2.2 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

1 ∴直线AB的函数表达式为y=2x+2, (-a,y1). x1=3a,3≤x:≤4，y1<y:,且当x>a时，y随x (2)对于直线AB:y=2+2.当x=0时y=2。 的增大而减小，∴.一a>4,解得a<一4. 又'a<0,.a<-4. 1 OC=2...Som=Som+Some=7X2X2+ 综上所述，a的取值范围是0<a<1或a<-4. 13.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6) ×2×4=6. +4, (3)4 抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 第3课时二次函数y=a(x一h) 当y=3时，3=一(x-6)+4,解得x1=5,x:=7. 和y=a(x一h)2十k的图象与性质 :点P在对称轴的右侧， 1.B2.B3.D4.D5.B 点P的坐标为(7,3)，.a=7 6.h≤3【解析】：二次函数y=2(x一h)产的图象开口 (2)5 向上，其对称轴为直线x=h,∴当x>h时，y随x的 【解析】(2)：平移后的抛物线对应的函数表达式为y 增大而增大，∴h≤3. =-(x-3)2, 平移后抛物线的顶点坐标为(3,0). 7.C 由平移的性质可知，PP'的长为平移前后抛物线顶点 【解析】s一m=1,∴1=2r2. 间的距离. 由(1)可知，平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， 解得4=2：=0（舍去）. ∴.根据勾股定理，得PP'的长为√(6一3)+(4-0) =m+分Aa+》 =5. 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的 ∴抛物线的对称轴为直线x=m 图象与性质 1 女5-1≤x≤s+2,m-2≤x≤m+2 1.B2.-3.D 4.C【解析】：二次函数y=ax2+a十c(a≠0)图象的 当x=m+号时y有最大值y=2×(受》广- 开口向上， 当x=m时，y有最小值y=0. b a>0,x=- a>0.-b>0,即6<0. 放二次函数的最大值与最小值的差为受 抛物线与y轴交点在负半轴，c<0. 9.B【解析】：y,<y:, 选项A:a>0,b<0,c<0, a(x,-h)2+k<a(x:-h)2+k, .abc>0.该选项不符合题意. b .a(x1-h)2-a(x:-h)<0, 选项B:对称轴为直线x=一云，由图象知，对称轴在 a(x,+x:-2h)(x1-x:)<0. a>0,x1<x∴x1+x:>2h. 直线1的左边，即-名<1 当x1十x:>2时，都有y<y,即都有x十x:> 又a>0,两边乘2a得-b<2a,∴.2a+b>0,该选项 2h,.2h≤2，.h≤1. 不符合题意. 10.y1<y:11.(1)-1(2)< 选项C:当x=-1时，y=a-b+c>0,即4a-4b+ 12.解：(1)当a=1时，y=(x-1)2-1, 4c>0:当x=2时，y=4a+2h+c=0, 此时顶点坐标为(1，一1) .(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)<0, (2):y=a(x一a)2-a2的对称轴为直线x=a, 2b一c<0,该选项符合题意. 分以下两种情况讨论： 选项D:当x=一1时，y=a一b十c,由图象知，x=一1 ①当a>0时，如图①. 对应的函数值y>0, ,x1=3a,3≤x:≤4，y1<y2,且当x>a时，y随x .a一b+c>0,该选项不符合题意。 的增大而增大， 5.y:>y>y16.y=(x+1)2-3 ∴.3a<3,解得a<1. 7.(1)3(2)y=x-4x 又.a>0,.0<a<1: 8.19【解折y=-3x+1=(x-2)》广-当 x≥2时，y随x的增大面增大.又：x≥6当x=6 时，y取得最小值，最小值为6-3×6+1=19. 9.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交 图① 于正半轴，.a<0,c>0. ②当a<0时，如图②. b 由题意，得M(3a,y,)关于对称轴对称的点的坐标为 :对称轴为直线x= =2..b=-4a>0. 下田参考答案 .bc>0,4a十b=0,故选项A,B结论正确，不符合 依题意知，a+2二4“是与，无关的定值， 题意： a.x+1=ax十bx:且x1≠x: :.axi+bx+c=axi+b:+c. 则2-4a=0,解得a三7 x=x,和x=x:关于对称轴对称， x1十x:=4,故选项C结论正确，不符合题意： 经位酸，当口一行时：号-是一个与)无关的定 :抛物线的开口向下， 值，符合题意 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小. 若(-1，y1).(3,y:)两点都在抛物线y=ax+r+ 故a=子6=-如=-2 c上， 13.解：(1)①19②-2 |-1-2>|3-2|,∴y,<y:,故选项D结论错 (2)由题意可知，B(0,c),A(c,0). 误，符合题意. 将A(c,0)代入y=x2-x+c,得c2-bc十c=0. 10.B【解析】A.抛物线中，a>0.b<0,c<0,则ac<0. :加≠0，.c≠0，∴.c=b一1，设此函数图象上的一 而直线中ac>0,b>0,故A选项不符合题意：B.抛 点为(m,m一bm十c),该点的“雅和”为t, 物线中，a>0,b>0,c>0,则ac>0,而直线中，ac> 则t=m2+(1-b)m+c. 0.b>0,故B选项符合题意：C.抛物线中，a<0,b> 又：此二次函数的“礼值”为1一b, 0,c>0,则ac<0,而直线中，ac<0,b<0,故C选项 不符合题意：D.抛物线中，a<0,b<0,c>0,则ac< 1的最小值为1-6，即c-1-b -=1-b. 4 0,而直线中，ac>0,b>0,故D选项不符合题意. ∴.4(6-1)-(b-1)2=-4(b-1),∴.b-1=0或8. 11.一2【解析】函数y=2x+bx图象的顶点坐标为 c=b-1≠0，∴.b=9,c=8. (一冬-安)，它的文换两数”y=6以+2x图象的 【解析】(1)②设一次函数y=3x+2(-1≤x≤3)图 象上的一点为(x,3x十2)，该点的“雅和”为心，则四 顶点坐标为一石一岩) =x+3x+2=4x十2.：4>0，.随x的增大而增 由题意，得-冬=一行：且 b21 大.：一1≤x≤3，∴.当x=一1时，0取得最小值，最 8-b =0,解得b= 小值为-4+2=-2，∴.一次函数y=3x+2(-1≤7 -2. ≤3)的“礼值”为一2 又一2≠2，.b=一2满足题意 3确定二次函数的表达式 12.解：(1)将(4,0)代入y=ax+bx,得16a+4b=0,即 1.A2.y=(x+1)2+2 b=-4a, 3.解：(1)设该二次函数的表达式为y=a(x-4)-3. -名-2 根据题意，得点A的坐标为(1,0) 把A(1,0)代入y=a(x-4)2-3,得0=a(1-4)2 故该抛物线的对称轴是直线x=2. (2)①由(1)可知，抛物线的表达式为y=2x一2x, 3解得a=宁 故该二次函数的表达式为y=子（x一4)一3 又“x,=-y1=(-2x:)-(2-2x） 3 (2)令x=0.得y=30-4-3=30C= 7 =x-2,)-(分-2x）=2 :二次函数图象的顶点坐标为(4，一3)， :抛物线y一2-2x过原点，且点A与原点不重 ∴点B与点A关于直线x=4对称， 合，∴.x1≠0， 点B的坐标为(7,0) >0y> 1 :.0B=7..tnZABC=0B73 ②a=2b=-2. 4.D 【解析】(2)②由题意知，y1=ax一4ax1,y:=x 5.解：(1)上直线x=1 -2x. (2)把(-1,0)，(0，-3)，(2，-3)代入y=ax2+x+c, 去 fa-b+c=0. (a=1, 得c=-3. 解得b=-2, :两条抛物线均过原点，且点A,B与原点都不重 4a+2b+c=-3,c=-3, 合，∴.x1≠0，x:≠0， .抛物线的表达式为y=x2-2x-3 2 a(,-5=1,即=a(,-4)+2. 当x=-2时，m=4+4-3=5: 当x=1时，n=1-2-3=-4. 