期中复习讲义（圆锥曲线）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块上册》（高教版）教材1、2、3章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括3份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第三部分《圆锥曲线》。 2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—圆锥曲线 核心考点 复习目标 考情规律 定义与标准方程 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，根据条件求解圆锥曲线的标准方程。 基础考点，一般出现在选择题、填空题中 几何性质 理解椭圆、双曲线、抛物线几何性质，能求出焦点、顶点、长短轴、焦距、离心率、渐近线方程、准线。 高频考点，一般出现在选择题、填空题中，尤其是离心率、渐近线方程题目更常考查。 直线与圆锥曲线位置关系 能判断直线与圆锥曲线位置关系，能求弦长、直线方程、曲线方程． 高频考点，一般出现在解答题中 第三章圆锥曲线 知识点1 椭圆 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__． 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1若a＞c，则集合P为__椭圆__； (2若a＝c，则集合P为__线段F1F2__； (3若a＜c，则集合P为__空集__． 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为__2a__； 短轴B1B2的长为__2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 离心率 e＝____∈(0,1 a、b、c 的关系 __c2＝a2－b2__ 3. 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ__>__0 相切 一解 Δ__＝__0 相离 无解 Δ__<__0 4. 直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝__|x1－x2|__＝__|y1－y2|__，一般地，|x1－x2|＝用根与系数关系求解. 知识点2 双曲线 1. 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__． 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__； (2当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__； (3当a＞c时，集合P是__空集__． 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__(－a,0__， A2__(a,0__ 顶点坐标： A1__(0，－a__， A2__(0，a__ 渐近线 y＝__±x__ y＝__±x__ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__ 知识点3 抛物线 1．抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1在平面内； (2动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__； (3定点F与定直线l的关系为__点F∉l__． 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝__1__ 准线 方程 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝__x0＋__ |PF|＝_－x0＋__ |PF|＝__y0＋__ |PF|＝_－y0＋__ 一、单选题 1．（22-23高二上·四川成都·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（    ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高二上·浙江丽水·期中）长半轴长为5，焦距为4，焦点在y轴上的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 3．（14-15高三·浙江·模拟预测）焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率．则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·山西·二模）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江温州·期中）椭圆的焦距是（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二上·陕西渭南·期中）双曲线，则双曲线的渐近线方程为 . 8．（24-25高二上·江西赣州·期中）椭圆的离心率为 . 9．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆与直线相交于两点，则 ． 10．（22-23高三上·河北保定·期中）椭圆的长轴长为 . 答案 1．A 【分析】根据椭圆的定义，即可求解. 【详解】由题意知：圆， 所以， 又因为P为椭圆上的一点，P到椭圆一个焦点的距离为3， 所以P到另一焦点距离为. 故选：A. 2．B 【分析】根据题中所给的条件结合的关系进行解答即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长为， 所以. 又因为焦距为，则，. 因为， 则，. 又因为焦点在轴上， 所以椭圆方程为. 故选：B. 3．A 【分析】利用双曲线的焦距与离心率求得，，，从而求得标准方程. 【详解】∵双曲线的焦距为8，∴，， 又离心率为，∴，， 即得， 双曲线的标准方程为， 故选：A． 4．C 【分析】利用抛物线的焦点得到抛物线的开口方向与标准方程，从而得解. 【详解】因为抛物线顶点在原点，焦点为，焦点在轴负半轴上， 所以抛物线开口向下，其标准方程为，焦点坐标为， 因为焦点，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C. 5．A 【分析】根据抛物线的定义及标准方程即可求解. 【详解】因为抛物线，即， 所以，即， 所以焦点坐标为. 故选：A. 6．A 【分析】首先将椭圆方程化为标准方程，再由标准方程确定的值，即可求出焦距. 【详解】由椭圆得， 其中，则， 焦距为. 故选：A. 7． 【分析】利用双曲线方程的求法即可得解. 【详解】对于双曲线， 令，整理得， 所以双曲线的渐近线方程为. 8．/ 【分析】根据椭圆方程结合离心率公式即可解得. 