专题4.1 成比例线段及平行线分线段成比例同步精讲精练【课前故事+2大知识点+6大基础题型+7大强化训练+课后练习】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题4.1 成比例线段及平行线分线段成比例同步精讲精练【课前故事+2大知识点+6大基础题型+7大强化训练+课后练习】 花坛里的“神秘配比” （课前故事相关内容建议教师家长采用活动或者故事提问相关形式展开，学生版该部分可删除） 元旦刚过，学校的园艺角就热闹起来——后勤李师傅要给新修的梯形花坛铺石板路，还得在里面画一个超好看的五角星图案。初二（3）班的小明和小红主动来帮忙，可刚动手就犯了难。 “李师傅，这三条石板路是平行的，可花盆该怎么摆才整齐呀？”小明指着花坛边缘的三条平行线发愁。只见花坛的上底和下底分别与三条石板路相交，形成了6个交点，要在每个交点摆一盆月季，可不知道怎么分配间距才好看。 李师傅笑着拿出卷尺，量了量上底的两段线段：“你看，上底被石板路分成的两段，长分别是2米和4米；下底对应的两段，要是按1:2的比例来分，摆出来的花盆就会整整齐齐。”小红赶紧记下：“2:4化简就是1:2，难道平行的线会让线段的比例一样？” 接着轮到画五角星，李师傅让他们先找一根1米长的木条当五角星的一边。“要让五角星看起来协调，得在这根木条上找个点，把它分成两段，长的那段和整根木条的比，要等于短的那段和长的那段的比。”小明量来量去，试了好几次都不对——要么长的太长，要么短的太短，画出来的五角星要么尖尖太突兀，要么显得扁扁的。 “这就是‘黄金比例’呀！”李师傅接过木条，在距离一端约61.8厘米的地方做了个记号，“你看，1米和61.8厘米的比，等于61.8厘米和38.2厘米的比，这样分出来的线段画成五角星，才是最美观的。”小红恍然大悟：“原来好看的图案里藏着特殊的比例呀！” 李师傅又指着平行石板路：“不光是五角星，这三条平行线截出来的线段，不管是上底、下底，还是花坛的腰，对应的比例都相等。你们想想，要是把平行线换成更多条，比例还会保持不变吗？还有刚才的黄金比例，除了画五角星，生活里还有哪些地方会用到呢？” 小明和小红盯着花坛里的线段和木条上的记号，越想越好奇——原来线段的比例里藏着这么多学问，而平行线居然能让这些比例变得有规律！ 思考问题： 为什么三条平行线截出来的线段，会保持固定的比例呢？ 黄金比例的比值是多少？除了五角星，你还能想到哪些用到黄金比例的场景（比如人的身高、建筑设计）？ 如果把花坛的平行线增加到四条，截出来的线段又会有什么规律？ 【题型1 比例的性质】 4 【题型2 比例线段】 6 【题型3 成比例线段】 8 【题型4 黄金分割】 10 【题型5 由平行判断成比例的线段】 13 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 15 【强化训练1 根据比例线段求值】 18 【强化训练2 比例的应用】 20 【强化训练3 “#”字型】 23 【强化训练4 “X”字型】 25 【强化训练5 “A”字型】 27 【强化训练6 “8”字型】 30 【强化训练7 平行线分线段成比例与多边形问题综合】 32 成比例线段及平行线分线段成比例重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 成比例线段 重点内容 1. 定义：如果（或），那就说成比例．两条线段的长度的比叫做两条线段的比． 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项． 2. 性质： 基本性质： 合比性质： 等比性质：=k=k 例题精讲 1.（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 知识点2 平行线分线段成比例 重点内容 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 例题精讲 2．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 【题型1 比例的性质】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 【练习2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，再将整体代入计算即可． 【详解】解：由题意知：． 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若实数x、y、z满足，则k的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得，从而得出，进而得出，即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 比例线段】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（精确到0.01．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可； 【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为， ∴， ∴， 解得：（舍）或， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键． 【练习2】 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了比例尺“比例尺就是图上长度与实际长度的比”，熟练掌握比例尺的定义是解题关键．先求出比例尺，再根据比例尺的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：比例尺为， 则、两地间的实际距离是， 故答案为：480． 【练习3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知点C为线段AB的靠近B点的黄金分割点，其中线段AC＝10，则线段BC的长度为 ． 【答案】-5+5/5-5 【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．即可求解． 【详解】解：设线段BC的长为x，则AB=10+x， 根据黄金分割定义，得 （10+x）x=10²， 解得，x1=-5+5，x2=-5-5（不符合题意，舍去）， 所以BC=-5+5． 故答案为：-5+5． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义． 【题型3 成比例线段】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的比，正确设出线段的长度是关键． 设，则，表示出的长度，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， 故选：A． 【练习2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的应用，根据实际时长和闹钟计的时长成比例列方程即可求解． 【详解】解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 【练习3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键，由矩形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【题型4 黄金分割】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 【练习2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 【题型5 由平行判断成比例的线段】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 【练习2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 【练习3】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例得到，，判断选项AB，再根据四边形为平行四边形，得到，则，判断CD选项． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，故A选项正确，B选项错误； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C，D选项错误； 故选：A． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 【练习2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 【强化训练1 根据比例线段求值】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若，则k的值为（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了比例，解题的关键是掌握比例的性质． 由题设条件可得三个方程，通过联立方程并分情况讨论a + b + c是否为0，得出k的可能值． 【详解】 将三式相加，得： 情况1：若，两边约去，得： 情况2：若，则，代入第一个方程得： 若，则， 同理，代入其他方程可得 此时分母（因），故成立， 综上，的值为或， 故选：D． 自我练习 【练习1】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 【练习2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据题意可设，，代入分式，将分子分母分别因式分解再约分，即可计算求值． 【详解】解：， 设，， 又∵，∴，即， ∴， ， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 【强化训练2 比例的应用】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）小刘坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲乙两地相距30千米 【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键．根据行驶时间列比例，再解比例即可． 【详解】解：设甲、乙两地相距千米， 则， ， ， ， 答：甲、乙两地相距千米． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质改写即可. 【详解】∵ ∴F1L1=F2L2， ∴  . 故选C. 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）. 【练习2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）一间教室要用方砖铺地．用边长是4分米的正方形方砖，需要810块，如果改用边长为3分米的正方形方砖，需要 块砖？ 【答案】1440 【分析】由题意可知：教室的地面面积是一定，则方砖的面积与所需要方砖的块数成反比，据此即可列比例求解． 【详解】解：设需要这样的方砖块， 答：需要这样的方砖块． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是由题意列出方程． 【练习3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 【答案】(1)1500圈/分 (2) 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮同时间齿数转过相同列比例式，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算． （1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可； （2）根据降速率即可解答． 【详解】（1）解：设齿轮的转速为圈/分． 因为，齿轮与齿轮啮合， 所以，的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分） 因为，由于齿轮和齿轮叠接，它们的转速相同，所以齿轮的转速也是5000圈/分． 设齿轮的转速为圈/分．齿轮与齿轮啮合， 的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分）． （2）解：因为齿轮转速为7000圈/分，D转速为1500圈/分， 根据题意得： ． 【强化训练3 “#”字型】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【练习2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 【练习3】（2024·江苏南京·三模）如图所示，若，则．依据是 ． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 【强化训练4 “X”字型】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 【练习2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，若，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【练习3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理可以得出，据此求解即可． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， 根据平行线分线段成比例定理可得：， ， 故答案为：． 【强化训练5 “A”字型】 经典例题 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线分线段成比例， 先根据平移的性质得，再根据平行线分线段成比例求出，此题可解． 【详解】解：∵将沿着边向右平移得到， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴． 故选：A． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 【练习2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【练习3】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，学生能否运用定理进行推理和计算是解题的关键． 求出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【强化训练6 “8”字型】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 【练习2】（25-26九年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，梯形中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的面积，先根据平行线分线段成比例得，再根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【强化训练7 平行线分线段成比例与多边形问题综合】 经典例题 【例1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在中，平分，按如下步骤作图：①分别以点、为圆心， 大于长为半径在两侧作弧，交于两点、；②连接，分别交、于点、；③连接、．若，，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图以及平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．根据已知条件得出，，再根据平行线分线段成比例定理的推论，即可得到的长． 【详解】解：平分， ， 由作图可得，垂直平分， ， ， ， ， ， 又，， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 故选：B． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形的面积与个小平行四边形面积的关系，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中点，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系． 【练习2】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，即当时和当时，分别利用平行线分线段成比例和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：①如图所示，当时， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； ③当时，点与点重合，不符合题意； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 【练习3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形． ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴①符合题意； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的大小为定值， ∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时， 由①知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项不符合题意： ∴正确的结论是①②． 故答案为：①②． 选择题 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 4（24-25九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 5（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例． 根据平行四边形的判定和性质得到，再平行线分线段成比例解答即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知，则一次函数必经过的第 象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据比例的性质求得k值，然后根据一次函数图象与系数的关系作出选择． 【详解】解：由可得： ① ② ③ 由得： ， （1）当时； ∴一次函数的解析式是：， ∴该函数经过第一、二、三象限； （2）当时，，④ 将④代入③，得：； 又∵， ∴， ∴一次函数的解析式是：； 该函数经过第二、三、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二、三象限； 故答案为二、三． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比例的性质即可求解； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：（1）∵， ∴，设， ∴， 故答案为：； （2）∵线段，， 设：它们的比例中项是， ∴， ，（线段是正数，负值舍去）． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 【详解】解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 解析题 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知线段，满足，且． (1)求线段，的长． (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵c是线段，， ∴． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的八边形由十个单位正方形组成，在下面的部分包含一个单位正方形与一个底边为的三角形．若刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解方法，注意将原图形分割求解． 首先设，则，根据题意得到：下面的部分的面积为，解方程即可求得结果． 【详解】解：设，则． 刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分， 下面的部分的面积为， 解得 ， 则， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)该矩形的长为 (2)该矩形的面积为 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【详解】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 15．（湖北省武汉外校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点，点D为边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列四个画图任务，每个任务的辅助线不得超过三条(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)． (1)在图1中，过点B作于点E（任务1）；在上画点F，使得最小（任务2）； (2)在图2中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，画出线段 （任务3）；连接交于点H，将线段绕点H旋转，画对应线段 （任务4）（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【答案】(1)见解析；见解析 (2)见解析；见解析 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，网格的特点是解题的关键． （1）取格点E，连接，则；延长至格点L，使，取格点J，使，交的延长线于点K，连接交于点F，即可； （2）取格点G，使；把线段分别向两边延长至格点Q，P，使，取格点S，R，使，与交于点N，与交于点M，连接，即可． 【详解】（1）解：点E，F即为所求； 理由：设交于点W， ∵，，， ∴，， 即， ∴， ∴； （2）解：如图，和即为所求． 理由：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 成比例线段及平行线分线段成比例同步精讲精练【课前故事+2大知识点+6大基础题型+7大强化训练+课后练习】 花坛里的“神秘配比” 元旦刚过，学校的园艺角就热闹起来——后勤李师傅要给新修的梯形花坛铺石板路，还得在里面画一个超好看的五角星图案。初二（3）班的小明和小红主动来帮忙，可刚动手就犯了难。 “李师傅，这三条石板路是平行的，可花盆该怎么摆才整齐呀？”小明指着花坛边缘的三条平行线发愁。只见花坛的上底和下底分别与三条石板路相交，形成了6个交点，要在每个交点摆一盆月季，可不知道怎么分配间距才好看。 李师傅笑着拿出卷尺，量了量上底的两段线段：“你看，上底被石板路分成的两段，长分别是2米和4米；下底对应的两段，要是按1:2的比例来分，摆出来的花盆就会整整齐齐。”小红赶紧记下：“2:4化简就是1:2，难道平行的线会让线段的比例一样？” 接着轮到画五角星，李师傅让他们先找一根1米长的木条当五角星的一边。“要让五角星看起来协调，得在这根木条上找个点，把它分成两段，长的那段和整根木条的比，要等于短的那段和长的那段的比。”小明量来量去，试了好几次都不对——要么长的太长，要么短的太短，画出来的五角星要么尖尖太突兀，要么显得扁扁的。 “这就是‘黄金比例’呀！”李师傅接过木条，在距离一端约61.8厘米的地方做了个记号，“你看，1米和61.8厘米的比，等于61.8厘米和38.2厘米的比，这样分出来的线段画成五角星，才是最美观的。”小红恍然大悟：“原来好看的图案里藏着特殊的比例呀！” 李师傅又指着平行石板路：“不光是五角星，这三条平行线截出来的线段，不管是上底、下底，还是花坛的腰，对应的比例都相等。你们想想，要是把平行线换成更多条，比例还会保持不变吗？还有刚才的黄金比例，除了画五角星，生活里还有哪些地方会用到呢？” 小明和小红盯着花坛里的线段和木条上的记号，越想越好奇——原来线段的比例里藏着这么多学问，而平行线居然能让这些比例变得有规律！ 思考问题： 为什么三条平行线截出来的线段，会保持固定的比例呢？ 黄金比例的比值是多少？除了五角星，你还能想到哪些用到黄金比例的场景（比如人的身高、建筑设计）？ 如果把花坛的平行线增加到四条，截出来的线段又会有什么规律？ 【题型1 比例的性质】 4 【题型2 比例线段】 4 【题型3 成比例线段】 5 【题型4 黄金分割】 6 【题型5 由平行判断成比例的线段】 7 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 8 【强化训练1 根据比例线段求值】 9 【强化训练2 比例的应用】 9 【强化训练3 “#”字型】 10 【强化训练4 “X”字型】 11 【强化训练5 “A”字型】 12 【强化训练6 “8”字型】 13 【强化训练7 平行线分线段成比例与多边形问题综合】 14 成比例线段及平行线分线段成比例重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 成比例线段 重点内容 1. 定义：如果（或），那就说成比例．两条线段的长度的比叫做两条线段的比． 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项． 2. 性质： 基本性质： 合比性质： 等比性质：=k=k 例题精讲 1.（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 知识点2 平行线分线段成比例 重点内容 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 例题精讲 2．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 【题型1 比例的性质】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【练习3】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若实数x、y、z满足，则k的值为 ． 【题型2 比例线段】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（精确到0.01．参考数据：，，） A． B． C． D． 【练习2】 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 【练习3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知点C为线段AB的靠近B点的黄金分割点，其中线段AC＝10，则线段BC的长度为 ． 【题型3 成比例线段】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 【练习3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为 ． 【题型4 黄金分割】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 【练习3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【题型5 由平行判断成比例的线段】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【练习3】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【练习2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，若，则 ． 【练习3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 【强化训练1 根据比例线段求值】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若，则k的值为（    ） A． B．1 C． D．或 自我练习 【练习1】（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【练习2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若，且，那么 ． 【练习3】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 【强化训练2 比例的应用】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）小刘坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是(    ) A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）一间教室要用方砖铺地．用边长是4分米的正方形方砖，需要810块，如果改用边长为3分米的正方形方砖，需要 块砖？ 【练习3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 【强化训练3 “#”字型】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【练习3】（2024·江苏南京·三模）如图所示，若，则．依据是 ． 【强化训练4 “X”字型】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，若，如果，那么 ． 【练习3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 【强化训练5 “A”字型】 经典例题 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【练习3】（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，，则 ． 【强化训练6 “8”字型】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，梯形中，，，，则 ． 【强化训练7 平行线分线段成比例与多边形问题综合】 经典例题 【例1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在中，平分，按如下步骤作图：①分别以点、为圆心， 大于长为半径在两侧作弧，交于两点、；②连接，分别交、于点、；③连接、．若，，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．3 C． D．2 【练习2】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【练习3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有 ． 选择题 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4（24-25九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 5（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知，则一次函数必经过的第 象限． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 9．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 解析题 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知线段，满足，且． (1)求线段，的长． (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的八边形由十个单位正方形组成，在下面的部分包含一个单位正方形与一个底边为的三角形．若刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分，求的值． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 15．（湖北省武汉外校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点，点D为边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列四个画图任务，每个任务的辅助线不得超过三条(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)． (1)在图1中，过点B作于点E（任务1）；在上画点F，使得最小（任务2）； (2)在图2中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，画出线段 （任务3）；连接交于点H，将线段绕点H旋转，画对应线段 （任务4）（点A与点M对应，点B与点N对应）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $