第二章 一元二次方程应用题分类训练（期中专题训练）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

· 第二章 一元二次方程应用题分类训练 · 目录概览 题型1 增长率问题 题型2 销售问题 题型3 图形问题 题型4 行程问题 题型5 动态几何问题 题型演练 题型1 增长率问题 1．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的关系式，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴当，即时，W取得最大值． 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元． 2．某农户年种植核桃亩，他逐年扩大规模，到年，核桃种植面积达到了亩． (1)求该农户这两年种植核桃面积亩数的年平均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为元时，每天能售出，售价每降低元，每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为元，若要使该店销售核桃每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设该农户这两年种植核桃面积亩数的年平均增长率为，根据年平均增长率的等量关系，列出方程，解方程并检验即可； （2）设售价应降低元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为列出方程求解，最后结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该农户这两年种植核桃面积亩数的年平均增长率为， 由题意，得：， 解得，（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃面积亩数的年平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：售价应降低元． 3．成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为． （2）解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 4．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 5．我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； (2)该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 【答案】(1)游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 (2)为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的日平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每件漆器应降价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为； （2）设每件漆器应降价元，根据题意得 ， 解得（舍），， 答：为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元． 题型2 销售问题 6．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出_____盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？请说明理由． 【答案】(1) (2)164元或168元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）设售价每盒下降元，根据题意列出方程求解即可； （3）设售价每盒下降元，根据题意列出方程，验证方程是否有解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每天能售出盒， 故答案为：； （2）解：结合（1）得，设售价每盒下降元，根据题意得， ， 解得或， ∴售价为（元）或（元）； （3）解：不能，理由如下： 根据题意得， 当时， 整理得， ∵， ∴该方程无解， ∴所获得的利润不能达到3400元． 7．让人心潮澎湃，期待已久的西安滨河学校第十四届校园文化艺术节即将开幕．在商贸集市上，含有“铁一”元素的文创产品尤为畅销，已知“铁一熊”的进价为每只20元，当售价为30元时，平均每次可售出60只，经过调查，该“铁一熊”售价每降低1元，平均每次可多售出15只．设每只“铁一熊”降价元． (1)每只“铁一熊”的利润为______元，每次售出“铁一熊”的数量为_____只，每次可获得的总利润为_____元；（用含的式子表示） (2)若要使每次的利润为720元，且最大可能的让利顾客，则每只“铁一熊”的售价应定为多少元？ 【答案】(1)；； (2)每只“铁一熊”的售价应定为26元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意寻找等量关系是解题的关键； （1）设每只“铁一熊”降价元，根据题意完成填空即可； （2）根据题意列方程，解方程，再结合题中要求确定的值即可． 【详解】（1）设每只“铁一熊”降价元，则每只“铁一熊”的利润为元， 每次售出“铁一熊”的数量为只，每次可获得的总利润为元； 故答案为：；；． （2）由题知，， 整理得，， 解得，， 又要最大可能的让利顾客， ，， 答：每只“铁一熊”的售价应定为26元． 8．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)商场对商品平均每次降价的百分率为． (2)这天商场对A商品在每件150元的基础上降价20元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． 答：这天商场对A商品在每件150元的基础上降价20元． 9．沈阳鸡架以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． (1)求该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率； (2)该电商市场调查发现，当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商沈阳鸡架的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则每箱售价应为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】（1）解：设该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率， ∵某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． ∴  ， 解得： 或（舍去）， ∴   答：该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率为； （2）解：设售价应降低元，则每天可售出箱， ∵当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱． ∴， 整理，得 ：， 解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴，（元）， 答：售价应为元． 10．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1)从假期第一天到第三天的平均日增长率为 (2)①；②每把扇子应降价6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 题型3 图形问题 11．如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． (1)当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ (2)能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 【答案】(1)当时，矩形试验田的面积为 (2)矩形试验田的面积不能为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意，设，则，由面积公式列方程，解一元二次方程即可； （2）根据面积公式列方程，由一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，矩形试验田的面积为； （2）解：根据题意，，整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴矩形试验田的面积不能为． 12．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 13．用厘米长的铅丝，弯折成一个长方形的模型.设长方形的面积为平方厘米，长方形的长为厘米． (1)用的式子表示；并求当平方厘米时的值； (2)的值会不会为平方厘米？ 【答案】(1)，厘米； (2)不会． 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式． （1）先求出长方形的宽，再根据长方形的面积公式列出关系式为，当时，可得方程，解一元二次方程即可； （2）当时，可得方程，根据一元二次方程的根的判别式可得：，所以一元二次方程无解，即的值不会为平方厘米． 【详解】（1）解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 根据题意可得：， 当平方厘米时， 可得：， 整理得：， 解得：， 即当平方厘米时的值为厘米； （2）解：当平方厘米时， 可得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 即的值不会为平方厘米． 14．如图，李叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，或，， (2)能，为米，长为米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （）设矩形的边为，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）同（）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边为，则边． 根据题意，得， 化简得， 解得，， 当时，（米）； 当时，（米）． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）能，理由如下： 设矩形的边为，则边． 由题意，得， 化简，得， ∵， ∴一元二次方程有唯一解， 根据求根公式， 此时， ∴羊圈的面积能达到，设计方案为为米，长为米． 15．如图，计划在空地上设计4块并排的正方形基地做展厅展示产品，基地总面积为． (1)每块正方形基地的边长为_______m； (2)计划在展厅的东边围一个面积为的长方形基地，做临时展陈区，临时展陈区一边靠在正方形的边上（计划与展厅共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为．若可以围成，请通过计算设计出方案；若不能围成，请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)长为米，宽为米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设每块正方形基地的边长为，根据正方形的面积等于边长的平方列出方程，求解即可； （2）设长方形临时展陈区得长为米，宽为米，由临时展陈区一边靠在正方形边上，分两种情况，分别建立方程，求解即可． 【详解】（1）设每块正方形基地的边长为，根据题意， 得， 解得：，（舍去）， 故答案为：20． （2）设长方形临时展陈区的长为米，宽为米， 因为临时展陈区一边靠在正方形边上，分两种情况： 当长靠墙时，所需材料长度为， 由题知 即， 解得：（负值舍去）， 此时长米，而正方形边长为20米，， 不符合共用部分不超过正方形边长的条件． 当宽靠墙时，所需材料长度为， 由题知， 即， 解得：（负值舍去）， 此时宽米，，符合条件． 所以可以围成，此时长为米，宽为米． 题型4 行程问题 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 17．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 18．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 19．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 20．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 题型5 动态几何问题 21．如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1) ___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)当的面积等于的面积的时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解题的关键是表示出线段的长． （1）根据三角形的边长和点的移动速度表示出两条线段的长即可； （2）利用勾股定理表示出线段的长即可求得t值； （3）先根据三角形的面积公式直接列出函数关系式，根据三角形的面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴时，t的值为； （3）解：根据题意得，， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得：或． 答：当的面积等于的面积的时，t的值为或． 22．如图，在矩形中，，，动点从点开始沿边向终点以的速度运动，同时，动点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)用含的代数式表示：_______，_______ ； (2)当为何值时，的长度等于? 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，勾股定理的应用，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据、两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得，即， 解得（舍去），， 当时，． 23．如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意时解题的关键． （1）由矩形的性质可得，根据题意可得，则，当是等腰三角形时，，建立方程求解即可； （2）由题意得当F为边的中点时，，则，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，由（1）知，，则，利用勾股定理得到，当点D在线段的垂直平分线上时，，建立方程求解即可； （4）由（3）知知，，，，，根据的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积，结合的面积是矩形面积的，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 根据题意可得，则， 当是等腰三角形时，则， ∴， 解得； （2）解：由题意得当F为边的中点时，， 则，解得，, ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，， 在矩形中，，， 由（1）知，，则， ∵， 当点D在线段的垂直平分线上时，，即， ∴，即， 解得或（舍去）； （4）解：存在，， 由（3）知，，，，， ∵的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴，即， 解得． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当_____时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻，使得 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）当四边形是矩形时，，据此建立方程可求得的值； （2）当四边形是菱形时，，据此建立方程可求得的值； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴；   由题意得， 则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 解得 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 同理可得； 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： 如图， 过点作于点，    由矩形可知，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，由运动可知， ， ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得， 即方程有解， 方程整理得， ∴， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 25．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)不存在t的值，使得五边形的面积等于，理由见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）由题意可知，则，进而可以解决问题； （2）在中，由勾股定理得出方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据五边形的面积等于，列出一元二次方程，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（舍去），． ∴当时，； （3）解：不存在t的值，使得五边形的面积等于．理由如下： 矩形的面积， ∵五边形的面积等于， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴不存在t的值，使得五边形的面积等于． 试卷第20页，共26页 试卷第19页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 第二章 一元二次方程应用题分类训练 目录概览 题型1 增长率问题 题型2 销售问题 题型3 图形问题 题型4 行程问题 题型5 动态几何问题 题型演练 题型1 增长率问题 1．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 2．某农户年种植核桃亩，他逐年扩大规模，到年，核桃种植面积达到了亩． (1)求该农户这两年种植核桃面积亩数的年平均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为元时，每天能售出，售价每降低元，每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为元，若要使该店销售核桃每天获利元，则售价应降低多少元？ 3．成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 4．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 5．我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； (2)该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 题型2 销售问题 6．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出_____盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？请说明理由． 7．让人心潮澎湃，期待已久的西安滨河学校第十四届校园文化艺术节即将开幕．在商贸集市上，含有“铁一”元素的文创产品尤为畅销，已知“铁一熊”的进价为每只20元，当售价为30元时，平均每次可售出60只，经过调查，该“铁一熊”售价每降低1元，平均每次可多售出15只．设每只“铁一熊”降价元． (1)每只“铁一熊”的利润为______元，每次售出“铁一熊”的数量为_____只，每次可获得的总利润为_____元；（用含的式子表示） (2)若要使每次的利润为720元，且最大可能的让利顾客，则每只“铁一熊”的售价应定为多少元？ 8．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 9．沈阳鸡架以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． (1)求该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率； (2)该电商市场调查发现，当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商沈阳鸡架的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则每箱售价应为多少元？ 10．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 题型3 图形问题 11．如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． (1)当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ (2)能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 12．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 13．用厘米长的铅丝，弯折成一个长方形的模型.设长方形的面积为平方厘米，长方形的长为厘米． (1)用的式子表示；并求当平方厘米时的值； (2)的值会不会为平方厘米？ 14．如图，李叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 15．如图，计划在空地上设计4块并排的正方形基地做展厅展示产品，基地总面积为． (1)每块正方形基地的边长为_______m； (2)计划在展厅的东边围一个面积为的长方形基地，做临时展陈区，临时展陈区一边靠在正方形的边上（计划与展厅共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为．若可以围成，请通过计算设计出方案；若不能围成，请通过计算说明理由． 题型4 行程问题 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 17．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 18．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 19．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 20．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 题型5 动态几何问题 21．如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1) ___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)当的面积等于的面积的时，求的值． 22．如图，在矩形中，，，动点从点开始沿边向终点以的速度运动，同时，动点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)用含的代数式表示：_______，_______ ； (2)当为何值时，的长度等于? 23．如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 24．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． (1)当_____时，四边形是矩形； (2)当_____时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 25．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第2页，共12页 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $