学案6 培优课 集合中的创新题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 学案6培优课 集合中的创新题 课 记 学习任务 1.理解与集合有关的新定义的含义.（数学抽象） 2.能够将新定义问题转化为集合问题，提升学生理解问题、解决创新问题的能力.（逻辑推理） 一、与集合定义有关的创新问题 跟踪训练2定义运算：a⊙b=ab-b.若集合A 【例题1】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x, {0,1,2},B={xx=a⊙2，a∈A},则A∩B= y)|x∈A,y∈A,x一y∈A},则B中所含元素 ( 的个数为 ( A.(0) B.{1} A.3 B.6 C.{0,2) D.{1,2} C.8 D.10 三、与集合性质有关的创新问题 「方法总结」与集合新定义有关的问题是通过 【例题3】设集合I={1,3,5,7},若非空集合A 重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地 同时满足：①A二I,②|A|≤min(A)(其中|A 创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识， 表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中 来解决新定义的创新问题.遇到新定义问题，应耐 最小的元素)，集合A为I的一个好子集，则 心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质， 【的所有好子集的个数为 按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运 「方法总结」与集合性质有关的新定义问题是 算，使问题得以解决 利用集合中给定的定义与性质来处理问题，通过 跟踪训练1A是整数集的一个非空子集，对于 创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集 k∈A,如果一1氏A且k+1庄A,那么k是A 合性质的问题， 的一个“孤立元”，给定A={1,2,3,4,5},则A 跟踪训练3（多选）当两个集合中一个集合为另 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有 一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”； 当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时， A.10个 B.11个 称这两个集合成“偏食”.对于集合A={一1， 1 C.12个 D.13个 20,1,B={x(ax十1)(x-a)=0,若A 二、与集合运算有关的创新问题 与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可 【例题2】设集合A={-1,0,1},集合B={0, 以是 1,2,3},定义A*B={(x,y)x∈A∩B,y∈ A.-2 B.0 AUB},则AB中元素的个数是 ( C.1 D.2 A.7 B.10 C.2 D.52 凸课堂达标 :「方法总结」与集合运算有关的新定义问题是 1.已知集合A={2,0,1,7},B={x|x2-2∈A, 按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算 x一2庄A},则集合B中的所有元素之积为 规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关 知识进行逻辑推理和计算，从而达到解决问题 A.36 B.54 的目的 C.72 D.108 1116 培优课集合中的创新题学案6 2.若xEA且1-z∈A,则称集合A为“和谐 5.对于非空数集A={a1,a2,a3,…,an}(n∈N*),1 听 其所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)= 课 集已知集合M={-2,-01,号，3，则集 2 a1十a2十a十十a.若非空数集B满足下列两 记 合M的子集中“和谐集”的个数为 ( 个条件：(1)B二A;(2)E(B)=E(A),则称B为 A.0 B.1 A的一个“保均值子集”.据此推理，集合 C.2 D.3 {3,4,5,6,7}的“保均值子集”有 3.定义集合M,N的新运算如下：M⊙N= A.5个 B.6个 {xx∈M或x∈N,且xM∩N),若集合M C.7个 D.8个 ={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15},则 6.如图所示，I是全集，A,B,C (M⊙N)⊙M等于 是I的子集，定义阴影部分表 A.M 示的集合D为集合A,B,C B.N 的“配集”，则D= C.{2,3,4,8,9,10,15} A.(A∩B)∩C D.{0,6,12} B.(A∩C,B)∩C 4.(多选)设S为实数集R的非空子集，若对任意 C.(A∩B)∩(C,C) x,y∈S,都有x十y,x一y,xy∈S,则称S为 D.(C,B)UA∩C 封闭集，则下列说法中正确的是 ( 7.已知非空集合A1,A2是集合A的子集，若同 A.集合S={a十b√3a,b为整数}为封闭集 时满足条件“若a∈A1,则a氏A2”和条件“若a B.若S为封闭集，则一定有0∈S ∈A2,则a任A,”,则称(A1,A2)是集合A的 C.封闭集一定是无限集 “互斥子集组”，并规定(A1,A2)与(A2,A1)为 D.若S为封闭集，则满足S二T三R的任意集 不同的“互斥子集组”，则集合A={1,2,3}的不 合T也是封闭集 同的“互斥子集组”的个数是 课后反思 ! 1710则m<1+3m, m<1+3m, 又x一2庄A,所以x≠2，x≠3， 或 1+3m≤-1m>3, 故x=-2,士√2，土5，-3. 解得m>3. 因此，集合B={-2,-√2W2,-√33，-3} 综上可知，实教m的取值范国是m>3或m≤- 2 所以集合B中的所有元素的积为（一2）X(一√2)X√2X 学案6培优课集合中的创新题 (-√3)×√3×(-3)=36.] 2.B[设集合M的子集中的“和谐集”为A, 【例题1】D[由x∈A,y∈A,x一y∈A,得(x,y)可取如下： (2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3), 若2EA,则=-2号∈A,显然号不是M中的元素， 11 (5,3),(5,4),故集合B中所含元素的个数为10.] 故一2不是A中的元素； 跟踪训练1D[“孤立元”只有1的集合：{1}，1,3,4}，{1,4,5}， 若一 {1,3,4,5}.“孤立元”只有2的集合：{2}，{2,4,5).“孤立元” 2∈A,则 1 -() A, 3 只有3的集合：{3}.“孤立元”只有4的集合：{4}，{1,2,4} “孤立元”只有5的集合：{5)，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}. -3∈A, 共有13个.] “1一3 【例题2】B[:集合A=(-1,0,1},集合B={0,1,2,3}, .A∩B={0,1},A0B={-1,0,1,2,3}, 若3EA,则=3-2∈A: .AB={(0,一1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，-1)， 1 (1,0),(1,1),(1,2),(1,3)}, 若0cA,则。=1∈A,若1∈A,则已无意义，故0和1 共有10个元素 都不是A中的元素， 故选B.] 综上，M的子集中的“和谐集”A只有一个， 跟踪训练2C[由题意得 共中A=名号门 B={x|x=2a-2,a∈A}={-2,0,2}, 所以A∩B={0,2). 3.B[由题意， 故选C.] M⊙N={x|x∈M或x∈N,且x4M∩N}, 【例题3】8[①当|A|=1,即集合A中元素的个数为1时， M={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15}, A的可能情况为：{1}，{3}，{5}，{7}， .M∩N={0,6}, ②当A|=2,即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况 M⊙N={2,3,4,8,9,10,12,15}, 为：{3,5}，{3,7}，{5,7}，③当|A|=3,即集合A中元素的个 (M⊙N)∩M={2,4,8,10}, 数为3时，A的可能情况为：{3,5,7}， (M⊙N)⊙M={0,3,6,9,12,15}, .1的所有好子集的个数为8.] 故选B.] 跟踪训练3BCD[当a=0时，B={O),B二A, 4.AB[A正确，任取x,y∈S,不妨设x=a1十b13,y=a2十 所以A与B构成“全食”； b2√3(a1,a2,b1,b2∈Z),则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)3, 当>0时B={合a如果a=1,-是=-1，B=-1, 其中a1十a2,b1十b2均为整数，即x十y∈S,同理可得x-y A与B构成“全食”； ∈S,xy∈S;B正确，当x=y时，0∈S;C错误，当S={0} 如果a=2, 时，S是封闭集，但不是无限集；D错误，设S={0}二T={0,1}, 显然S是封闭集，T不是封闭集.因此，说法正确的是AB.] 5.C[非空数集A={3,4,5,6,7}中，所有元素的算术平均数 此时A与B构成“偏食”； 当a<0时，如果a=-1,则-1=1，B={-1,1,BCA, E4)=3+4+5+6+7=5, 5 在所有子集中选出平均数为5的子集即可， 所以A与B构成“全食”； 所以集合A的“保均值子集”有{5}，{3,7}，{4,6}， 如果a-2,则日言B-侣一2小 {3,5,7},{4,5,6},{3,4,6,7},{3,4,5,6,7},共7个 所以A错误.故选BCD.] 故选C.] 课堂达标 6.B[补集CB画成维恩图如图1，集合A∩(C,B)画成维恩 1.A[由x2-2∈A,可得x2=4,2,3,9, 图如图2，而(A∩C,B)∩C画成维恩图就是集合D的维恩 即x=±2，±√2，士√3，土3. 图.故选B. 51■ (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的，点的对应关系知， B B 它是真命题」 课堂达标 图1 图2 1.C[①②是全称量词命题，③是存在量词命题.故选C.] 7.12[(1)当集合A1中只有一个元素1时，集合A2是集合A 2.C[①③④为存在量词命题，②为全称量词命题.故选C.] 中不含元素1的非空子集，此时情况共有2一1=3（种）.同 3C[对于A,是全称量词命题，但不是真命题，故A不符合题 理，当A1只有一个元素2或3时，集合A2也各对应3种情 意；对于B,是假命题，故B不符合题意；对于C,是全称量词 况，因此共有9个“互斥子集组”. 命题，也是真命题，故C满足题意；对于D,是真命题，但不是 (2)当集合A1中有两个元素1,2时，集合A2是集合A中不 全称量词命题，故D不符合题意.故选C.] 含元素1和2的非空子集，此时只有1种情况.同理，当集合 4.B[对于A,Hx∈R,x3>0是全称量词命题，不符合题意； A1含有两个元素1,3或2,3时，集合A2也各对应1种情况， 对于B,了x∈Z,x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足 因此共有3个“互斥子集组”.综上，集合A={1,2,3}的不同 题意； 的“互斥子集组”的个数为9十3=12.门 对于C,Hx∈N,x2∈N是全称量词命题，不符合题意； 对于D,3x,y∈R,x2+y2<0是存在量词命题，是假命题， 不符合题意.] 学案7命题与量词 5.B[因为P∩Q=P,所以P二Q,所以A,C,D错误，B 课堂活动 正确.] 活动一 6.(合，+） [若命题“]x∈R,x2-x十Q=0”为假命题，则 新知导学 问题1提示：(1)(2)能，(3)不能. 一元二次方程x2-x十a=0无实数解，则△=1-4a<0,解 新知生成 得a>行，故a的取值范周是（行+∞）门 真假陈述 新知应用 7.解：(1)Hx∈R,x2+x十1>0；真命题. ABC (2)Ha,b∈R,ax十b=0恰有一个解；假命题 活动二 如当a=0,b=0时，该方程的解有无数个】 新知导学 (3)3x,y∈Z,3x-2y=10;真命题. 问题2提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题. 1 (④)yx∈Q,3x2+2x十1是有理数；真命题。 问题3提示：语句(3)在(1)的基础上，用“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对 学案8 全称量词命题与存在量词命题的否定 变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假 课堂活动 的陈述句。 活动一 新知生成 新知导学 H了全称量词存在量词Hx∈M,r(x)3xEM,s(x) 问题1提示：命题②是命题①的否定. 新知应用 新知生成 解：因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数 1.否定 的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含 新知应用 有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题」 活动三 解：(1)7力：实数的绝对值不都大于0，真命题 新知导学 (2)p:若m2十n2=0,则实数m,n不全为零，假命题. 问题4提示：(1)假命题.因为当x=0时，x2=0. (3)p:若实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c都不为0，假 命题 (2)真令题，周为当a=30时，n30=分 活动二 新知生成 新知导学 (1)真假(2)真假 问题2提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“]x∈ 新知应用 M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数， 解：(1)当x=-1时，(-1)3+1=0， 它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正 所以“了x∈R,使x3十1=0”是真命题. 数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是 I6