2.2 第2课时二次函数y=ax2和y=a(x-h)2的图象与性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 要点提示 二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质：二次函数y=a.x(a≠0)和y=ax2+c的图象的形状相周，只是 佳置不周.y=ax2+c的图象可以看作是把y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位长度得到 的.二次函数y=ax是二次函数y=ax2十c中c=0时的情况. a的 大致图象 开口 顶点 函数 对称轴 增减性 最值 符号 c=0 c>0 c<0 方向 坐标 当x<0时，y随x的增 当x=0 a>0 向上 大而减小：当x>0时y时，ya 釉（或 随x的情大而情大 =c y=ax+ (0.c) 线x=0)》 当x<0时，y随x的增当x=0 a<0 句下 大而增大：当x>0时，y时，y 随x的情大而威小 =c O1固基础 A.y=y2 B.y>y2 C.yi<y2 D.无法确定 知识点①二次函数y=ax2的图象与性质 5.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐 1.(2025潮州模拟)已知点A(一4，y),B(一2， 标是(0，一1)，那么这个二次函数的表达式 y2),C(3,y3)都在二次函数y=2x2的图象上， 可以是 (写出一种即可). 则yy2y的大小关系为 知识点3二次函数y=ax2图象的上下平移 A.y3<y2<y1 B.y<y3<y2 6.(2025上海)将函数y=3x2的图象向下平 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 移2个单位后，得到的新函数的表达式为 2.若二次函数y=a.x2(a≠0)的图象经过点 P(一2,4)，则该图象必经过点 A.(4,-2) B.(-4,2) 》易错点对平移的规律理解不透彻 C.(-2,-4)》 D.(2,4) 7,通过上下平移二次函数y=号2的图 知识点2二次函数y=ax2+c的图象 象，可以使得到的新的函数图象过点 与性质 (3,一3)吗？若可以，请求出平移的方 3.二次函数y=一x2十1的图象大致为( 向和距离；若不可以，请说明理由。 华朵华 4.(2025驻马店模拟)A(x1,y1),B(x2,y2)是 抛物线y=-2x2-2上的点，且|x1>|x21, 则y1与y2的大小关系为 数学九年级BS版 念02提能力 O3拓思维 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y= 12.几何直观如右图，点A,B x2y↑ 一kx十1与二次函数y=x2十k的大致图象 在函数y=x2的图象 可能是 上.已知点A,B的横坐 2 标分别为一2,4，直线AB与y轴交于点 C,连接OA,OB B (1)求直线AB的函数表达式. 9.(2025惠州模拟)如图，菱形 (2)求△AOB的面积. OABC的边长为2，点C在y 轴的负半轴上，抛物线y= (3)若函数y=2的图象上存在点P,使 ax2过点B.若∠AOC=60°， △PAB的面积等于△AOB的面积的一 则a为 () 第9题图 半，则这样的点P共有 个 A.-1 B.-2 c.- D.1 10.已知抛物线y=x2一k的顶点为P,与x轴 交于A,B两点，且△ABP是等腰直角三 角形，则k的值是 11.已知抛物线y=x2-3如右 图所示，其顶点为C,与x 轴的交点为A,B (1)作出抛物线y=x2一3 关于x轴对称的图象。 (2)新图象的函数表达式为 (3)设新图象的顶点为D.请你连接AD BD,AC,BC,判断四边形ACBD的形状， 并说明理由。 下册第二章9.(气号)【解析1设点B的坐标为(2,6)b≠0. 第2课时二次函数y=ax :G是△OAB的重心，BE为△OAB的中线， 和y=ar2十c的图象与性质 ∴OE=AE..E(1,0). 1.D2.D3.B4.C BG:GE=21.GE=子BE. 5.y=2x2-1(答案不唯一)6.y=3x2-2 7.解：可以. 六点G的横坐标为3xs一xe)+E= ×(2-1)+ 32+6 设平移后新的函数表达式为y= 14 1 1 ，点G的纵坐标为3ya-y)+ye= 3 将3.-3)代入y=3+b,得-3=3×3+b,解 +o=3c(专 得b=-6, ∴平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度. CDOA.∴.△BCG∽△BOE 8.D -=号0c=号c( 9.A【解析】如图，过点B作BD⊥y 轴于点D. 将C(号，)代入y=,得子6=（号）”，解得6= :菱形OABC的边长为2，∴OC= BC=2, 子c(分号） '∠AOC=60°，∴∠BCD=60°， ,∴.BD=BC·sin∠BCD=2X 10.解：DV=3xr产≈r(>0) 2 F,CD=2cos60°=2×2=1， ∴.B(-√5，-3).把B(-5,-3)代入y=ax, 得-3=3a,解得a=-1. 10.1【解析】由y=x-k可知，顶点P(0,-k). :抛物线与x轴有两个交点， 4k>0,k>0,.OP=k. 令y=0,得x-k=0,∴x=士√F, ∴AB=2F (2)1 :△ABP是等腰直角三角形， (3)由图象可知，当r≥2时，V≥4. 11.解：(1)由|a|越大，抛物线开口越小，得抛物线经过 2 =OP..==1. 点A时，a的值最大：抛物线经过点C时，a的值 11.