学案13 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

2.C[(m2+1)(m+1)(m-1)-(m+1) 课堂达标 =(m2+1)(m2-1)-(m4+1) 1.B[x2-5x-6=0可化为(x-6)(x十1)=0，解得x=6或 =(m4-1)-(m+1) x=-1, =m4-1-m4-1 所以一元二次方程x2-5x-6=0的解集为{6，-1}， =-2.] 故选B.] 活动二 2.D[对于A,应该是x-x=x(x-1),故A错误； 新知导学 对于B,应该是2x2-x一1=(2x+1)(x一1)，故B错误； 问题2提示：提取公因式法，公式法等. 对于C,5x2-2x-3=(x-1)(5x十3)，故C错误， 新知生成 D正确， ab atb (x+a)(x+b)C 故选D.] 新知应用 3.CD[对于A,等式两边同时减去(2x一1)，得x=2,故A不 正确；对于B,当c=0时，不一定有a=b,故B不正确；对于 解：(1) C,在号式两边同时来以ua≠0，得到6，故C正确：两 2 于D,在等式两边同时乘以5得到y=x,故D正确.] x2+x-2=(x-1)(x+2). 4.C[对于A,x=1时，x2≠0，故A错误； X 对于B,取x=0,y=1,x十y=1≠0，故B错误； 2 对于C,=】.1（红≠0，)y≠0)，故C正确： xy x y x2-8x+1-(-2）x-2. 对于D,取x=y=一1，可得√xy=1,√x与y无意义，故D 错误. 故选C.] 2 5.B[(a-b)2-c2=(a+c-b)[a-(b+c)], 3 a,b,c是三角形的三个边长， 2x2+11x+12=(x+4)(2x+3). ∴.a+c-b>0,a-(b+c)<0,.(a-b)2-c2<0. 故选B.] (4) 51 6{侵E,- [(2x+3)(2x4-x2-6)=0可化为 5x2-7x-6=(x-2)(5x+3). (2x+3)(2x2+3)(x2-2)=0, 活动三 .2x2+3>0,.(2x+3)(x2-2)=0, 新知导学 问题3提示：{0,2}. 部得=一 2x2=2,x,=-2, 新知生成 1.未知数解集 方程(2z+3)(2x-t-6)=0的解集为←号厄，一②.】 2.{x1,x2}{x1} 7.解：(1)x2+7x+6=(x+1)(x+6) 新知应用 (2)2x2+7x+6=(x+2)(2x+3). 解：(1)整理，得x2-2x十1=0. (3)x4-x2-12=(x2-4)(x2+3)=(x+2)(x-2)(x2+3). 即(x-1)2=0, (4)x2-7a.x+12a2=(x-3a)(x-4a). 所以x1=x2=1 学案13一元二次方程的解集及其根与 所以原方程的解集为{1}. (2)利用平方差公式，将原方程化为[4(x一5)+3(x+4)]· 系数的关系 [4(x-5)-3(x+4)]=0, 课堂活动 整理可得(7x一8)(x-32)=0, 活动一 所以7x一8=0或x-32=0, 新知导学 所以x=号或x32， 问题1提示：可以通过配方法求解.方程x2一8x一20=0可化 为(x-4)2=36,开方得x-4=6或x一4=一6，即x=10或 故原方程的解桑为号，32. x=-2. 110 新知生成 1 1 开平方☑配方直接开平方法一次因式一m 解得x1=22=一3两根之和x方1十x:=2+（-3)= -n 新知应用 号，是一次项系数5除以二次项系数2的相反数；两根之积 解：(1)法一：移项，得x2一2x=8.配方，得(x一1)2=9.由此 可得x一1=士3. 工=2X(-3)=一2，等于常数项-3除以二次项系数2 3 x1=4,x2=-2..方程的解集为{-2,4}. 新知生成 法二：原方程可化为(x一4)(x十2)=0， .x-4=0或x+2=0..x1=4,x2=-2. a a ,方程的解集为{一2,4}. 新知应用 (2)移项，得x2+12x=13.配方，得(x十6)2=49.由此可得 B[根据根与系数的关系有x1+x2=1,x1x2=m, x+6=±7 1+1-+=.又+1=-2，=-2，解得 x1 I2 IIx2 m m x1=1,x2=一13.∴.方程的解集为{一13,1}. 1 (3)化二次项系美为1，得2-4红+-0，移项，得2-红 m=-2] 课堂达标 =-号®方，得z-2)r=-号”-号<0，(e-2≥0， 5 1.B[由3x2-6x+2=0得3(x2-2x+1)=3-2→ ∴。方程的解集为⑦ 3(x-1)2=1. 活动二 故选B.] 新知导学 2.B[2x2-4x+3=0中，A=(-4)2-4×2×3<0,故解集 问题2提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为 为0. 故选B.] 4a2 3.C[因为关于x的方程x2-mx十m2-3=0的解集只有一 当62-4ac>0时，-b+B-4ac与b-B=4ac不等. 个元素， 2a 所以△=m2-4(m2-3)=0,解得m=士2. 方程有两个不等实根： 故选C.] 当b2一4ac=0时，两根相等，方程有两等根； 4.B[对于A,当Q=0时，原方程的解集为{0)，A正确； 当b2-一4ac<0时，方程无实根. 新知生成 对于B,把x=1代入方程，可得a2-3a+1=0,4=3±5 2 e{-品 (3)⑦ 当a=3士5时，原方程的解集为{1,2十5， 2 新知应用 解：原方程可化为5x2-4x-1=0, 当a-3,5时，原方程的解集为1,2-5，B错误： 2 所以a=5,b=-4,c=-1, 对于C,把x=2代入方程，可得a=1或a=4,当a=1时，原 △=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0, 方程的解集为{0,2}，C正确； 所以方程有两个不相等的实根， 对于D,当a<0时，原方程的解集为空集，D正确. x=6±V6-4ac 故选B.] -（-4)±V36_4生6】 2a 2×5 10 5.A[由判别式△=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7 1 =一(2m-1)2一6<0，得方程的解集为☑ 即x1=1,x2=-5 故选A.] 活动三 6.解：(1)由题知， 新知导学 1k-1≠0， 问题3提示：对于方程3x2一7x十2=0，因式分解得(3x一1)· △=(2k-3)2-4(k-1)(k+1)>0, 1 (x-2)=0,解得x1=3x=2.两根之和x1十-3+2 解得及<吕且1， ,恰好是一次项系数一7除以二次项系数3的相反数；两根 7 故的取值范国为（一，U(1,》 2 之积工1x?=3×2=3,等于常教项2除以二次项系教3. 2公落十，-0，即装-0，解得5-号 对于方程2x2+5x一3=0，因式分解得(2x一1)(x十3)=0， 由(1)可知，这样的实数不存在 111 7.解：(1)因为x1,x2是方程x2-5x十1=0的两个不相等的 把y=-号代入③，得1=3 7 1 实根， 可得△>0，且x1十x2=5,x1x2=1, 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以x1+x=(x1十x2)2-2x1x2=52-2=23. 1 x1=3 x2=3, (2)由(1)知，x1十x2=5,x1x2=1, 所以原方程组的解是 或 y1=-3 y2=-1. 则|x1-x2=√(x1十x2)2-4x1x2=√/52-4X1=√2I. (3)由(1)知，x1+x2=5,x1x2=1, 所以原方程组的解桌为（号，一写），3，-1）}。 则x十x2=(x1+x2)(x号-x1x2十x经)=(x1十x2)· [(x1+x2)2-3x1x2]=5X(52-3X1)=110. 法二：由①得(x十y)2=4, 即x十y=2或x十y=-2. 学案14方程组的解集 原方程组转化为 红十y=2或 x+y=-2, 课堂活动 x-2y=5x-2y=5, 活动一 1 x1=3, x2=3’ 新知导学 解得 或 y1=-1 7 问题1提示：都适合 y2=-3 新知生成 交集消元法 所以原方程复的解集为（号，-号），3，-1D} 新知应用 活动三 1.解：由②得x=5+3y,③ 新知导学 将③代入①，得2(5+3y)+y=5. 问题3提示：根据系数特点，先消去y最简便， 整理，得7y十5=0，解得y= 新知应用 解：①+③，得3x+5y=11.④ 把y= 号代入回，得x-9。 ③×2+②，得3x+3y=9,即x+y=3.⑤ 3x+5y=11, 所以方程缸的每案是{《(9，一)》。 ④与⑤组成二元一次方程组{ x+y=3. 2.解：法一：（加法消元）①+②，得6.x=12,解得x=2.把x=2 解这个方程组，得=2， 代入②，得3×2+7y=13,解得y=1. y=1. 所以方程组的解集为{(2,1)》. 把x=2,y=1代入③，得2+2-之=5，所以x=-1. 法二：（减法消元）①-②，得-14y=一14，解得y=1. 所以方程组的解集为{(2,1，一1)}. 把y=1代入①，得3x-7×1=-1,解得x=2. 课堂达标 所以方程组的解集为{(2,1)}. 1 y-x=1, x=2 法三：（加减法消元）①十②，得6x=12,解得x=2. 1.A[解方程组 得 y+x=2, 3 ①-②，得-14y=-14,解得y=1. y=2' 所以方程组的解集为{(2,1)}. 活动二 w=(分2) 新知导学 点（分，名）在第一象限故选A] 问题2提示：解二元二次方程组的关键是“消元”“降次”；消元 的方法主要还是代入消元法和加减消元法 2.D[:关于x,y的方程 mx+4y=7,的解集为{1,2)》， 新知生成 3x-my=n 含有两个未知数2消元和降次 m+4×2=7, m=-1, 解得 新知应用 3-m×2=n, n=5, x2+2xy+y2=4,① ,.m-n=-6. 解：已知方程组 x-2y=5.② 故选D.] 法一：由②得x=2y+5,③ x+y=1,① 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 3.C[y+z=5,② x+x=6,③ 整理，得3y2+10y+7=0,解得1=一{2= ∴.①+②+③得，2x+2y+2z=12,即x+y+z=6,④ 112一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案13 学案13一元二次方程的解集及其根与系数的关系 听 昆学习任务 记 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.（数学运算） 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.