4.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式与前n项和同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　数列的递推公式与前n项和 1.C　[解析] 数列从第2项起,后一项是前一项的,故该数列的递推公式可以是an+1=an(n∈N*).故选C. 2.C　[解析] 因为a1=3,a2=6,an+2=an+1+an,所以a3=a1+a2=9,a4=a3+a2=15,a5=a4+a3=24.故选C. 3.C　[解析] 因为数列{an}的前n项和为Sn=n2,所以a4+a5=S5-S3=52-32=16,故选C. 4.D　[解析] ∵数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,∴an+1=1-,∴a2=1-=,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,a5=1-=,∴{an}是周期为3的周期数列,而2025=3×675,故a2025=a3=-1.故选D. 5.C　[解析] 因为an+1=2an+1(n≥1),且a1=1,所以a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=57.故选C. 6.A　[解析] 由an+1=,a1=1,得a2==,a3==,a4==,a5==.故选A. 7.D　[解析] 由题可知,一个白圈在下一行产生一个白圈和一个黑圈,一个黑圈在下一行产生一个白圈和两个黑圈,所以当n≥2时,an=2an-1+bn-1,bn=an-1+bn-1,又因为a1=0,b1=1,所以a2=1,b2=1,a3=3,b3=2,a4=8,b4=5,a5=21,b5=13,a6=55,b6=34,a7=144,b7=89,故选D. 8.　[解析] 因为a1=1,-=n+1,所以=1+1+=3,所以=2+1+=3+3=6,故a3=. 9.　[解析] 因为数列{an}的前n项和Sn=3n-2,所以a1=S1=3-2=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,又a1=1不满足上式,所以an= 10.D　[解析] 依题意得a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,故A错误;当n≥3时,an-1+an-2=an,an+1=an-1+an,an+2=an+1+an,上述三式相加可得3an=an-2+an+2(n≥3),故B错误;a1+a2+a3+…+a2025=a1+a2+a2+a3+…+a2025-1=a3+a2+a3+…+a2025-1=a4+a3+…+a2025-1=…=a2026+a2025-1=a2027-1,故C错误;++…+=a1a2+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+a2025(a2026-a2024)=a2025a2026,故D正确.故选D. 11.ABC　[解析] 对于A,因为Sn=,所以当n=1时,a1=S1=,故A正确;对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,当n=1时,a1=也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=,故B正确;对于C,D,因为an+1-an=-=-<0,所以数列{an}为递减数列,故C正确,D错误.故选ABC. 12.ABD　[解析] 对于A,因为a1=1,an·an+1=3n,n∈N*,所以a1·a2=3,可得a2=3,由a2·a3=32,得a3=3,由a3·a4=33,得a4=9,故A正确;对于B,因为an·an+1=3n,所以an+1·an+2=3n+1,所以=3,故B正确;对于C,因为a1=1,=3,所以a3=3a1=3,a5=3a3=32,…,a2n-1=3n-1,因为a2=3,=3,所以a4=3a2=32,a6=3a4=33,…,a2n=3n,所以a2n-a2n-1=3n-3n-1=2×3n-1,故C错误;对于D,a2n+a2n-1=3n+3n-1=4×3n-1,故D正确.故选ABD. 13.17　f(n+2)=2f(n+1)+f(n)　[解析] f(1)=3,f(2)=3×1+2×2=7,f(3)=3×3+2×4=17,f(4)=3×7+2×10=41,f(5)=3×17+2×24=99,…,故f(n)=3×f(n-2)+2×[f(n-1)-f(n-2)](n≥3,n∈N*),即f(n+2)=2f(n+1)+f(n). 14.解:由题意可知a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…, ∴an+3=an,∴a2026+a2027=a675×3+1+a675×3+2=a1+a2=+=. 15.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-=n,当n=1时,a1=S1=1,满足上式,所以an=n,n∈N*. (2)bn=2n-5n,则bn+1-bn=[2n+1-5(n+1)]-(2n-5n)=2n-5. 当n≤2时, bn+1-bn<0,即bn+1<bn,所以b1>b2>b3; 当n≥3时, bn+1-bn>0,即bn+1>bn,所以b3<b4<b5<…. 故数列{bn}中的最小项为b3=23-15=-7. 16.解:(1)由题意知-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*,令n=1,可得-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0, 即+S1-6=0,解得S1=-3或S1=2,即a1=-3或a1=2,又a1为正数,所以a1=2. (2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*,可得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,则Sn=n2+n或Sn=-3. 因为数列{an}的各项均为正数,所以Sn=n2+n, 则=(n-1)2+(n-1)(n≥2),所以当n≥2时,an=Sn-=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 又a1=2=2×1,满足上式,所以an=2n(n∈N*). 17.BC　[解析] 由题意知a1=,a2=f=-1=,a3=f=-1=,a4=f=+=,a5=f=2×-1=,a6=f=2×-1=,a7=f=+=,…,∴数列{an}从第3项开始构成以3为周期的周期数列,但前2项与后面项无法构成周期数列,∴数列{an}并不是周期数列,故A错误,B正确.a2026=a2+674×3+2=a4=,a2027=a2+675×3=a5=,∴a2026+a2027=,故C正确,D错误.故选BC. 18.ACD　[解析] 因为{an}为“阶梯数列”,所以由a1=a4=1,可得a2=a5,a3=a6,a4=a7,a5=a8,a6=a9,…,观察可得a1=a4=a7=…=a3n-2=1(n∈N*),a2=a5=a8=…=a3n-1=(n∈N*),a3=a6=a9=…=(n∈N*),所以a7=1,a8=≠2a4,故A正确,B错误;a9==2,所以S10=(a1+a4+a7+a10)+(a2+a5+a8)+(a3+a6+a9)=10+3,故C正确;a2027=a2+3×675=a2=,故D正确.故选ACD. 19.解:(1)因为Sn=,所以a1=S1==1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 当n=1时,a1=1也满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an=n. (2)证明:因为···…·=(n+1)2, 所以当n≥2时,···…·=n2,所以=(n≥2), 当n=1时,可得=22=4,满足=. 所以对任意正整数n,=恒成立. 由(1)得,an=n,所以bn===n++2≥2+2=4,当且仅当n=1时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　数列的递推公式与前n项和 1.数列,,,,…的递推公式可以是(　 ) A.an=(n∈N*) B.an=(n∈N*) C.an+1=an(n∈N*) D.an+1=2an(n∈N*) 2.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1+an,则a5= (　 ) A.9 B.15 C.24 D.39 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a4+a5= (　 ) A.48 B.32 C.16 D.8 4.[2025·浙江温州高二月考] 若数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,则a2025= (　 ) A. B.2 C.3 D.-1 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n≥1),则数列{an}的前5项和S5= (　 ) A.31 B.45 C.57 D.63 6.[2025·天津红桥区高二期末] 在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,则a5=(　 ) A. B. C. D. 7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图①的分形规律可得如图②的一个树形图,记图②中第n行黑圈的个数为an,白圈的个数为bn,若an=144,则bn= (　 ) A.34 B.35 C.88 D.89 8.已知数列{an}中,a1=1,-=n+1,则a3=　　　　.  9.已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2,则an=　　　　　　.  10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三个数起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.关于数列{an},下列结论正确的是 (　 ) A.a7=21 B.2an=an-2+an+2(n≥3) C.a1+a2+a3+…+a2025=a2026-1 D.++…+=a2025a2026 11.(多选题)已知数列{an}的前n项和Sn=,则下列说法正确的是 (　 ) A.a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.数列{an}为递增数列 12.(多选题)在数列{an}中,a1=1,an·an+1=3n,n∈N*,则下列说法正确的是 (　 ) A.a4=9 B.的值为常数 C.a2n-a2n-1=2×3n D.a2n+a2n-1=4×3n-1 13.[2025·江苏南通高二期末] 如图,一点从起点P出发,每次只能向右、向上或向左移动一步,恰好走n(n∈N*)步且不经过已走的路线和点共有f(n)种走法,如f(1)=3,f(2)=7,则f(3)=　　　　　,数列{f(n)}相邻三项的递推关系式为　　　　　　　　　.  14.已知数列{an}满足a1=,an+1=求a2026+a2027的值. 15.知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2+n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=-5an,求数列{bn}中的最小项. 16.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式. 17.(多选题)已知函数f(x)=若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),n∈N*,则下列说法正确的是 (　 ) A.数列{an}是周期数列且周期为3 B.数列{an}不是周期数列 C.a2026+a2027= D.a2026+a2027= 18. .(多选题)在无穷数列{an}中,若ap=aq(p,q∈N*)时,总有ap+1=aq+1,则定义{an}为“阶梯数列”.设{an}为“阶梯数列”,前n项和为Sn,且a1=a4=1,a5=,a8a9=2,则 (　 ) A.a7=1 B.a8=2a4 C.S10=10+3 D.a2027= 19.已知数列{an}的前n项和Sn=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若对任意的正整数n,···…·=(n+1)2恒成立,求证:bn≥4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $