2.2 第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

∴.CD=DF+CF=30(km). 1 设BM=xkm,则DN=2xkm,CM=(20-x)km. 六△EFC的面积y=2x(4B-x) 在Rt△CMT中，CT=CM·cos∠MCT=(20-x)· 故y关于x的函数表达式为y=(4厅-x, cos60=(10-zx)km,MT=CM·sim∠McT= 12.y=2x2-4x+4(0≤x≤2)【解析】易证△AHE2 (20-·sis0r-(1ow5-号)km. △BEF,.AH=BE. AE=x,..AH=BE=2-x. ∴TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-2x）= 在Rt△AHE中，，EH=AE+AH, y=x+(2-x)=2x2-4x+4,∴y与x的函数 (20-2)km 关系式为y=2x2-4x十4(0≤x≤2). 13.10或11【解析】由题意，得m-5m+8=2,且m- 在Rt△MNT中，由勾般定理得MN=MT+ 2≠0，.m=3.若以3为腰长，三边长分别为3,3， Nr20=(1o5-ξ)'+(20-号月 4,3+3=6>4,能组成三角形，符合题意，周长为3+ 3+4=10:若以4为腰长，则三边长分别为3,4,4,3 ∴x1=15-55,x:=15+55(此时大于C的长， +4>4>4一3，能组成三角形，符合题意，周长为4十 舍去)，∴.BM=15-55≈3.8(km). 4+3=11.综上，等腰三角形的周长为10或11. 答：甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 14.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠ 开始相互接收到信号. 0). 第二章二次函数 将(18,24)，(20,20)分别代入y=kx+b, 1二次函数 得86士6=解得=一2， 120k+b=20, 1b=60. 1.C2.A3.C4.-15.B6.y=-x2-2x+4 7.(1)一次(2)二次8.y=-10x2+560x-7350 :利涧率不能高于40%，5<0%。 9.12（24或+5或一5或-1或0或1 解得x≤21. 2 或2 故y与x之间的函数关系式为y=一2x十60(18≤x 【程指水油题套：得C广什2。 解得m=2. ≤21). (2)=-2x2+90x-900(18≤x≤21) 故当m的值为2时，它是y关于x的一次函数. 15.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ (2)可分以下四种情况讨论： 是正方形， ①当m一4=0时，解得m=4: ∴·△AMR是等腰直角三角形， @当1时解得-1二5 1 2 .MR=AM=1 cm::S=S=7AM MR= ③当仁一什2时都得瓜=-1： 1 1 21·1=z1产(0≤1≤10. ④当m-m=0时，解得m1=0,m,=1. (2)2cm2 除上所述当m的值为4发中护我袁-1我0 2二次函数的图象与性质 或1时，它是y关于x的二次函数. 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的 10.A 图象与性质 11.D【解析】如图，过点F作FH⊥EC于点H,则 1.A2.C3.C4.C ∠FHE=90°，∴.∠FEH+∠EFH=90°. 5.解：(1)-9 ∠DEF=90°， (2)由(1)可知，点A的坐标是（一3，一9）， ∴.∠DEB+∠FEH=90°， ∴，点A关于y轴的对称点B的坐标是(3，一9)， ∠EFH=∠DEB. 点A,B关于x轴的对称点C,D的坐标分别是 在△DEB和△EFH中， (-3,9).(3.9). ∠B=∠FHE, 对于抛物线y=x,当x=一3时，y=9:当x=3时，y ∠DEB=∠EFH, =9, DE=EF. ∴C,D两点在抛物线y=x上 △DEB≌△EFH(AAS),∴BE=HF. 6.0-97.A BE=x...HF=x. 8.C【解析】，y=x,∴该函数图象开口向上，对称轴 MB=4,∠B=90°，∠C=30°， 为y轴.当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0 Bc--6, 时y随x的增大而减小.：当y=1时，x=土1：当y =9时，x=士3，∴.当1≤y≤9时，自变量x的取值范 .EC=BC-BE=4√3-x, 围是一3≤x≤一1或1≤x≤3. 下册参考答案 9.(气号)【解析1设点B的坐标为(2,6)b≠0. 第2课时二次函数y=ax :G是△OAB的重心，BE为△OAB的中线， 和y=ar2十c的图象与性质 ∴OE=AE..E(1,0). 1.D2.D3.B4.C BG:GE=21.GE=子BE. 5.y=2x2-1(答案不唯一)6.y=3x2-2 7.解：可以. 六点G的横坐标为3xs一xe)+E= ×(2-1)+ 32+6 设平移后新的函数表达式为y= 14 1 1 ，点G的纵坐标为3ya-y)+ye= 3 将3.-3)代入y=3+b,得-3=3×3+b,解 +o=3c(专 得b=-6, ∴平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度. CDOA.∴.△BCG∽△BOE 8.D -=号0c=号c( 9.A【解析】如图，过点B作BD⊥y 轴于点D. 将C(号，)代入y=,得子6=（号）”，解得6= :菱形OABC的边长为2，∴OC= BC=2, 子c(分号） '∠AOC=60°，∴∠BCD=60°， ,∴.BD=BC·sin∠BCD=2X 10.解：DV=3xr产≈r(>0) 2 F,CD=2cos60°=2×2=1， ∴.B(-√5，-3).把B(-5,-3)代入y=ax, 得-3=3a,解得a=-1. 10.1【解析】由y=x-k可知，顶点P(0,-k). :抛物线与x轴有两个交点， 4k>0,k>0,.OP=k. 令y=0,得x-k=0,∴x=士√F, ∴AB=2F (2)1 :△ABP是等腰直角三角形， (3)由图象可知，当r≥2时，V≥4. 11.解：(1)由|a|越大，抛物线开口越小，得抛物线经过 2 =OP..==1. 点A时，a的值最大：抛物线经过点C时，a的值 11.解：(1)抛物线y=x一3关于x轴对称的图象如图. 最小 A(1.2),∴.a·12=2,解得a=2 1 :C(2.1)a·2=1,解得a= 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公 1 共点时，a的取值范围是了≤a≤2， (2)y=-x2+3 (3)如图，四边形ACBD为菱形.理由如下： (2a<0或0<a<支>2 :点A,B关于y轴对称，点C,D关于x轴对称， ..OA=OB.OC=OD. 12.解：(1)把A(2,m),B(n,1)分别代入y=x,得 ∴四边形ACBD为平行四边形. m=4= 又：AB⊥CD,四边形ACBD为菱形. 点B在第一象限，n=1. 12解：1D:A,B是抛物线y=宁女上的两点。 (2)如图，作点B关于y轴的对称点 B(一1,1)，连接AB',AB与y轴的交 “当x=一2时y=有 ×(-22=1 点即为点P, 设直线AB'的表达式为y=kx十. 当x=4时y=子×=4 把A(2,4),B(-1,1)分别代入， ∴A(-2,1),B(4,4). 得什二解得伦 设直线AB的函数表达式为y=kx+b b=2. ∴y=x+2 侧有一2来+力=解得一之> 14k+b=4, 令x=0,则y=2,∴.点P的坐标为(0,2). b=2. 数学九年级BS版2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 要点提示 1.二次函数y=x的图象的画法 (1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，先取原走(0,0)，然后以原点为中心，向两边对称取值，并计 算出相应的y值.(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，(3)连孩：按照自 变量由小到大的顺序，把所描各点用光香的曲孩连接起来， 2.二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 函数 y=x y=-x! 大致图象 开口方向 甸上 句下 对称轴 y轴（或直线x=0) 顶点坐标 原克(0,0) 当x<0时y随x的增大而减小：当x>0时，y 当x<0时，y随x的增大而增大：当x>0时，y 增减性 随x的情大而情大 随父的增大而减小 最值 当x=0时，y山a=0 当x=0时，ya=0 01 固基础 C.y=-x2 D.y=x2 5.已知点A(-3,a)在抛物线y=-x2上 知识点1二次函数y=x2的图象与性质 (1)a的值为 1.抛物线y=x2的顶点坐标为 (2)点A关于y轴的对称点B的坐标是什 A.(0,0)B.(1,0) C.(0,1)D.(2,1) 么？如果点A,B关于x轴的对称点分别为 2.(2025宿州模拟)下列函数中，y的值随x的 点C,D,请判断C,D两点是否在抛物线y 值增大而增大的是 ) =x2上. Ay=-5 B.y=x2 x C.y=3x-1 D.y=-x十2 知识点2二次函数y=一x2的图象与性质 3.抛物线y=一x2不具有的性质是( A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.不与y轴相交 D.顶点是原点 4.(2025梧州模拟)已知点A(-2,a),B(2, ●易错点没有考虑x的取值范围 a),C(3,b)在同一个函数的图象上，其中a 6.当-3≤x≤1时，二次函数y=一x2的最 >b,则这个函数可能是 ( 大值为 ,最小值为 B.y=2x 数学九年级BS版 02提能力心 11.如下图，在平面直角坐标系中，四条直线x =1,x=2,y=1,y=2围成正方形AB 7.若点(0，y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数 CD. y=x2的图象上，则y1,y2,y的大小关系 (1)若抛物线y=ax2与正方形ABCD有 是 () 公共点，求a的取值范围. A.y3>y2>y B.y2>y1>ys (2)若抛物线y=a.x2与正方形ABCD没 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 有公共点，则a的取值范围为 8.已知二次函数y=x2,当1≤y≤9时，自变 量x的取值范围是 A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3 C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或0<x≤3 2 9.如图，在平面直角坐标系中， △OAB的边OA在x轴上， ∠OAB=90°，QA=2,抛物线 y=x2与OB交于点C,过点 第9题图 C作CD∥OA交AB于点D.若CD过△OAB 的重心G,连接BG并延长，交OA于点E,则 O3拓思维 BG:GE=2:1,点G的坐标为 12.如右图，已知点A(2,m) 10.(教材变式)已知圆柱的高为了，底面半径 B(n,1)在抛物线y=x2上， (1)求m,n的值， 为r,体积为V(π取3). (2)在y轴上找一点P,使得 0 (1)V与r之间的函数关系式为 点P到A,B两点的距离之和最小，并求出 ,并在下图 此时点P的坐标 中画出图象 (2)根据图象，当r=1时，圆柱的体积为 (3)根据图象，求出当r为何值时，V≥4. 下册第二章 23