（数学运算） 3.理解一元二次方程根与系数的关系.（逻辑推理、数学运算） 课堂活动 新知应用 用适当的方法求下列方程的解集： 活动一”会求一元二次方程的解集 (1)x2-2x-8=0; 阄新知导学 (2)x2+12x-13=0; (3)2x2-8x+13=0. 问题1对于方程x2一8x一20=0，除了通过分 解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？ 厅新知生成 元二次方程的解法 形如(x一k)2=t（t≥0)的方程，两 直接开 边 ,转化为两个一元一次方程， 平方法 形如(x一k)2=t(t<0)的方程，解集为 「方法总结」用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项 把一元二次方程a.x2+bx十c-0(a≠0) 系数 配方法 通过 化成(x-k)2=t(t≥0)的 (2)移项：把常数项移到方程的右边. 形式，再用 求解 (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平 方，把左边配成完全平方的形式. 一元二次方程的一边为0，另一边分解成 (4)开方：方程两边同时开方（直接开平方法），目 两个 的乘积，即可 因式 的是为了降次，得到一元一次方程。 化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形 分解法 (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过 式，即可解得两根为：x1= 直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负 x2= 数，则判定此方程无实数解 3310 人教B版数学必修第一册 听 活动二掌握利用求根公式法解一元二次方程 (3)若b2-4ac≥0，将a,b,c的值代入求根公式 计算，得出方程的解；若b2-4ac<0,则方程无 笔 阄新知导学 记 实根 问题2请讨论一元二次方程ax2+bx十c=0 活动三掌握一元二次方程根与系数的关系 (a≠0)的解的情况. 阄新知导学 问题3分别求解一元二次方程3.x2一7x+2=0 和2x2+5x一3=0，观察方程两根之和与两根 之积，与方程的二次项系数、一次项系数、常数 项有什么关系？ 同新知生成 一元二次方程ax2十bx+c=0(a≠0)，其判别式 △=b2-4ac. (1)当△=b2-4ac>0时，方程的解集为 -b+√b2-4ac-b-√b2-4ac 厅新知生成」 2a 2a 一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根分 (2)当△=b2-4ac=0时，方程的解集为 别为x1,x2,则x1十x2= ,x1x2= (3)当△=b2-4ac<0时，方程的解集为 新知应用 今新知应用 若一元二次方程x2-x十m=0有两个不相等 用公式法解方程5x2-3x=x十1. 的实数根x1x2,且满足+1=一2，则m的 值是 () A.-2 D.2 「方法总结」应用一元二次方程的根与系数的 关系时，常有以下变形： (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1. (2)2+= (x1十x)2-2x1x2(x1x2≠0). Z1X2 (3)|x1-x2=√(x1十x2)2-4x1x2 (4)x+x=(x1十x2)2-2x1x2· 名课堂小结 配方法 解法 因式分解法 「方法总结」公式法解一元二次方程的步骤 一元二 (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c的值. 次方程 公式法 (2)求出b2-4ac的值. 根与系数的关系 1134 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案13 课堂达标 (2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反 听 数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说 1.将方程3x2一6x十2=0配方正确的是( 明理由. 笔 A.3(x-1)2=5 B.3(x-1)2=1 C.3(x-2)2=10 D.3(x-2)2=14 2.下列关于方程2x2一4x十3=0的说法中，正确 的是 ( ) A.两根之和为2 B.解集为O C.两根之和为1 D.有两个不等实根 3.已知关于x的方程x2-mx十m2-3=0的解 集只有一个元素，则m的值为 ) A.2 B.-2 7.已知x1,x2是方程x2-5x+1=0的两个不相 C.±2 D.不存在 等的实根，求值： 4.关于x的方程(x一a)2=a的解集不可能是 (1)x+x; ( ) (2)|x1-x2; A.{0》 B.{1} (3)x3+x. C.{0,2} D.⑦ 5.不解方程，判断关于x的方程2x2-(2m十1)x 十(m2+1)=0的解集情况是 () A.☑ B.非空集 C.单元素集合 D.二元集 6.已知关于x的方程(k-1)x2十(2k-3)x十 十1=0有两个不相等的实数根x1,x2· (1)求k的取值范围； 课后反思 3510