专题训练5 圆的综合题-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题训练五 圆的综合题 (限时：45分钟) 类型(1与圆的性质有关的证明与计算 (2)如图②，若C是ADB的中点，D是BE 1.如下图，AB是⊙O的直径，C是BD的中 的中点，求证：BG=BP 点，CE⊥AB于点E,BD交CE于点F.求 证：CF=BF 2.(2025芜湖一模)如图，已知AB,CD是圆内 的两条弦，延长AB,CD相交于点P E 图① 图② 3.在△ABC中，∠ABC=∠C,以AB为直径 (1)如图①，连接OA,OB,OC,OD,请写出 的⊙O交BC于点D. ∠P,∠AOC,∠BOD之间的数量关系，并 (1)如图①，当∠A为锐角时，AC与⊙O交 说明理由。 于点E,连接BE,写出∠BAC与∠CBE的 数量关系，并说明理由 图① 下册专题训练 89 (2)如图②，当∠BAC为钝角时，CA的延长 5.如下图，AB是⊙O的直径，E,C是⊙O上的两 线与⊙O交于点E,连接BE,(1)中∠BAC 个点，且EC-BC,连接AE,AC.过点C作CD 与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成 ⊥AE交AE的延长线于点D,连接OE,BE, 立，请加以推理：若不成立，请说明理由 OC,BE与OC交于点F (1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明 理由， (2)若AB=4,CD=√5. 图② ①求证：四边形DEFC是矩形； ②求图中阴影部分的面积 类型《2与切线有关的证明与计算 4.如下图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD是 斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别 交AC,BC于点M,N,过点N作NE⊥AB,垂 足为E. (1)求证：NE与⊙O相切. ②若00的半径为号，AC=6,求BN的长 90 数学九年级J版∴.桌面左上角顶点F到地面的距离=FK十AN+AP :∠AOC+∠OAC+∠OCA =7.02+27+34.98=69(cm. =180°， 故此时桌面左上角顶点F到地面的距离约为69cm ∠PAC+∠PCA+∠P=180°= 3.解：(1)连接AD,如图①. ∠PAO+∠OAC+∠PCO+ :BD=BC=AB=60cm,∠CBD=30°，A: ∠OCA+∠P, 图① ∠CBD=∠A+∠ADB. ∴.∠AOC=∠PAO+∠PCO B 1 ·∠A=∠ADB=Z∠CBD=15°，∠BDC= +∠P. D .OA=0B=OC=OD. 180°-∠CBD)=75,AC=2BC=120cm, 1 图① ·∠0AB=Z(180°-∠A0B)=90°-2∠A0B, ∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=90. .在Rt△ADC中， ∠0cD=2a0'-Z0D)=90-2∠c0D, AD=AC·cos4=120·cos15°≈120X0.966= 115.92≈116(cm), ∴∠PC0+∠PA0=180-Z(∠AOB+∠COD) 即A处离地面116cm (2)过点B作BE⊥CD于点E,过点B作BF⊥GH于 =180-2360-∠A0c-∠B0D) 点F,如图②. 根据题意，得GH⊥DH,则可得四边 =2∠AOC+2∠BOD. 形BEHF是矩形， ∠A0c=7∠A0c+2∠B0D+ZP. .BF=EH.BE=FH. ∠CBD=30°，BD=BC, .∠AOC-∠BOD=2∠P (2)证明：如图②，连接OA,OC,OB,OD,BC, ∴.∠CBE=∠DBE=15, EC OE.BD. ∴.CE=BC·sin∠CBE≈15.54cm, BE=BC·cos∠CBE≈57.96cm, 由(1)可得∠AOC-∠BOD= 2∠P. ,∴.BE=FH=57.96cm, .GF=GH-FH=158-57.96=100.04(cm). :C是ADB的中点，D是BE 在Rt△GBF中，BF=GF·tanG=100.0M·tan45°= 的中点， 100.04(cm), :.AC=BC.BD=DE. ∴.CH=EH-EC=BF-EC=100.04-15.54≈85 .∠AOC=∠BOC,∠BOD=∠EOD, (cm). ∴∠BOC-∠BOD=∠COD=2∠P. 故CH的长度约为85cm. :∠COD=2∠CBD. 4.解：由题意，得AB=1.8m,CD=1.6m,AF=25.28m. ∠CBD=∠P. 在Rt△DF中，∠FAD=90°，∠D=55°. :∠BGP=∠DCB+∠CBE,DE=DB, AD=AF25.28 ∴∠BGP=∠DBE+∠CBE=∠CBD=∠P, tan55≈1.43 17.68(m) .BG=BP. .BC=AD-CD-AB=17.68-1.6-1.8=14.28 3.解：(1)∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC= (m), 2∠CBE.理由如下： 如图①，连接AD. 0C=zBC≈7.1m. :AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥C. 故球罐的半径约为7.1m. :∠ABC=∠C,.AB=AC, 专题训练五圆的综合题 1.证明：：AB是⊙O的直径， ·∠BAD=∠CAD=Z∠BAC. .∠ACB=90 :∠CAD=∠CBE,∴∠BAC=2∠CBE. :CE⊥AB, ∴∠CEB=90°. ∠BCE=90°-∠ACE=∠A. C是BD的中点， 因① ∴·∠CBD=∠A, (2)成立.推理如下： ∠CBD=∠BCE 如图②，连接AD. ∴CF=BF, :AB为直径，.AD⊥BC. 2.解：(1)∠AOC-∠BOD=2∠P.理由如下：如图①，连 :∠ABC=∠C, 接AC. ∴AB=AC, 下册参考答案 ∴.∠ECO=∠BOC=60°，CE=OE= ∴∠BAD=∠CAD=Z∠BAC :∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°， B=2. 1 ∴∠CAD=∠CBE,∴∠BAC=2∠CBE ∴CE∥AB,.S△e=S△me. 4.解：(1)证明：如图，连接ON ∠OCD=90°，∠OCE=60°，∴∠DCE=30° :∠ACB=90°，D为斜边的中点， .CD-DA-DB-TAB. DE=7CE=1.AD=3. .∠BCD=∠B. ∴阴影部分的面积为S△m一Sme= 2×5×3- OC=ON. 60x×2-35_2s ∴.∠BCD=∠ONC, 360 2-3 .∠ONC=∠B. 专题训练六二次函数综合探究 .ON∥AB. 1.解：(1)y=-x2+2x+3 ,NE⊥AB. (2)设直线BC的解析式为y=x十1. ∴.ON⊥NE. 把B(3,0),C(0,3)分别代人y=kx+t,得 ,NE为⊙O的切线. 3k+1=0 k=一1 ②：00的半轻为号。 t=3. 解得=3： ∴.直线BC的解析式为y=一x十3. .CD=5. :P是第一象限抛物线上一点， :∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴.设P(x,-x2+2x+3). ∴.BD=CD=AD=5, 作PD∥y轴交直线BC于点D,如图， ∴.AB=10. D(x,-x+3). AC=6, ∴PD=(-x2+2x+3)-(-x+3) ∴.BC=10-6=8. =-x2+3x 由(1)得ON∥AB. :O为CD的中点， 六△PBC的面积为2×3×(-x+ N为BC的中点， 3--2)》+得 ∴.BN=NC=4. 5.解：(1)直线CD与⊙O相切.理由如下： 3 EC=BC,∴∠CAD=∠BAC. 3 OA=OC,·∠BAC=∠ACO. 当x= 时，△PBC的面积最大. .∠CAD=∠ACO,∴.AD∥OC. AD⊥CD,∴OC⊥CD. y=-+2+3=-('+2×2+8=只 故当 OC是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切. △PBC的面积最大时，点P的坐标为（号，）. (2)①证明：由(1)知，OC⊥CD,∴.∠CD=90 (3)孔明同学的猜想对.理由如下 AB是⊙O的直径， :M,N为抛物线上的动点，M,N两点的横坐标之差 .∠AEB=90°， 为2，M在N的左侧， .∠FED=∠D=∠FCD=90°. .设M(m,-m2+2m+3),则N(m+2,-(m+2)2 .四边形DEFC是矩形. +2(m+2)+3),即N(m+2,-m2-2m+3). ②四边形DEFC是矩形..EF=CD=√尽，OC⊥BE 设直线MN的解析式为y=cx十d. 把点M.N的坐标分别代入y=cx+d, .BE=2EF=2√3 ∴.AE=AB-BE=2. 得c+d=-m+2m+3, c(m+2)+d=-m2-2m+3, AE 1 ∴sinABE=AB=z 年用6二4+3 ∴.∠ABE=30°， ∴.直线MN为y=-2mx+m+2m+3. ∴∠AOE=60°，∴.∠B0E=120 :H恰好是线段MN的中点，∴H(m+1,一m十3). EC=BC.∴.∠COE=∠BOC=60. :HQy轴，且点Q在抛物线上， 如图，连接CE. .Q(m+1,-(m+1)2+2(m+1)+3). :OE=OC,∠COE=60°， 即Q(m+1,-m2+4), ∴.△COE是等边三角形， ∴.HQ=(-m2+4)-(-m2+3)=1. 0 数学九年级RJ版