解：(1)抛物线y=x一3关于x轴对称的图象如图. 最小 A(1.2),∴.a·12=2,解得a=2 1 :C(2.1)a·2=1,解得a= 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公 1 共点时，a的取值范围是了≤a≤2， (2)y=-x2+3 (3)如图，四边形ACBD为菱形.理由如下： (2a<0或0<a<支>2 :点A,B关于y轴对称，点C,D关于x轴对称， ..OA=OB.OC=OD. 12.解：(1)把A(2,m),B(n,1)分别代入y=x,得 ∴四边形ACBD为平行四边形. m=4= 又：AB⊥CD,四边形ACBD为菱形. 点B在第一象限，n=1. 12解：1D:A,B是抛物线y=宁女上的两点。 (2)如图，作点B关于y轴的对称点 B(一1,1)，连接AB',AB与y轴的交 “当x=一2时y=有 ×(-22=1 点即为点P, 设直线AB'的表达式为y=kx十. 当x=4时y=子×=4 把A(2,4),B(-1,1)分别代入， ∴A(-2,1),B(4,4). 得什二解得伦 设直线AB的函数表达式为y=kx+b b=2. ∴y=x+2 侧有一2来+力=解得一之> 14k+b=4, 令x=0,则y=2,∴.点P的坐标为(0,2). b=2. 数学九年级BS版 1 ∴直线AB的函数表达式为y=2x+2, (-a,y1). x1=3a,3≤x:≤4，y1<y:,且当x>a时，y随x (2)对于直线AB:y=2+2.当x=0时y=2。 的增大而减小，∴.一a>4,解得a<一4. 又'a<0,.a<-4. 1 OC=2...Som=Som+Some=7X2X2+ 综上所述，a的取值范围是0<a<1或a<-4. 13.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6) ×2×4=6. +4, (3)4 抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 第3课时二次函数y=a(x一h) 当y=3时，3=一(x-6)+4,解得x1=5,x:=7. 和y=a(x一h)2十k的图象与性质 :点P在对称轴的右侧， 1.B2.B3.D4.D5.B 点P的坐标为(7,3)，.a=7 6.h≤3【解析】：二次函数y=2(x一h)产的图象开口 (2)5 向上，其对称轴为直线x=h,∴当x>h时，y随x的 【解析】(2)：平移后的抛物线对应的函数表达式为y 增大而增大，∴h≤3. =-(x-3)2, 平移后抛物线的顶点坐标为(3,0). 7.C 由平移的性质可知，PP'的长为平移前后抛物线顶点 【解析】s一m=1,∴1=2r2. 间的距离. 由(1)可知，平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， 解得4=2：=0（舍去）. ∴.根据勾股定理，得PP'的长为√(6一3)+(4-0) =m+分Aa+》 =5. 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的 ∴抛物线的对称轴为直线x=m 图象与性质 1 女5-1≤x≤s+2,m-2≤x≤m+2 1.B2.-3.D 4.C【解析】：二次函数y=ax2+a十c(a≠0)图象的 当x=m+号时y有最大值y=2×(受》广- 开口向上， 当x=m时，y有最小值y=0. b a>0,x=- a>0.-b>0,即6<0. 放二次函数的最大值与最小值的差为受 抛物线与y轴交点在负半轴，c<0. 9.B【解析】：y,<y:, 选项A:a>0,b<0,c<0, a(x,-h)2+k<a(x:-h)2+k, .abc>0.该选项不符合题意. b .a(x1-h)2-a(x:-h)<0, 选项B:对称轴为直线x=一云，由图象知，对称轴在 a(x,+x:-2h)(x1-x:)<0. a>0,x1<x∴x1+x:>2h. 直线1的左边，即-名<1 当x1十x:>2时，都有y<y,即都有x十x:> 又a>0,两边乘2a得-b<2a,∴.2a+b>0,该选项 2h,.2h≤2，.h≤1. 不符合题意. 10.y1<y:11.(1)-1(2)< 选项C:当x=-1时，y=a-b+c>0,即4a-4b+ 12.解：(1)当a=1时，y=(x-1)2-1, 4c>0:当x=2时，y=4a+2h+c=0, 此时顶点坐标为(1，一1) .(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)<0, (2):y=a(x一a)2-a2的对称轴为直线x=a, 2b一c<0,该选项符合题意. 分以下两种情况讨论： 选项D:当x=一1时，y=a一b十c,由图象知，x=一1 ①当a>0时，如图①. 对应的函数值y>0, ,x1=3a,3≤x:≤4，y1<y2,且当x>a时，y随x .a一b+c>0,该选项不符合题意。 的增大而增大， 5.y:>y>y16.y=(x+1)2-3 ∴.3a<3,解得a<1. 7.(1)3(2)y=x-4x 又.a>0,.0<a<1: 8.19【解折y=-3x+1=(x-2)》广-当 x≥2时，y随x的增大面增大.又：x≥6当x=6 时，y取得最小值，最小值为6-3×6+1=19. 9.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交 图① 于正半轴，.a<0,c>0. ②当a<0时，如图②. b 由题意，得M(3a,y,)关于对称轴对称的点的坐标为 :对称轴为直线x= =2..b=-4a>0. 下田参考答案