学案9 充分条件、必要条件-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存 学案9充分条件、必要条件 在x∈R,x2-2x十3=0”，也就是说，Hx∈R,x2-2x十3 卡0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全 课堂活动 称量词命题。 活动一 新知生成 新知导学 Hx∈M,p(x) 问题1提示：①为真命题，②为假命题.①为真命题，说明由条 新知应用 件x>a2+b2,通过推理可以得出结论x>2ab. 解：(1)r:Vx∈R,x2+2x十2>0，真命题. 新知生成 (2)5:每一个平行四边形都不是矩形，假命题 →充分必要充分必要 活动三 新知应用 新知导学 解：(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p→q, 问题3提示：(1)不是所有的正比例函数都是一次函数. 因此p是q的充分条件，9是p的必要条件. (2)不是每一个有理数都能写成分数形式： (2)因为矩形不一定是正方形，即p力q, 问题4提示：能.(1)存在一个正比例函数不是一次函数. 因此力不是q的充分条件，q不是力的必要条件. (2)存在一个有理数不能写成分数形式， 活动二 问题5提示：两个全称量词命题的否定都变成了存在量词 新知导学 命题 问题2提示：如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A二B, 新知生成 那么p(x)→g(x),因此有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是 3x∈M,7q(x) p(x)的必要条件」 新知应用 新知应用 解：(1)一p:存在一个方程没有实数解，真命题。 解：由已知可得 比如方程x2十1=0就没有实数解. A==(-)x=≥-} (2)7q:3x∈R,4x2-4x十1<0，假命题. B={x|x≥-2m. 由于Hx∈R,4x2-4x+1=（2x-1)2≥0恒成立，g是真 (1)若p是9的充分条件， 命题， 则p→q,所以A二B, 所以一q是假命题。 课堂达标 所以一2m≤- 所以m>号 5 1.D[因为p与一p必一真一假，而本题中p显然是假命题， 所以一卫必为真命题.门 即实数m的取值范国是「臣， 2.C[因为命题“Hx∈R,x2一2x十1≥0”为全称量词命题，所 (2)若p是g的必要条件， 以命题的否定为3x∈R,x2一2x十1<0.故选C.] 则q→p,所以B二A, 3.C[命题“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都 子部得m≤ 5 所以一2m≥一 有x≤1”.] 即实数m的取值范国是（一∞，8]： 57 4.D[因为卫为假命题，所以7p为真命题，所以Hx>0,x a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1.故选D.] 课堂达标 5.存在一个三角形，其外角至多有一个钝角 1.D[力是g的必要条件，即q→p.对于A,若|a|=1,则a=1 6.（一∞，4][命题“x∈R,x2-4x十a≠0”为假命題， 或a=-l,显然推不出a=1,即q中p;对于B,当a<1时，可 ∴.“3x∈R,x2一4x十a=0”是真命题， 取a=-5,不满足-1<a<1,即q≯p;对于C,可取a=2,b .方程x2-4x十a=0有实数根，则△=（一4)2一4a≥0，解 3 得a≤4.] =2,不满足a<b,即g中p;对于D,当a>b十1时显然可以 7.解：(1)命题的否定：存在一个正方形不是菱形，是假命题. 推出a>b.故选D.] (2)命题的否定：Hx∈R,都有4x一3≤x.因为当x=2时， 2.A[因为a=2→(a-1)(a-2)=0,而(a-1)(a-2)=0不 4X2一3=5>2，所以“Vx∈R,都有4x一3≤x”是假命题. 能推出a=2,故“a=2”是“(a一1)(a一2)=0”的充分条件 (3)命题的否定：]x∈R,使x十1≠2x,因为当x=2时，x+十 故选A.] 1=2+1=3≠2×2，所以“3x∈R,使x十1≠2x”是真命题. 3.A[因为在△ABC中，由∠A+∠C<90°可得∠B>90°，故 (4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集 可以推出△ABC是钝角三角形.由△ABC是钝角三角形不 合AUB的子集，是假命题. 能推出∠A十∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A十∠C>90° 71 所以“∠A十∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分 (1-m≥-2， 即[1-m,1十m][-2,10],故有 或 条件.] 1+m<10, 4.A[由a>b,可得a十c>b+c成立；当c=0时，ac2>bc2不 1-m>-2, 解得m≤3. 成立；取a=1,6=-2,a>b和号>1不成立，所以“a十c 1+m≤10， 所以实数m的取值范围为(0,3]. >b+c”是“a>b”的一个必要条件.故选A.] 课堂达标 5.D[因为集合A={x|0≤x<3},B={x|1≤x≤3}，则由 1.B[“1<x<2”→“1<x<3”,反之不成立.所以“1<x<2” “m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”. 是“1<x<3”的充分不必要条件.故选B.] 故选D.] 2.B[由x2一1≠0，得x≠1且x≠一1，因为“x≠卡一1”是“x≠1且 6.B[由5x-1>a,得x>a+ ,要使q是p的必要条件，需 x≠一1”的必要不充分条件，所以“x≠一1”是“x2-1≠0”的必要 5 不充分条件.故选B.] 有Q1 ≥1，解得a≥4，即实数a的取值范国是[4，十∞).故 3.A[若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直.即p→q; 选B.] 反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形， 7.(-∞，1][记A={xlx>2或x<1},B={x|x<m.由题意 故q中p,所以力是q的充分不必要条件.] 可得B二A,即{xlx<m二{x|x>2或x<1},所以m≤l.] 4.A[当a=1时，N={1},此时“N二M”,满足充分性；当 N二M时，a=士1或a=土√2，不满足必要性，所以“a=1”是 学案10充要条件 “N二M”的充分不必要条件.故选A.] 课堂活动 5.C【“一合<红<2”的一个充分不必要条件对应的集合是 活动一 新知导学 {日<<2的真子枭，则-<x<号满足条.故 问题1提示：p→q,故力是q的充分条件，又q→p,故p是q 选C.] 的必要条件 6.(-o∞，1][因为“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要 新知生成 条件，所以{x|一1<x<3}是{x|x>2a一3}的真子集，则 1.9力充分不必要条件 2a-3≤-1，解得a≤1.] 2.pq必要不充分条件 7.解：(1)当x=1十√2时，x为无理数，但x2=3十2瓦为无理 3.p→g9→力充要台q 数，所以充分性不成立； 4.既不充分也不必要条件 当x2=4时，x=士2为有理数，所以必要性也不成立 新知应用 所以p是q的既不充分也不必要条件 解：①，正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂 (2)当x一1>0，即x>1时，有x2>1,所以充分性成立； 直平分的四边形不一定是正方形， 当x=一2时，x2=4>1,而x1=一2-1<0，所以必要性 p是q的充分不必要条件. 不成立. ②A∩B=☑，集合A,B不一定是空集，所以p是q的必要 所以力是g的充分不必要条件。 不充分条件， ③，-1≤x≤5台x≥-1且x≤5， 学案11章末总结 .p是g的充要条件， 【例题1】C[在数轴上标出A,B两集合如图所示， ④因为四边形的对角线相等≯四边形是平行四边形，四边形 是平行四边形力四边形的对角线相等，所以p是q的既不充 B A 0 4a x 分也不必要条件 活动二 结合数轴知，若A二B,则a≥4.] 新知导学 跟踪训练1（-∞，4][当B=⑦时，有m+1≥2m-1,则m≤2. 问题2提示：p→q且q中p,所以A军B. 当B≠⑦时，若B二A,如图. 新知生成 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也 -2m+1 2m-17x 不必要条件 m+1≥-2， 新知应用 则2m一17， 解得2<m4. 解：p:x∈[-2,10]，q:x∈[1-m,1+m]. m+1<2m-1, 因为p是g的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 综上，实数m的取值范围为（一∞，4].] 18人教B版数学必修第一册 课 学案9充分条件、必要条件 记 学习任务 1.理解充分条件、必要条件的定义.（数学抽象） 2.会判断充分条件、必要条件.（逻辑推理） 3.会根据充分条件、必要条件求参数的取值范围.（逻辑推理、数学运算） 上课堂活动 (2)p:x是矩形，q:x是正方形 活动一掌握充分条件、必要条件的判断 阄新知导学 问题1判断下列两个命题的真假，若为真命题， 说明条件和结论有什么关系： ①若x>a2+b2,则x>2ab; 「方法总结」充分条件、必要条件的判断方法 ②若ab=0,则a=0. (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪 个是结论， (2)找推式：判断“p→q”及“q→p”的真假. (3)根据推式得出结论. 活动二利用充分条件与必要条件求参数 厅新知生成 阄新知导学 充分条件与必要条件 问题2如何用集合解释充分条件与必要条件的 “如果p,那么q” “如果p,那么g” 命题真假 关系？ 是真命题 是假命题 推出关系 p书gq p是q的 条 p不是g的 条件关系 件，q是力的 条件，q不是力的 条件 条件 厅新知生成 今新知应用 充分条件、必要条件与集合的关系 判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是 A={x|p(x)},B={x|g(x)} 否是p的必要条件： p(x)是q(x)的充 p(x)不是q(x) (1)p:x∈Z,q:x∈R; 分条件， 的充分条件， A二B A车B q(x)是p(x)的必 q(x)不是(x) 要条件 的必要条件 q(x)是p(x)的充 q(x)不是p(x) 分条件， 的充分条件， BCA B车A p(x)是q(x)的必 p(x)不是q(x) 要条件 的必要条件 1124 充分条件、必要条件 学案9 个新知应用 课堂达标 听 已知集合A={yy=x2-3x十1，x∈R},B 1.下列说法中，p是g的必要条件的是( {xlx+2m≥0}；p:x∈A,q:x∈B. 笔记 A.:a=1,q:a|=1 (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； B.p:-1<a<1,q:a<1 (2)若p是g的必要条件，求实数m的取值范围. C.p:a<b,q:a<6+1 D.p:a>b,q:a>b+1 2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 3.在△ABC中，“∠A+∠C<90”是“△ABC是 钝角三角形”的 ( A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 4.已知a,b,c为实数，则“a>b”的一个必要条 件是 ( A.a+c>b+c B.ac2>bc2 C.lal>16 D8>1 5.设集合A={x|0≤x<3},B={x|1≤x≤3}， 「方法总结」利用充分性与必要性求参数的值 那么“m∈A”是“m∈B”的 或取值范围问题的方法：先把p,q等价转化，利 A.充分条件 用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，再建 B.必要条件 立关于参数的不等式（组）进行求解。 C,既是充分条件也是必要条件 课堂小结 D.既不是充分条件也不是必要条件 6.已知p:5x一1>a,q:x>1,若g是p的必要条 判定定理 件，则实数a的取值范围是 ( 充分条件 A.(4,+∞) B.[4,+c∞) 概念 应用 C.(-∞，4) D.(-∞，4] 必要条件 7.若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，则实 !性质定理 数m的取值范围为 课后反思 2511