116-62=54,S6-S4=162-116=46,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为-8,故B正确;由Sn=n(33-n)≥0,解得0≤n≤33,所以Sn≥0时,n的最大值为33,故D正确.故选ABD. 12.(1,+∞)　[解析] 若数列{Sn}是递增数列,则Sn+1-Sn=an+1>0恒成立,即-1+nd>0恒成立,又n∈N*,所以d>1,所以{an}的公差d的取值范围是(1,+∞). 13.6　[解析] 依题意,S11==11a6>0,即a6>0,S12==6(a6+a7)<0,即a6+a7<0,所以a7<-a6<0,且|a7|>a6,则等差数列{an}的公差d=a7-a6<0,即数列{an}是递减数列,且前6项均为正数,从第7项起为负数,所以数列{Sn}的最大项为S6,a6是数列{|an|}中的最小项,且a6>0,所以数列(1≤n≤11)中的最大项为,是第6项. 14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意知解得 所以an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)由(1)可得Sn===n2, 由Sn>2an-1可得n2-4n+3>0,解得n<1或n>3, 因为n∈N*,所以n的最小值为4. (3)因为(-1)nSn=(-1)n·n2,所以T2n=-1+22-32+42+…-(2n-1)2+(2n)2=1+2+3+4+…+2n==2n2+n. 15.解:(1)f(n)=100n--144=-4n2+80n-144, 令f(n)>0,得-4n2+80n-144>0,解得2<n<18,所以该企业从第3年开始获得纯利润. (2)方案①:=80-≤80-2=80-48=32,当且仅当4n=,即n=6时取等号,此时出售该厂的总纯利润为32×6+96=288(万元). 方案②:因为f(n)=-4(n-10)2+256,所以当n=10时,f(n)max=256, 此时出售该厂的总纯利润为32+256=288(万元). 因为出售该厂时的总纯利润相同,但是方案①需要6年,方案②需要10年,所以方案①较合算. 16.ACD　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为(n+1)Sn<nSn+1,即Sn<n(Sn+1-Sn)=nan+1,所以<an+1.因为Sn=na1+d,所以=a1+d<an+1=a1+nd,即nd-d=d>0,又n+1>0恒成立,所以d>0,故等差数列{an}为递增数列,A正确.由S8=S12,得8a1+28d=12a1+66d,即a1=-d,故an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=d,因为d>0,所以a10=d<0,a11=d>0,故S10为Sn的最小值,B错误.Sk=ka1+d=-kd+d=d,因为k∈N*,所以当k=20时,Sk=0,所以存在正整数k,使得Sk=0,C正确.Sm=d,S3m=d,令d=d,因为m∈N*,所以m=5,故存在正整数m,使得Sm=S3m,D正确.故选ACD. 17. .A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由题意得,当n=6时,Sn取得最小值,所以a1<0,d>0,a6≤0,a7>0.若a6=a1+5d=0,则===4;若a6=a1+5d<0,a7=a1+6d>0,则-6<<-5,则===1+>4.故选A. 18.解:设等差数列{an}的公差为d. (1)由解得即{an}的公差为3. (2)因为a4=a1+3d=10,所以d=, 又S7是数列{Sn}中最大的项, 所以d=<0,得a1>10, 由即得 解得≤a1≤20, 又a1∈Z,所以a1的可能取值是18,19,20. 19.解:(1)依题意,an=-1+(n-1)=n-2,Sn==n2-n, 则bn=4Sn-2n=2n2-8n,由bn<an,得2n2-8n<n-2,即2n2-9n+2<0,解得<n<, 又n∈N*,所以n的所有可能取值为1,2,3,4. (2)由{}是公差为d的等差数列,设=dn+b, 又===, 所以dn+b=对任意n∈N*恒成立,即2dn2+(4a1-2d-2)n=d2n2+2dbn+b2对任意n∈N*恒成立,则 又d≠0,所以从而bn=4n2,则(-1)nbn=4(-1)nn2. 当n为偶数时,Tn=4[-12+22-32+42-…-(n-1)2+n2]=4{(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+…+[n-(n-1)]× (n+n-1)}=4(1+2+3+4+…+n)=2n(n+1);当n为奇数时,Tn=4[-12+22-32+42-…+(n-1)2-n2]=4{-1+(2-3)×(2+3)+(4-5)×(4+5)+…+[(n-1)-n]×(n-1+n)}=4(-1-2-3-4-…-n)=-2n(n+1).综上,Tn=(-1)n·2n(n+1). 2 学科网（北京）股份有限公司 $