兰=(x1-40+2 6c7=--2+3 10 数学九年级BS版第4课时 二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 要点提示 二次函数y=ax2十br十e的图象与性质 函数 大致图象 开口方向顶点坐标 对称轴 最值 增减性 y=ax:+bx 向上，直 b 当x=一 时 当x< 2a 2石时y随x的情大而减 +c (a.b.c la超大， b 是常数，a> 4ac-b 小：当x>- 时，y随x的情大而 开口越小 2a 孩x 0) a 情大 y=ax:+bx 4ac-b* 6 下，且 2a b 当x<- 时y随x的情大而情 2a +c (a.b.c 4a 当x=-2石时， a|越大 是常数，a =ac-b 大：当x> 2a 时，y随x的增大而 4a 0 域小 O1固基础念 (a≠0)的图象如图所示，则 A.abc<0 B.2a+b<0 知识点1用配方法确定二次函数y=ax2十b如 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 十c的图象的对称轴和顶点坐标 1 1.(教材变式)用配方法将二次函数y=x2一 5.已知二次函数y=- 乞x2+6x-10,且 8.x一9化为y=a(x一h)2+k的形式为 A(-1,y1),B(7,y2),C(12,y3)是该二次 函数图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关 A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25 系为 (用“>”连接) C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 知识点3抛物线y=ax2+br十c的平移 2.(2025遵义模拟)二次函数y=- + 1 6.将抛物线y=x2一4x一4先向左平移3个单 位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛 十g图象的顶点在第 象限。 物线的函数表达式为 7.如图，二次函数y=(x一 知识点2二次函数y=ax2+bx十c的图象 1)(x一a)(a为常数)的图 与性质 象的对称轴为直线x=2 3.二次函数y=ax2十bx+c的图象如图所 (1)a的值为 示，则点P(a,b)所在的象限是 ( (2)向下平移该二次函数的 第7题图 A.第一象限 B.第二象限 图象，使其经过原点，则平移后图象所对应 C.第三象限 D.第四象限 的二次函数的表达式为 ●易错点求二次函数的最值时忽略自 变量的取值范围 第3题图 第4题图 8.已知二次函数y=x2-3.x十1，当x≥6 4.(2025安徽)已知二次函数y=ax2十bx十c 时，它的最小值为 28 数学九年级BS版 02提能力念… 9.（2025凉山)二次函数y=a.x2+bx十c的部分 图象如图所示，其对称轴为直线x=2,且图象 经过点(6,0)，则下列结论错误的是 A.bc0 B.4a+b=0 C.若ax十br1=axi+brzd2 且x1≠x2,则x1十x2=4 第9题图 D.若(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y= ax2+bx十c上，则y2<y1 10.在同一平面直角坐标系中，二次函数y= ax2十bx十c(a≠0)与一次函数y=acx十b 的图象可能是 O3拓思维念 13.抽象能力定义：对于任意一点P(x,y),我 们把x十y称为该点的“雅和”，把函数图象 上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的 “礼值”.根据定义回答下列问题： (1)①点P(9,10)的“雅和”为 11,新定义题我们定义：y关于x的函数y= ②一次函数y=3.x十2（一1≤x≤3）的“礼 ax2十bx与y=bx2十ax(其中a≠b)互为 值”为 “交换函数”，如y=3.x2+4x与y=4x2+3z (2)二次函数y=x2一bx十c(bc≠0,3≤x 互为“交换函数”.如果函数y=2x2十bx图象 ≤5)的图象与x轴的一个交点为A,与y 的顶点与它的“交换函数”图象的顶点关于x 轴交于点B,点A与点B的“雅和”相等.若 轴对称，那么b= 此二次函数的“礼值”为1一b,求b,c的值」 12.已知抛物线y=ax2十bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴， (2)点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在抛物 线y=ax2+b.x和y=x2-2x上（点A,B 与原点都不重合)： ①若a=2且x,=,比较n与为的大小： ②当兴=时，若是一个与工1无关的 定值，请直接写出a与b的值， 下册第二章 29