2.3 确定二次函数的表达式-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

3 确定二次函数的表达式 要点提示 1.用顶点式确定二次函数的表达式：当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点的坐标时，通常设抛物 线的函数表达式为顶点式y=a(x一h)产十k(a,h,k为常数a≠0). 2.用一般式确定二次函数的表达式：当已知条件是抛物线上任意三点时，通常设抛物线的函数表达式为一般式 y=ax+bx十c(a,b,c为常数，a≠0). 3.用交点式确定二次函数的表达式：当抛物线y=ax十bx十c与x轴有两个交点(x1,0),(x:,0)时，二次函数 y=ax2+十x十c可转化为交点式y=a(x一x,)(x一x,)(a,x1x:为常数，a≠0). O1固基础乡 知识点2用一般式确定二次函数的表达式 4.(教材变式)已知二次函数的图象经过点 知识点1用顶点式确定二次函数的表达式 (-1,一5)，(0，一4)和(1,1)，则该二次函数 1.(2025佳木斯模拟)若二次函数y=a.x2十 的表达式为 () bx十c的图象开口向下，顶点坐标为(2,3)， A.y=-6x2+3x+4B.y=-2x2+3x-4 且过点(0,1)，则函数表达式为 C.y=x2+2x-4D.y=2x2+3x-4 Ay=-24-23+3By=2x-2+3 5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常 C.y=-2(x+2)2+3D.y=2(x+2)2+3 数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对 2.一个二次函数，当x=一1时，函数的最小值 应值如下表： 为2，图象经过点(1,6)，则这个二次函数的 x …-2-1012 表达式为 y…m0-3n-3 3.如下图，在平面直角坐标系xOy中，二次函 (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 数图象的顶点坐标为(4，一3)，该图象与x ,对称轴为 轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,其 (2)求抛物线的表达式及m,n的值 中点A的横坐标为1.求： (1)该二次函数的表达式 (2)tan∠ABC. 知识点3用交点式确定二次函数的表达式 6.如图所示的抛物线的表达式是 A.y=x2-2x+3 B.y=-x2-2x+3 C.y=-x2+2x+3 D.y=-x2+2x-3 第6题图 数学九年级BS版 02提能力念 。。4… 03拓思维 7.应用意识某处有高低不同的ym 10.若一次函数y=kx十m的图象经过二次函 各种喷泉，其中有一支高度为 数y=ax2十bx十c图象的顶点，我们则称 1m的喷水管，喷水最高点A 这两个函数为“丘比特函数组” 离地面3m,此时点A离喷水 x/m (1)请判断一次函数y=一3x十5和二次函 01 2 第7题图 数y=x2一4x十5是否为“丘比特函数 口的水平距离为2m,在如图 组”，并说明理由 所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数 (2)已知二次函数y=ax2十bx十c图象的 表达式为 (不要求 顶点在二次函数y=2x2-3x一4的图象 上，并且二次函数y=a.x2十bx十c的图象 写出自变量x的取值范围)， 经过一次函数y=x十2的图象与y轴的交 8.已知抛物线y=ax2十2ax十b上有两点 点.若一次函数y=x十2和二次函数y= A(一2,4)，B(1,0),将抛物线沿水平方向平 a.x2十bx十c为“丘比特函数组”，求二次函 移，平移后点A的对应点为A',点B的对应 数y=ax2十bx十c的表达式. 点为B',且四边形AA'B'B刚好为菱形，那 么平移后的抛物线的顶点坐标为 9.如下图，抛物线y=ax2十bx十c经过点 A(-1,0),B(5,-6),C(6,0) (1)求抛物线的函数表达式. (2)连接AB,点P在直线AB下方的抛物 线上.求△ABP的面积最大时点P的坐标. 下册第二章.bc>0,4a十b=0,故选项A,B结论正确，不符合 依题意知，a+2二4“是与，无关的定值， 题意： a.x+1=ax十bx:且x1≠x: :.axi+bx+c=axi+b:+c. 则2-4a=0,解得a三7 x=x,和x=x:关于对称轴对称， x1十x:=4,故选项C结论正确，不符合题意： 经位酸，当口一行时：号-是一个与)无关的定 :抛物线的开口向下， 值，符合题意 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小. 若(-1，y1).(3,y:)两点都在抛物线y=ax+r+ 故a=子6=-如=-2 c上， 13.解：(1)①19②-2 |-1-2>|3-2|,∴y,<y:,故选项D结论错 (2)由题意可知，B(0,c),A(c,0). 误，符合题意. 将A(c,0)代入y=x2-x+c,得c2-bc十c=0. 10.B【解析】A.抛物线中，a>0.b<0,c<0,则ac<0. :加≠0，.c≠0，∴.c=b一1，设此函数图象上的一 而直线中ac>0,b>0,故A选项不符合题意：B.抛 点为(m,m一bm十c),该点的“雅和”为t, 物线中，a>0,b>0,c>0,则ac>0,而直线中，ac> 则t=m2+(1-b)m+c. 0.b>0,故B选项符合题意：C.抛物线中，a<0,b> 又：此二次函数的“礼值”为1一b, 0,c>0,则ac<0,而直线中，ac<0,b<0,故C选项 不符合题意：D.抛物线中，a<0,b<0,c>0,则ac< 1的最小值为1-6，即c-1-b -=1-b. 4 0,而直线中，ac>0,b>0,故D选项不符合题意. ∴.4(6-1)-(b-1)2=-4(b-1),∴.b-1=0或8. 11.一2【解析】函数y=2x+bx图象的顶点坐标为 c=b-1≠0，∴.b=9,c=8. (一冬-安)，它的文换两数”y=6以+2x图象的 【解析】(1)②设一次函数y=3x+2(-1≤x≤3)图 象上的一点为(x,3x十2)，该点的“雅和”为心，则四 顶点坐标为一石一岩) =x+3x+2=4x十2.：4>0，.随x的增大而增 由题意，得-冬=一行：且 b21 大.：一1≤x≤3，∴.当x=一1时，0取得最小值，最 8-b =0,解得b= 小值为-4+2=-2，∴.一次函数y=3x+2(-1≤7 -2. ≤3)的“礼值”为一2 又一2≠2，.b=一2满足题意 3确定二次函数的表达式 12.解：(1)将(4,0)代入y=ax+bx,得16a+4b=0,即 1.A2.y=(x+1)2+2 b=-4a, 3.解：(1)设该二次函数的表达式为y=a(x-4)-3. -名-2 根据题意，得点A的坐标为(1,0) 把A(1,0)代入y=a(x-4)2-3,得0=a(1-4)2 故该抛物线的对称轴是直线x=2. (2)①由(1)可知，抛物线的表达式为y=2x一2x, 3解得a=宁 故该二次函数的表达式为y=子（x一4)一3 又“x,=-y1=(-2x:)-(2-2x） 3 (2)令x=0.得y=30-4-3=30C= 7 =x-2,)-(分-2x）=2 :二次函数图象的顶点坐标为(4，一3)， :抛物线y一2-2x过原点，且点A与原点不重 ∴点B与点A关于直线x=4对称， 合，∴.x1≠0， 点B的坐标为(7,0) >0y> 1 :.0B=7..tnZABC=0B73 ②a=2b=-2. 4.D 【解析】(2)②由题意知，y1=ax一4ax1,y:=x 5.解：(1)上直线x=1 -2x. (2)把(-1,0)，(0，-3)，(2，-3)代入y=ax2+x+c, 去 fa-b+c=0. (a=1, 得c=-3. 解得b=-2, :两条抛物线均过原点，且点A,B与原点都不重 4a+2b+c=-3,c=-3, 合，∴.x1≠0，x:≠0， .抛物线的表达式为y=x2-2x-3 2 a(,-5=1,即=a(,-4)+2. 当x=-2时，m=4+4-3=5: 当x=1时，n=1-2-3=-4. 兰=(x1-40+2 6c7=--2+3 10 数学九年级BS版 8(4.名)或(-6.)【解析1根据题意，得 a=-3 4 4a-4a+b=4, 二次函数y=a+证十c的表达式为y=一女 a+2a+b=0, 3 b=4, +2x+2: +4.:AB=√(-2-1)+(4-0)下=5，且四边形 当m=一1时，同理可得二次函数y=ax2十bx+c AA'B'B为菱形，.AA'=BB'=AB=5,.抛物线是 的表达式为y=x+2x+2. 综上，二次函数y=ax十x十c的表达式为y= 沿水平方向平移了5个单位长度.：y=一 3x+4=- (x十1r+号抛物线的顶点为 4 -号+2红+2或y=+2z+2. 4二次函数的应用 (-1.9》 第1课时应用二次函数求几何图形最值 ∴.当抛物线向右平移5个单位长度时，平移后的抛物 1.B 2.1【解析】：△ABC为等腰直角三角形，∴.∠B 线的顶点坐标为(4，号》：当抛物线向左平移5个单 =45 位长度时，平移后的抛物线的顶点坐标为（一6，》。 :四边形CDEF为矩形，∴，∠EFC=90°，∴∠EFB= 90°，∴∠BEF=∠B=45,.EF=BF. 9.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一6) 设CF=xcm,矩形CDEF的面积为Scm2,则EF= (a≠0). BF=(2-x)cm. 把B(5,-6)代入，得a(5+1)(5-6)=-6.解得a ∴.S=CF·EF=x(2-x)=-(x-1)3+1, =1, .当x=1时，矩形CDEF的面积最大，最大面积为 抛物线的函数表达式为y=(x十1)(x一6)=x2一 1cm2. 5x-6. 3.10【解析】根据题意得抛物线经过点O(0,0),代入 (2)如图，连接AP,BP,过点P作 PD⊥x轴于点D,交AB于点E. 表达式y=-六c-20+长，得0=一00-20)r+ 设直线AB的表达式为y=kx十n D k,解得k=10, 将A(-1,0),B(5,-6)代人，得 仁+n=0:解得=一1：直线 六抛物线的表达式为y=一0(x一20)+10，顶点坐 5k+n=-6, n=-1, 标为(20.10)， AB的表达式为y=-x一1.设点P “发射石块在空中飞行的最大高度为10m 的坐标为(m,m2一5m一6)(-1<m<5),则点E的 坐标为(m,一m一1)， 4.解：(1)由题意可得，抛物线经过点(0,2)和(3,0. .PE=(-m-1)-(m2-5m-6)=-m2+4m+5, 把上述两个点的坐标代人二次函数表达式，得 5w=2PE(-)=-m+m+5)X = 2 解得 6=-3(m-2)2+27. 3 9a+3+c=0, 一3<0，∴.当m=2时，S△B取最大值，此时点P 2 的坐标为(2，一12). 10.解：(1)一次函数y=一3x+5和二次函数y=x一 与：之间的函数表达式为y=一子十：十是 4x十5不是“丘比特函数组”.理由如下： y=x2-4x+5=(x-2)+1,.二次函数图象的 0=-+x+号=--+2. 顶点坐标为(2,1). ∴.当x=1时，y取得最大值，此时y=2. 当x=2时，y=-3x+5=-1≠1， 故水流喷出的最大高度为2m. .一次函数y=-3x十5和二次函数y=x-4x+5 5.190【解析】设与墙垂直的边AB=xm,花园的面积 不是“丘比特函数组” 为Sm2,则BC=46-2x+2=(48-2x)m, (2)设二次函数y=ax2十bx十c的顶点坐标为(m,m .S=AB·BC=x(48-2x)=-2x+48x. +2). 由题意可知，48一2x≤10，∴.x≥19. 将(m,m+2)代入y=2x2-3x一4.得m+2=2m :二次函数S=一2x2十48x的图象的对称轴为直线 -3m-4,解得m1=3,m:=-1. 48 当m=3时，二次函数y=ax2++c图象的顶点 x=一2x-2=12,-2<0,当x>12时.5随x 坐标为(3,5)，则该二次函数的表达式为y=a(x- 的增大而减小， 3)2+5. ∴当x=19时，S大=19×(48-2×19)=190. :一次函数y=x+2的图象与y轴的交点为(0,2) 故这个花园的最大面积是190m2. ∴.将(0,2)代入y=a(x-3)2+5,得9a+5=2,解得 6.解：(1)①36 下田参考答案