2.2平方根与立方根讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

平方根与立方根 2.2平方根与立方根 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 无理数的定义 课前复习 常见的无理数的几种类型 无理数的估算 用估算法比较数的大小 实数的概念及分类 实数的有关概念和性质 实数与数轴上点的关系 新课探索 算数平方根的定义 算数平方根的定义 平方根的定义 平方根的定义 开平方的定义 开平方的定义 与的性质 性质 立方根的定义 立方根的定义 题型练习 利用算数平方根的非负性解题 题型练习 估计算数平方根的取值范围 无理数整数部分的计算 平方根的概念理解 已知平方根求数 已知立方根求数 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 6、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (1) |a|= (2) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 7、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 新课探索 一、算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 点拨(1)算术平方根的最简性：非负数a的算术平方根是,能化简一定要化简，如=2; 不能化简的，则直接作为结果，如. (2)求带分数的算术平方根：先将带分数化为假分数，再求算术平方根. (3)求一个数的乘方的算术平方根：先将乘方的结果计算出来，再求算术平方根. 【练习】 121的算术平方根是 ( ) A 11 B -11 C ±11 D ±121 2、 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 【练习】 如果x²=4,那么x等于 ( ) A 2 B±2 C 4 D±4 3、 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 注意：(1)正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平 方是0,所以被开方数a一定是非负数. (2)开平方时求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别. 4、 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 【练习】 是_____. 5、 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 注意 立方根等于它本身的数有 -1、0、1. 一个数的立方根是唯一的. 【练习】 下列说法正确的是 ( ) A -0.064的立方根是0.4 B -9的平方根是±3 C 16的立方根是³16 D 0.01的立方根是0.000001 题型练习 1、 利用算数平方根的非负性解题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2、 估计算数平方根的取值范围 3．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．估算在哪两个整数之间？（   ） 3、 无理数整数部分的计算 5．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 6．无理数的小数部分可表示为（    ） A． B． C． D． 4、 平方根的概念理解 7．有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 8．下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 5、 已知平方根求数 9．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．一个正数的两个不同的平方根是和，则a的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 6、 已知立方根求数 11．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 12．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 易错点 1、混淆平方根与算术平方根：误将视为a的平方根（实为算术平方根，平方根应为±）。 2、忽略平方根被开方数非负性：认为负数也有平方根（实数范围内负数无平方根） 3、误解立方根存在性：认为负数无立方根（任何实数均有立方根，负数立方根为负数）。 4、特殊值记忆错误：如平方根等于本身的数（仅0）、立方根等于本身的数（0,1,-1）记混。 总结 算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 平方根与立方根 2.2平方根与立方根 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 无理数的定义 3 课前复习 常见的无理数的几种类型 无理数的估算 用估算法比较数的大小 实数的概念及分类 实数的有关概念和性质 实数与数轴上点的关系 新课探索 算数平方根的定义 6 算数平方根的定义 平方根的定义 平方根的定义 开平方的定义 开平方的定义 与的性质 性质 立方根的定义 立方根的定义 题型练习 利用算数平方根的非负性解题 9 题型练习 估计算数平方根的取值范围 无理数整数部分的计算 平方根的概念理解 已知平方根求数 已知立方根求数 易错点 15 易错点 总结 16 总结 课前复习 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 6、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (1) |a|= (2) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 7、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 新课探索 一、算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 点拨(1)算术平方根的最简性：非负数a的算术平方根是,能化简一定要化简，如=2; 不能化简的，则直接作为结果，如. (2)求带分数的算术平方根：先将带分数化为假分数，再求算术平方根. (3)求一个数的乘方的算术平方根：先将乘方的结果计算出来，再求算术平方根. 【练习】 121的算术平方根是 ( ) A 11 B -11 C ±11 D ±121 答案：A、 分析：121的算术平方根是11,故选：A. 2、 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 【练习】 如果x²=4,那么x等于 ( ) A 2 B±2 C 4 D±4 答案：B、分析：由题意可知：x=±=±2,故选：B. 3、 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 注意：(1)正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平 方是0,所以被开方数a一定是非负数. (2)开平方时求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别. 4、 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 【练习】 是_____. 答案：8 5、 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 注意 立方根等于它本身的数有 -1、0、1. 一个数的立方根是唯一的. 【练习】 下列说法正确的是 ( ) A -0.064的立方根是0.4 B -9的平方根是±3 C 16的立方根是³16 D 0.01的立方根是0.000001 答案：C、 分析：A、-0.064的立方根是一0.4,不符合题意； B、-9没有平方根，不符合题意； C、16的立方根是³16,符合题意； D、0.01的立方根是³0.01,不符合题意， 故选：C. 题型练习 1、 利用算数平方根的非负性解题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，由题意得：，求得即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴， 故选：A 2．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2、 估计算数平方根的取值范围 3．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 4．估算在哪两个整数之间？（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算得到的范围，进而得到答案即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 3、 无理数整数部分的计算 5．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6．无理数的小数部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数大小判断和估算是解题关键． 判断的范围，求出其整数部分，从而可得的整数部分，用减去整数部分即可得到其小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是6， 小数部分是， 故选：D． 4、 平方根的概念理解 7．有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根和立方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，说法正确，故本选项不符合题意； B、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意； C、是17的平方根，说法正确，故本选项不符合题意； D、，而3的平方根是，所以不是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 8．下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 5、 已知平方根求数 9．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义及性质，掌握平方根的定义及性质是解题关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ． 故选：D ． 10．一个正数的两个不同的平方根是和，则a的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根定义，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是和， ∴， 解得：， 故选：A． 6、 已知立方根求数 11．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 12．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 易错点 1、混淆平方根与算术平方根：误将视为a的平方根（实为算术平方根，平方根应为±）。 2、忽略平方根被开方数非负性：认为负数也有平方根（实数范围内负数无平方根） 3、误解立方根存在性：认为负数无立方根（任何实数均有立方根，负数立方根为负数）。 4、特殊值记忆错误：如平方根等于本身的数（仅0）、立方根等于本身的数（0,1,-1）记混。 总结 算数平方根的定义 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数α就叫做a的算术平方根，记作“”,读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0,即=0. 性质： (1)正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根； (2)双重非负性，即 平方根的定义 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次 方根. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 开平方的定义 开平方 定义：求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.其中，a叫做被开方数.正数a有两个 平方根，一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数.这两个平方根 合起来可以记作“士”,读作“正、负根号a”. 与的性质 性质1:(=a(a≥0). 性质2:=| a |= 立方根的定义 立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三 次方根； (2)每个数a都只有一个立方根，记为“”,读作“三次根号a”,3是这里的根指数； (3)正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数；即任意实数都有立方根. 1 学科网（北京）股份有限公司 $