第一章 特殊平行四边形中最值与新定义型问题训练（期中专题训练）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

· 第一章特殊平行四边形中最值与新定义型问题训练 · 目录概览 题型1 菱形相关证明 题型2 矩形相关证明 题型3 正方形相关证明 题型4直角三角形斜边上的中线相关基础证明 题型5添加条件后证明 题型6 动点问题证明题 · 题型演练 题型1 菱形相关证明 1．在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称最短路线问题；菱形的性质，勾股定理，，熟知两点之间线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，作点和关于对称．则连接交于点，即为所求作的点．的最小值即为的长． 【详解】解：作点和关于对称．则连接交于点， 四边形是菱形，，为中点， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 2．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，． 的长度固定， 要使的周长最小，只需要的长度最小即可． 四边形是菱形， 与互相垂直平分， ， 的最小长度为的长，此时点P与点重合． 菱形的周长为8，为的中点，， ，， 是等边三角形， ，，， ∴， 的最小周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键． 3．如图，在菱形中，＝，＝，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，， 如图，以为对角线的所有平行四边形中，当时，最小， 即是直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质，解题的关键是得出当时，最小，再根据菱形的性质和含的直角三角形的性质解答． 4．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P是BC上的一点，且CP＝4，点Q是AD上的一点，沿PQ翻折四边形ABPQ，点B的对应点为B′，当AQ＝ 时，DB′的长最小． 【答案】6﹣2 【分析】由折叠可知点B'在以P为圆心，以BP长为半径的弧上，故当D、P、B'在一条直线上时，DB'有最小值，过点D作DH⊥AB，先求得DH、PH的长，则依据勾股定理可得到DP的长，再由折叠的性质可得DQ的长，即可得出结果. 【详解】解：由折叠可知点B'在以P为圆心，以BP长为半径的弧上，故当D、P、B'在一条直线上时，DB'有最小值， 过点D作DH⊥BC于点H，如图所示： ∵菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°， ∴AD∥BC，CD＝6，∠C＝60°，且DH⊥BC， ∴∠CDH＝30°， ∴CH＝CD＝×6＝3，DH＝， ∵CP＝4， ∴HP＝1 在Rt△DHP中，DP＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠DQP＝∠BPQ， ∵将四边形ABPQ沿直线PQ折叠，B的对应点为B′， ∴∠BPQ＝∠DPQ， ∴∠DQP＝∠DPQ， ∴DQ＝DP＝2， ∴AQ＝6﹣2， 故答案为：6﹣2. 【点睛】此题考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半. 5．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116 (2) (3)75； 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，构造得到是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出和关于对称，便可得出两个三角形的面积关系；根据三角形外角的性质得到，进而得到，然后由通过等量代换即可解答． （2）先通过勾股定理求出的长，连接，对称性得到，设设，则：，在中，由勾股定理求出的长度，进而求出，再根据对称性得出，即可解答． （3）通过构造得到，再由B、E、G三点共线时确定最小时点E的位置，然后由为等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴和关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接， 由对称性可知：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知，． ∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当最小时，． 故答案为：75；． 题型2 矩形相关证明 6．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则 ，若为上一动点，为的中点，连接，最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，则，，然后通过勾股定理即可求出的长，取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，当时，有最小值，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 如图，取中点，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴点在上， 当时，此时点与重合，有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：，． 7．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 8．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 9．如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，涉及平行四边形判定与性质，最短路径等问题，解题的关键是作辅助线，把的长转化为的长． 过E作交于G，连接，可知四边形是平行四边形，故，，根据勾股定理求出，而，知最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，即可得的最小值为5． 【详解】解：过E作交于G，连接，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，如图： ∴的最小值为5； 故答案为：5． 10．如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． (1)直接写出点E，F的坐标； (2)在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据，，点E是的中点，利用矩形的性质即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得，，即可得到点F的坐标； （2）用平面坐标系中两点间的距离公式即可得出线段，再分三种情况用边相等建立方程求解即可得出结论； （3）E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小，求出线段的长度，进而可得四边形的周长的最小值． 【详解】（1）解：∵，，四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知，，， 设， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， ∴或（舍）， ∴； ③当时，， ∴或（舍）， ∴， 综上所述：满足条件的点P的坐标为或或； （3）解：存在点M，N，使得四边形的周长最小． 如图2， 作点E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小， ∴，， 设直线的解析式为， 有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴M点的坐标为， 当时，， ∴N点的坐标为， ∵E与关于x轴对称，F与关于y轴对称， ∴，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即四边形的周长最小值是． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题． 题型3 正方形相关证明 11．如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为9， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为3． 故答案为：3． 12．如图，四边形中，，，，点在边上，点在边上，，作于点，连接，则的最小长度为 ． 【答案】 【分析】过C作，交延长线于点M，连接，交于点O，则四边形是正方形，易证，则有，由正方形性质得的长，从而得的长；取中点N，连接，过N作于G，则由勾股定理求得；由直角三角形斜边上中线的性质得，由三角形三边关系得，当C、H、N三点共线时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过C作，交延长线于点M，连接，交于点O， ，， 四边形是正方形， ， ， ； ， ， ； 由勾股定理得， ； 取中点N，连接，过N作于G， 则； ， ， ， ， 则由勾股定理得； ，中点为N， ， 由三角形三边关系得， 故当C、H、N三点共线时，最小，最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是关键． 13．如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 【答案】2 【分析】在上截取，使得，连接，交于点T， 得到，继而得到点F是点N关于直线的对称点，利用三角形不等式，垂线段最短原理，正方形的判定和性质证明即可． 【详解】在上截取，使得， ∵矩形中，的平分线交边于点E， ∴，， 连接，交于点T， ∴， ∴点F是点N关于直线的对称点， ∴， 连接， 则， 根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小， ∵矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证，四边形是正方形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，垂线段最短，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握三角形不等式，垂线段最短，正方形的判定和性质是解题的关键． 14．如图，正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，当 时，线段的长度最小．    【答案】 【分析】如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，可证，得，，当时，的值最小，可知是等边三角形，，在在中，可求的长，从而求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，    ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中， ， ， ∴，， 当时，的值最小， ∵点绕点逆时针旋转，， ∴是等边三角形，则，，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形，点到直线的垂线段最短的综合，掌握正方形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 15．如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为 (3)的最小值为 【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，再结合等角的余角相等，即可证明结论成立； （2）设，则，延长至，使，连接，，证明，推出，，再证明，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）连接，，先证明，得到，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点E是的中点， ∴， 设，则， 延长至，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为； （3）解：连接，， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断． 题型4直角三角形斜边上的中线相关基础证明 16．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意点运动轨迹的长度为菱形的边长加上一个圆的周长， 依题意， 点运动轨迹的长度为， 故答案为：． 18．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ． 【答案】 【分析】由题意可证是等边三角形，可求菱形的面积，可证四边形是平行四边形，可得的面积，，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的面积， 是对边中位线， ，， ， 且， 四边形是平行四边形， 的面积，， 是邻边中位线， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键． 19．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为 ． 【答案】2+4或+2． 【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长． 【详解】解：如图1所示：从顶点A（或C）剪开纸片，四边形ABCE是平行四边形， 根据题意可知： ∵BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90° ∴△ABD≌△CBD（SAS） ∴∠ABD＝∠CBD＝75°， ∵四边形ABCE是面积为4的平行四边形，AB＝CB ∴▱ABCE是菱形， ∴△BCE的面积为2，CB＝CE＝AB， ∴∠BCE＝30°， 作BG⊥CE于点G， ∴BC＝2BG， ∴CE＝2BG， ∴S△BCE＝CE•BG=2 ∴BG2＝2， ∴BG＝，CE＝2， ∴CG＝BG＝， ∴CF＝CG+GF＝CG+AB＝CG+CE＝+2． ∵∠ADC＝30°，∠CFD＝90° ∴CD＝2CF＝2+4． 如图2，从顶点B剪开纸片，当四边形BEDF是平行四边形时， ∵BE=BF， ∴平行四边形BEDF是菱形， ∵∠A=∠C=90°，∠B=150°， ∴∠ADB=∠BDC=15°， ∵BE=DE， ∴∠AEB=30°， ∴设AB=y，则BE=2y，AE= y， ∴DE=2y， ∵四边形BEDF面积为4， ∴AB×DE=4， 即2y2=4， 解得：y=， 故AE=，DE=2， 则CD=AD=+2， 综上所述：CD的值为：2+4或+2． 故答案为2+4或+2． 【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质、菱形的性质和判定等知识，根据题意画出正确图形是解题关键． 20．阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定与性质，解本题的关键是理解“鹞形”的定义． 题型5添加条件后证明 21．新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离． 根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 即， 解得：， ∵点E是边上的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 22．定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的的钝角三角形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形中，，，E为对角线的中点，F是射线上一动点．若是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由题意四边形是矩形可得，从而求得，由是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，可分或两种情况来讨论，分别过点F作于点G，在上取点H，连接，使，连接，再通过三角形内角和证明求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 为对角线的中点， ， 是“半钝三角形”，且不是其最小的内角， 最小的内角度数为，故分或两种情况来讨论； 当时，如图（1），过点F作于点G，在上取点H，连接，使，则，， ， ， 设，则， ，解得：，即 ； 当时，如图（2），连接，则， ，， ， ； 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 【答案】4或16 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 24．定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”．已知在“等腰四边形”中，，且为“界线”，则的度数为 【答案】60°或90°或150° 【分析】根据题意，分三种情况：①如图1，当AD=AC时，②如图2，当AD=CD时，③如图3，当AC=CD时，分别求出的度数，即可． 【详解】∵在“等腰四边形”中，，且为“界线”， ①如图1，当AD=AC时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC， ∴△ABC是正三角形， ∴=∠BAC=∠BCA=60°； ②如图2，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD， ∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴=90°； ③如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD，CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE， ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴BF=AE， ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°，∠CBF=60°， ∴=60°+90°=150°． 综上所述：的度数为60°或90°或150°． 故答案是：60°或90°或150°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质与四边形的综合，掌握等腰三角形“三线合一”以及直角三角形的性质定理，是解题的关键． 25．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)的长为或 【分析】本题主要考查新定义下的三角形知识，涉及勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程是解题的关键． （1）按照定义求解作答即可； （2）设三角形的三边长从小到大为，由勾股定理得，由是“悦动三角形”，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意得，，设，则，由是“悦动三角形”，可知分，，三种情况列方程，求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵，和， ∴， 则是“悦动三角形”， 故答案为：是； （2）解：设三角形的三边长从小到大为， ∴， ∵是“悦动三角形”， ∴分，两种情况求解； 则，解得， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵中，，点D为的中点， ∴， 设，则， ∵是“悦动三角形”， ∴分，，三种情况求解； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 同理； 综上所述，的长为或． 题型6 动点问题证明题 26．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为： 且； 故答案为：且． 27．喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B，得到，从而得到，根据题意，得，继而得到，过点P作于点G，继而得到，过点B作交于点Q，过点A作于点D，解直角三角形计算即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， 过点P作于点G，过点B作交于点Q， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点D，    ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 28．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是 ； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答． 【详解】解：如图①，延长交于点H， ∵四边形与四边形都为正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接 ∴ ∴． ∴ ∴, ∴． 延长交于点H，分别取的中点E，F．连接， 则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 30．综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】(1)1.5 (2)2或3 (3)见详解 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． （3）如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 试卷第38页，共46页 试卷第37页，共46页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 第一章特殊平行四边形中最值与新定义型问题训练 · 目录概览 · 题型1 菱形中的最值问 · 题型2 矩形中的最值问题 · 题型3 正方形中最值问题 · 题型4菱形中的新定义型问题 · 题型5矩形中的新定义型问题 · 题型6 正方形中新定义型问题 · 题型演练 题型1 菱形中的最值问 1．在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为 ． 2．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，＝，＝，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ． 4．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P是BC上的一点，且CP＝4，点Q是AD上的一点，沿PQ翻折四边形ABPQ，点B的对应点为B′，当AQ＝ 时，DB′的长最小． 5．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 题型2 矩形中的最值问题 6．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则 ，若为上一动点，为的中点，连接，最小为 ． 7．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    8．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 9．如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为 ． 10．如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． (1)直接写出点E，F的坐标； (2)在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 题型3 正方形中最值问题 11．如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ． 12．如图，四边形中，，，，点在边上，点在边上，，作于点，连接，则的最小长度为 ． 13．如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 14．如图，正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，当 时，线段的长度最小．    15．如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 题型4菱形中的新定义型问题 16．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 17．定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为 18．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ． 19．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为 ． 20．阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 题型5矩形中的新定义型问题 21．新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为 ． 22．定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的的钝角三角形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形中，，，E为对角线的中点，F是射线上一动点．若是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，则的长为 ． 23．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 24．定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”．已知在“等腰四边形”中，，且为“界线”，则的度数为 25．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 题型6 正方形中新定义型问题 26．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 27．喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ． 28．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是 ； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为 ． 30．综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 第4页，共9页 第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $