专题训练7 几何综合探究-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题训练七 几何综合探究 (限时：60分钟) 类型1新定义探究 1.定义：若两个三角形有一个公共顶点，将其 中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与 另一个三角形构成位似图形，我们称这两个 三角形互为“旋转位似图形” 知识理解：(1)①如图①，△ABC,△ADE都 是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转位似图形”（填“是”或“不 是”)： ②如图②，△ABC与△ADE互为“旋转位 似图形”.若∠B=100°，∠E=30°，则 ∠DAE= ③如图②，△ABC与△ADE互为“旋转位 似图形”.若AB=4,AD=6,AE=15,则 AC= 连接BD,CE,则架- 知识运用：(2)如图③，在四边形ABCD中， ∠ADC=90°，AE⊥BD于点E,∠DAC= ∠DBC.求证：△ACD和△ABE互为“旋转 位似图形”. 类型(2规律探究 拓展提高：(3)如图④，△ABC为等腰直角 三角形，G为AC的中点，F是AB上一点， 2.【问题情境】 数学活动课上，老师给出如下问题：△ABC D是GF延长线上一点，点E在线段GF 和△DCE都是等腰直角三角形，且它们有 上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图 一个公共顶点C,∠ABC=∠DCE=90°，两 形”.若AC=6,AD=2E,求DE和BD 条直角边的夹角∠BCD=a,直线DE与直 的长 DF 线BC交于点F.试探究F与a的三角函数 本 值之间的数量关系。 【独立思考】 图① 图② 图③ 图④ (1)如图①，当点D在AC边上时，a=45°， DF 此时示的值为 94 数学九年级RJ版 【拓展探究】 类型3动点探究类 (2)如图②，若AB=CB=2,CD=CE=√5， 3.在矩形ABCD中，AB=3,P是BC上一动 DF 当点D在AB边上时，求F的值，并写出此 点（不与点B,C重合），连接AP,将△ABP 沿AP折叠，使点B落在点F处，延长AF DF 时EF与a的三角函数值之间的数量关系. 交射线BC于点E,延长PF交矩形ABCD 的边于点M,如图①、图② D (3)如图③，判断此 EF与a的三角函数值 之间的数量关系，并说明理由。 图① 图② 各用图 (1)∠MPC与∠BAP的数量关系为 (2)如图O,求证：EF=BP·BE. 图① 图② 图③ (3)若BC=4,在点P从点B向点C运动的 过程中， ①如图②，当BP=2时，求PE的长： ②当是-时，直接写出BP的长。 下册专题训练 95 类型《4操作探究类 【拓展应用】 4.【探究发现】 (2)当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比 如图①，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC. 时，这个三角形叫做“黄金三角形”.例如，图 (1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在 ①中的△ABC是“黄金三角形”.如图②，在 边BA上，点C的对应点是E,折痕交AC 菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1.求这 于点D.设AC=1,BC=x. 个菱形较长对角线的长. ①∠BDE的度数为 ,AE的长 为 (用含x的式子表示)： BC ②求C的比值， 图② 96 数学九年级RJ版故孔明同学的猜想对. 足球不能射门成功。 (3)设小鹏同学带球向自己的正后方移动mm,则移动 y= 2.解：(1)由题意，得 解得 1 2 后足球运动路线的解析式为y=一而x一8+m)严+4 (m>0) ∴函数y=2-2图象的“和零点“为（停一号） 2.44-0.4=2.04(m), .平移后的抛物线经过点(12,2.04) (2):函数y=x一3x十表的图象存在唯一的一个“和 1 零点”，.x2一3x十k=一x有两个相等的实数根， 六2.04=-16×12-8+m)+4. 方程整理，得x2-2x十k=0,则△=（一2）2一4k=0 解得m1=1.6,m:=一9.6（不符合题意，舍去）， 解得k=1. .移动的距离为1.6m (3)由题意，得-x2+4x十6=一x,即x2-5x-6=0. 5.解：(1)下直线x=-1 解得x1=6,x:=-1,∴.A(-1,1),B(6,-6). (2)由表格信息可知，抛物线过（一2，一1），(0，一1)， 由1)可知，C(行-)： (1,-4)三点， -1=4a,-2b+c1, a1=-1, 5am=5am+56m=××[-(-1D] 4 则{一1=c1 解得b,=一2， -4=a1+b,+c1, c1=-1 ×x6-)号 ∴抛物线C,的解析式为y=一x2一2x一1. 3.解：(1)①@ 当x=-1时，m=-(-1)3-2×(-1)-1=0: (2)①4 当x=2时，n=一2-2X2-1=-9. ②由①可知，2-4a0=4. (3)由题意可知，抛物线C,的解析式为y=一x2一2x .16-4c=4,∴.c=3. -1=-(x2+2x+1)=-(x+1)2, (3)△MCN为直角三角形. 抛物线C,的顶点坐标为（一1,0），抛物线开口方向 证明：设直线MN的表达式为y=kx 向下 令x=-x2+1, :将抛物线C,沿x轴翻折，得到抛物线C:,∴.根据对 ∴x2+kx-1=0. 称性可知，抛物线C:的顶点为（一1,0），a=1, 设其两根分别为x1x:, ∴抛物线C:的解析式为y:=(x+1)产，即y:=x十 则x1十x:=-k,x1x:=一1， 2x+1. 点M的坐标为(x1,kx1),点N的坐标为(x:,x:), (4)①抛物线C:向下平移的过程中，对称轴为直线x ∴MN2=(x1-x:)产+k(x,-x:) =一1.当点A,B之间的距离为6个单位长度时，可知 =(x1+x2)2-4x1x:+k[(x,+x:)2-4z1x:] A(-4.0),B(2,0), =k2十4+k‘+4k 此时抛物线C:的解析式为y=(x十4)(x一2)，即y =k4+5k十4. =(x+1)2-9, 当x=0时，y=一x2+1=1,∴点C的坐标为(0,1)， 抛物线C:至少向下平移9个单位长度，才能使点 ∴.MC2+CN2=x+(kx1-1)2+x+(kx:-1)2 A,B之间的距离不少于6个单位长度. =(k2+1)(x+x)-2k(x1+x2)+2 @m=”【解析折4②抛物线C:下平移m(m> =(k+1)[(x,+x)2-2x1x:]-2k(x1+x:)+2 个单位长度后的解析式为y=(x十1)产一m =k+5k2+4, ..MN:=MC+CN:, 令y=0.则0=(x+1)-m,解得x=-1士√m ,∴.△MCN为直角三角形 ∴A(-1-√m,0),B(-1+√/m,0). 4.解：(1)由题意可得抛物线的顶点为(8,4). “n=AB=-1+√m-(-1-√m)=2m,即m 设抛物线的解析式为y=a(x一8)产+4. 将(0,0)代入，得0=a·(0-8)2+4, 解得a=一6 专题训练七几何综合探究 1.解：(1)①是 “足球运动路线的函数解析式为y=一 1 ②50° 16 (x-8) +4. ③10 5 (2)不能， (2)证明：：∠DOA=∠COB,∠DAC=∠DBC, 理由：当x=12时，y=一 ×12-8r+4=3 ∴△DOA∽△COB, AO BO .3>2.44, 下册参考答案 又：∠DOC=∠AOB. ∴△BCD≌△HCE,∴.BC=HC, .△AOB∽△DOC, 四边形BCHG是正方形，.BG=BC, ∴∠DCA=∠EBA. DF DB.DF DB 又：∠ADC=90°，AE⊥BD, :BCGH,∴EF=G市心EF-BC .∠ADC=∠AEB=90°， 在Rt△BCD中，CB=2,CD=5, .△ABE∽△ACD, .△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”. .BD=1. DF DB 1 EFBC-2 (3)如图①，过点E作EH⊥AD于点H. ,△ABC为等腰直角三角形，G为 设=aw小器=aw, AC中点， DF 1 1 (3)EF=tana. AG=AC= ×6=3,AB 理由：如图②，过点D作DM∥BC交CE于点M,则 ACin45°=3√/2. 图① EF=E,∠CDM=a. DF MC :△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”， DF MC .△ABD∽△AGE, EC=CDEFCD' ,∠1=∠2， DF 在Rt△MCD中，tan∠CDM= M CDEF=tana, 沿-华每得AE=2 3 :∠2+∠3=45°， ∴∠1+∠3=45 EH⊥AD 六HA=HE=AEm45=E.即AH=号 图① 因2 .DE=AE=2. 3.解：(1)∠MPC=2∠BAP ∴∠DEA=∠GEA=90 (2)证明：如图①，连接BF.由折叠可知。 ∴∠ADB=∠GEA=90°， PF=PB,∠BAE=2∠BAP,AB=AF, ∴BD=√AB-AD=I0. ·AP是BF的垂直平分线，∠PBF=∠PFB, 【解析】(1)③如图②，连接BD,CE, .AP⊥BF,∠MPC=∠PBF+ :△ABC与△ADE互为“旋转位似图 ∠PFB=2∠PBF. 形”， '∠BAP+∠BPA=90°=∠BPA .△ABCn△ADE,∠DAE=∠BAC, +∠FBP, m615 ∴∠BAP=∠FBP, 图① 0-装脚-是 ∴.∠MPC=∠BAE.ABE=∠PFE=90°. 解得AC=10. ∴.△ABE∽△PFE, :∠DAB=∠DAE-∠BAE,∠EAC=∠BAC 器-提AB=3PF= -∠BAE 1 .∠DAB=∠EAC 六EF=3BP·BE. 盼提 (3)①：BP=2, ∴.PF=2 ∴.△DABc∽△EAC, △ABE∽△PFE. 器-授脚器=-号 EF EB P际示=AB 2.解：(1)1 EF_PE2 (2)如图①，过点C作CH⊥BC,过点E作EH∥BC, ∴距品专 两线交于点H,延长AB交HE的延长线于点G, 设EF=2x,则BE=3x, .CH⊥EH. .PE=3x-2 又：∠ABC=90°，∴.∠GBC=90°， PE=PF+EF, .四边形BCHG是矩形. ∴.(3x-2)2=2+(2x)2, :∠DCE=∠BCH=9O°， 12 解得x1= 5 ,x:=0(舍去) .∠DCB=∠ECH. ∠DBC=∠H=90°，DC=EC, PE=3x-2=5 26 数学九年级RJ版 ②当点E在BC内部时，BP=3反-3：当点E在BC (2)如图，连接AC,在AC上截取AE 的延长线上时，BP=35-3 =AD,连接DE. 2 【解析】(3)②分以下 :四边形ABCD是菱形， 两种情况讨论：a.如图②，当点E在C内部时， 能-c=4 ∴∠ACD=2∠BCD=Z∠BAD 1 =36°，∠DAC=∠BAC=Z∠BAD=36',AD=AB ..BE=3=AB.CE=1, ∴AE=√AB+BE=3√E,∠AEB =1,CD∥AB, ∴.∠ADE=∠AED=72°，∠ADC=180°-∠BAD= =45°. 图2 108°，AE=AD=1. 由折叠可得， ∠B=∠AFP=90°，BP=PF,AB=AF=3, Dg-6号AD- 2 ∴∠FPE=45=∠AEB, ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=108°-72°=36°， ..BP=PF=EF=AE-AF=32-3. ∴∠CDE=∠ACD, b.如图③，当点E在BC的延长线上时， 器-c=4 MD CE=DE=5-1 2 ∴.BE=6,CE=2, AC=AE+CE=1+5-1_5+1 2 2 ∴.AE=√AB+BE=3/5. 图③ .AF=AB=3. 、即这个菱形较长对角线的长为 .EF=35-3. 周周练 ∠E=∠E,∠B=∠PFE=90°， 周周练一26.1 ,.△PFE∽△ABE 器-器设即-pP- 1.D2.A3.D4.B 4 5.D【解析J一次函数y=3x+4的图象与x轴y 二=35-3 6 轴分别交于点B,A,∴.B(-3.0).A(0,4). 解得x=35-3 如图，过点C作CE⊥x轴于点E. 2 :四边形ABCD是正方形 6P=35-3 ∴∠ABC=90°，AB=BC. 2 :∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+ 综上所述，当点E在BC内部时，BP=3√厄-3：当点E ∠AB0=90°. ∴∠CBE=∠BAO. 在BC的延长线上时，BP=35-3 在△BEC和△AOB中. 2 ∠CBE=∠BAO. 4.解：(1)①72°1-x ②：AB=AC,∠A=36, ∠BEC=∠AOB=90°， BC=AB. ∴.∠C=∠ABC= 180°-36 2 =72 ,.△BEC2△AOB(AAS), ∴.BE=AO=4.CE=BO=3. 由折叠的性质，得∠CBD=∠EBD=36°，∠C= ∴.OE=3+4=7,点C的坐标为(-7,3). ∠BED=72°，∠BDC=∠BDE, .∠A=∠CBD=∠EBD,∠EDC=360°-∠BED- :点C在反比例函数y=兰(x<0)的图象上： ∠C-∠EBD-∠CBD=144°，.∠ADE=36° ∴.k=(-7)×3=-21. =∠A, ∴.∠BDC=72=∠C..BD=BC=AD=x. 6.-27日 :∠C=∠C. 8.10【解析】：AB∥x轴， .△ABC∽△BDC, AC BC BC-DC' 55am=引1.5ae=合×4=2 Soom-Saow=Savn 时得，（不合题 2 211-2=3.解得长=10或表=-10， 意，舍去)， k>0,.k=10 9.(-1,0)【解析】：直线y=k,x+6与y=三的图象 下册参考答案