【详解】由椭圆方程可得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 9．/ 【分析】将直线与椭圆方程联立方程组，求出A，B的坐标，利用两点间距离公式求出距离即可． 【详解】将直线与椭圆方程联立，可得 ，消元并整理得， 解得或， 所以的坐标分别为,, 所以. 故答案为： 10． 【分析】由椭圆标准方程得长轴长即可得解. 【详解】椭圆方程为. 所以即. 所以长轴长为. 故答案为：. 题型一 圆锥曲线的定义 【典例1】（21-22高一下·内蒙古呼伦贝尔·期中）、是定点，，动点M满足，则M 点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【分析】根据题中条件可知，由此判断M 点的轨迹. 【详解】∵，动点M满足, ∴M 点的轨迹是线段. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·四川成都·期中）双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，求解点到另一焦点的距离. 【详解】双曲线. 即. 设双曲线的两个焦点分别为和，且曲线上一点为. 不妨令. 根据双曲线的定义可知. 得到或. 故选：D. 【典例3】（22-23高二下·安徽合肥·期中）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标和准线，再根据抛物线的定义，即可求解. 【详解】抛物线中，焦点的坐标为，准线方程为， 抛物线上一点到轴的距离为，即， 点到准线的距离等于点的横坐标加上准线到轴的距离， 所以， 因此，点到焦点的距离 。 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1、何时用：题目中出现“到焦点距离”、“到准线距离”、“距离之和/差为定值”等字眼。 2、怎么做：直接利用椭圆、双曲线、抛物线的定义进行转化。例如，求一个动点的轨迹方程，首先考虑它是否符合某个圆锥曲线的定义。 3、示例：△PF₁F₂ 的周长问题，在椭圆中立即转化为 2a + 2c；在双曲线中则要小心，是 |PF₁ - PF₂| = 2a。 【变式1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知是椭圆上的两个焦点，一点P到椭圆的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．15 【变式2】（22-23高二下·山东济宁·期中）到两定点，的距离之差的绝对值等于8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，焦点在轴上，则，解得. 因为，又一点P到椭圆的一个焦点的距离为7. 则点P到另一个焦点的距离为. 故选：C. 2、【答案】D 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹方程为双曲线，求出进而写出双曲线的标准方程即可. 【详解】由题意知，动点的轨迹方程为焦点在y轴上的双曲线， 因为动点到两定点，的距离之差的绝对值等于8， 由双曲线的定义知，，即， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 3、【答案】A 【分析】依据抛物线定义，由纵坐标为2的点到焦点距离得值，进而求抛物线方程. 【详解】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为5， 又抛物线的准线方程为，所以可得，解得， 所以抛物线方程为． 故选：A. 题型二 求圆锥曲线的标准方程 【典例1】（25-26高三上·广东·一模）如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图得到焦点与短轴顶点的坐标，进而求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·全国·单元测试）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求椭圆的焦点，再按照双曲线的几何性质求解双曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，，，，焦点坐标为. 因此，所求双曲线焦点在轴上，，，，， 故双曲线方程为. 故选：D. 【典例3】（2025高三·广东·专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线上的点的坐标确定方程即可. 【详解】∵该抛物线经过第四象限的一点， ∴设抛物线的方程为或， 将代入方程，则或， 解得，， 则抛物线的方程为或． 故选：D. 解｜题｜技｜巧 定型优先：永远先判断曲线类型和焦点位置。 定义法最快：如果条件符合定义，直接用定义法，省时省力。 待定系数是通法：大部分题目都用此法，关键是列出正确的方程组。 数形结合：画个草图能极大地帮助理解题意，避免焦点位置设错。 检查关系：最后确保 a, b, c (或 p) 满足椭圆、双曲线或抛物线的内在关系。 【变式1】（24-25高二下·全国·单元测试）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·全国·单元测试）实轴长是4，焦点坐标为和的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·广东·专题练习）准线方程为的抛物线标准方程为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据题中信息得到c，再根据离心率得到a，最后根据得到b，从而得到椭圆C的方程. 【详解】因为椭圆C的右焦点为， 所以所求椭圆的焦点位于轴上，且. 因为椭圆C的离心率等于，所以， 所以，， 所以椭圆的方程是. 故选：C. 2、【答案】C 【分析】由条件确定，根据焦点位置写出双曲线的方程. 【详解】∵实轴长是4，焦点坐标为和， ∴，，，焦点在轴上， ∴， ∴双曲线的方程为. 故选：C. 3、【答案】D 【分析】根据抛物线焦点位置设出抛物线方程，结合准线方程的公式即可得解. 【详解】抛物线的准线为，则抛物线焦点在轴正半轴上， 设抛物线方程为， 则，解得，抛物线方程为， 故选：. 题型三 圆锥曲线的主要几何量 【典例1】（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆的顶点，短轴，离心率等相关公式逐项分析即可. 【详解】已知椭圆， 则，焦点在y轴上，故C正确， 所以， 则顶点为，故A错误， 短轴长为，故B错误，离心率，故D错误， 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·全国·单元测试）已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 【答案】B 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，得出的值即可解答. 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 可得，所以，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 故选：B. 【典例3】（24-25高二上·山西晋中·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】抛物线为， 所以可知抛物线图像开口向左，且， 所以，即准线方程为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·陕西渭南·期中）椭圆的长轴长，短轴长，离心率依次是（    ） A．8、6、 B．8、6、 C．36、18、 D．16、9、 【变式2】（17-18高三·浙江宁波·一模）已知双曲线的方程为，下列说法正确的是（    ） A．焦点是， B．离心率是 C．渐近线方程是 D．实轴长是 【变式3】（23-24高三·山西·一模）已知抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 答案 1、【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准形式，进而得到，从而得解. 【详解】将椭圆化为， 则，故，，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. 故选：A. 2、【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准方程即可求解. 【详解】将化为标准方程， 即. 则. 因为焦点在轴上， 所以焦点坐标为，，故A错误. 所以实轴长为，故D错误. 离心率为：，故B错误. 渐近线方程为：，故C正确. 故选：C. 3、【答案】B 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】抛物线化为标准方程为， 所以该抛物线焦点在轴上，开口向上，焦点坐标为. 故选：B. 题型四 离心率 【典例1】（21-22高二上·湖南株洲·期中）椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆标准方程得到，即可求解离心率. 【详解】由椭圆标准方程得到， ，， 即， 离心率， 故选：A. 【典例2】（23-24高三下·浙江·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意确定的值，由离心率公式可得答案． 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以， 又因为， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 【典例3】（23-24高三下·河南·对口/高职单招）已知双曲线的方程为，该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程得到的值，再利用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知：， 则， 所以， 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 【典例4】（2024高二上·全国·专题练习）已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据实轴长是虚轴长的2倍可得，，再由离心率公式求值即可. 【详解】因为的实轴长是虚轴长的2倍，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 解｜题｜技｜巧 　离心率问题的解题路径，万变不离其宗，最终都是要转化为关于 a, b, c 的方程。主要有以下思路： 1．技巧一：利用几何关系与定义（最常用） 这是最基本也是最重要的方法，通过分析图形的几何性质来建立等量关系。 2．技巧二：利用离心率的定义与性质 离心率本身与一些特定的几何量有直接关系． 【变式1】（24-25高二上·湖南怀化·期中）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【变式3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 ． 【变式4】（24-25高三下·山西·对口/高职单招）双曲线的离心率 . 答案 1、【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆， 所以，， 离心率. 故选：. 2、【答案】B 【分析】分焦点在轴与轴上两种情况进行讨论，分别计算离心率. 【详解】因为椭圆的焦距是2，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以. 故选：B. 3、【答案】/ 【分析】根据焦距定义得到，再利用椭圆离心率公式即可得到答案． 【详解】因为焦距，所以，则， 所以，离心率为． 故答案为：． 4、【答案】/1.5 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】∵双曲线为， ∴， ∴， ∴离心率为. 故答案为：. 题型五 双曲线的渐近线 【典例1】（24-25高三·全国·对口/高职单招）双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可求出a，b的值，进而求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以渐近线方程是． 故选：A 【典例2】（23-24高二上·云南普洱·期中）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程和实轴长，可求得a和b的值，继而求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的实轴长为4， 所以双曲线的焦点在轴上，且，即， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1. 基础是根本：必须熟记焦点在 x 轴和 y 轴时，渐近线方程的形式和推导方法（“1换0”法）。 2. 分类讨论思想：当已知渐近线求双曲线方程时，一定要考虑焦点位置不确定的情况，通常有两种可能。 3. 双曲线系方程：对于已知渐近线的问题，设 (x² / a²) - (y² / b²) = λ 是最高效的方法之一。 4. 数形结合：多画图，理解渐近线的几何意义，尤其是在解决与三角形、矩形等图形相关的综合题时。 5. 关联概念：将渐近线与离心率 e、实轴 2a、虚轴 2b、焦距 2c 等概念联系起来，形成知识网络。 【变式1】（21-22高一下·内蒙古呼伦贝尔·期中）双曲线的渐近线方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二下·安徽合肥·期中）双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据双曲线方程求解渐近线即可； 【详解】双曲线的焦点在轴，且， 所以， 所以其渐近线方程为， 故选：C 2、【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率和得到，即可求解渐近线方程. 【详解】双曲线 ，离心率 ， 所以，即， 又，得到，，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 题型六 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率是，直线的斜率为且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有交点，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质列出方程组即可得解. （）根据题意写出直线方程，联立方程组结合即可得解. 【详解】（1）由题意知解得， 椭圆C的方程为. （2）直线的斜率为且过点，直线的方程为， 联立方程组，化简得， 又直线与椭圆C有交点， ，解得或， 直线与椭圆C有交点时，的取值范围是. 【典例2】（2025高三·广东·专题练习）已知双曲线C：的右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点，且倾斜角为的直线交该双曲线于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标可得c，由离心率求得，进而得及双曲线的标准方程； （2）求出直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及弦长公式求出结果. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c， ∵双曲线的右焦点为，∴焦点在轴上，且， ∵双曲线的离心率，∴， 则， ∴双曲线C的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线C的左焦点为， 直线的斜率，则直线的方程为， 设点A、B的坐标分别为，， 联立直线与双曲线方程，消去y得，， ∴，，， 则. 【典例3】（24-25高二下·湖南·期末）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l过点，倾斜角为，且与抛物线交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线得准线方程即可解得此抛物线的方程. （2）根据直线所过点的坐标和倾角可得直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，运用韦达定理即可得结果. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为. （2）因为直线l过点，倾斜角为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l为， 即. 设直线与抛物线的交点为， 由（1）知，抛物线的标准方程为， 联立得，整理得， 由韦达定理得， 所以. 解｜题｜技｜巧 1. 首要检查：设直线方程时，第一步永远是考虑斜率是否存在。这是最容易被忽略的失分点。 2. 数形结合：画草图可以帮助你理解题意，判断可能的解的个数，避免漏解。 3. 计算能力：这部分题目计算量通常较大，平时要多练习，提高运算的准确性和速度。 4. 核心工具：联立方程、判别式、韦达定理是三位一体的核心工具，必须运用自如。 5. “设而不求”：这是解析几何的最高境界。不要总想着把交点坐标具体解出来，而是通过韦达定理，用整体的方式去处理 x1+x2 和 x1*x2，这能极大地简化计算。 【变式1】（24-25高三下·吉林·职教高考）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， (1)求的周长； (2)求． 【变式2】（2025高三·广东·专题练习）已知双曲线的离心率为2，其焦点分别为，，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的下焦点，且倾斜角为的直线与双曲线交于A、B两点，求的长． 【变式3】（2025高三·广东·专题练习）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点到焦点F的距离为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点和的直线l与抛物线交于A、B两点，求的长． 答案 1、 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】（1） 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. （2）椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 2、 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由双曲线的离心率可求解a与c的关系，再由可整理a与b的关系，再将点代入双曲线方程即可求解双曲线方程. （2）先求出直线方程，再联立直线与双曲线的方程由弦长公式求解即可. 【详解】（1）∵离心率，即， 又因为，所以， ∴双曲线的标准方程可化简为， ∵双曲线过点，∴，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）∵双曲线的标准方程为，∴，， 又直线的斜率， ∴直线方程为， 设点A、B的坐标分别为，， 联立直线与双曲线方程，消去y得，， 则，， 则 . 3、 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由抛物线过的点横坐标大于零，可确定抛物线焦点位置，再由抛物线的定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离即可求解p的值，即可求解方程. （2）先求解直线直线l的方程，再联立直线与抛物线的方程，结合焦半径公式求解即可. 【详解】（1）∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且点在抛物线上， ∴设抛物线的标准方程为． ∵点P到准线的距离为4， ∴，解得， 则抛物线的标准方程为． （2）∵直线l过点和， ∴直线l的斜率， 直线l的方程为，整理得，． 由（1）可知，抛物线的焦点坐标为， ∴直线l过抛物线的焦点， 设点A、B的坐标分别为，， 联立直线与抛物线方程，消去x得，． 则． ∵点A、B在直线上， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $