第一章 特殊平行四边形证明题分类训练（期中专题训练）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形证明题分类训练 目录概览 题型1 菱形相关证明 题型2 矩形相关证明 题型3 正方形相关证明 题型4直角三角形斜边上的中线相关基础证明 题型5添加条件后证明 题型6 动点问题证明题 题型演练 题型1 菱形相关证明 1．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得，，再由，，得到，由此即可证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， ，， 在与中， 2．如图，已知是菱形的对角线，点E、F分别在、的延长线上，且点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再由中位线可得，由此即可证明结论； （2）连接交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，再在中利用勾股定理即可求解． 本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵点A、B分别是、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； （2）如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 3．如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【详解】（1）证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，点O在上，过点O作分别交，于点E和点F，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长是36，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式的运用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出四边形是菱形； （2）首先根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理得到，然后结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵菱形的周长是36， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中．，对角线与相交于点平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作交的延长线于点：若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等边对等角，勾股定理知识的综合，掌握菱形的判定和性质是解题的关键. (1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，由此即可求解； (2）根据菱形的性质可得，继而得到，再利用勾股定理求边长即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ，则． 平分， ， ，则， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，， ． ， ， ， ． 6．如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴． （2）如图，连接，，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【详解】（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键． 8．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得的长，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：∵在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：四边形为菱形， ∴四边形的面积为． 题型2 矩形相关证明 9．如图，在矩形中，点E是边的中点，点F在上，连接交对角线于点M，将沿直线折叠，点C恰好与点M重合． (1)求证：是等腰三角形； (2)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由折叠的性质和矩形的性质求得，推出，即可得到是等腰三角形； （2）设，求得，，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设， 由（1）得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 10．如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，则________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由直角三角形的性质得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）由三角形内角和定理得，又由（）可得，得到，，即得到，，进而可得，再根据平角的定义即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵分别是边上的高， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 又∵为中点， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）可得，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，过点E作于点F，点G在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即O为的中点， ∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于M， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、30度角所对直角边等于斜边一半以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)四边形是矩形，理由见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，解决本题的关键是得到是的中点． （1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）根据翻折的性质和矩形性质证明，，所以，得F是的中点，证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点是的中点， ， 沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ， ，则是等腰三角形， ， ，即， ， 的度数为． （2）四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， 由翻折可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 13．如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，萎形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． ()先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是萎形，证明即可； ()首先，根据萎形的性质，萎形的四条边相等，可得；又因菱形对角线互相平分，所以 ，依据矩形的性质，矩形的对角线相等，从而推出，最后，在中，利用勾股定理计算出 的长度． 【详解】（1）证明：，， ，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ． 14．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）∵平分 ∴矩形的面积是： 15．已知：如图，在四边形中，，点E是的中点，点F是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据等腰三角形的性质得出即可； （2）根据得出，，在四边形中，根据，求出，即可得出答案； 【详解】（1）证明：∵，点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 16．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质证明即可； （2）先求出， 判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得到，再求出是等腰直角三角形，求出， 然后利用“边角边”证明即可； （3）过点作于点，设， 则，根据等腰直角三角形的性质得到，然后表示和，再求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示. ， ∴设， 则， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 题型3 正方形相关证明 17．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 18．如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得； （2）参考（1）的方法，先求出，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 19．如图，在正方形中，E为边上一点，F为边上一点，满足，连接． (1)尺规作图：作，交的延长线于点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角，正确证明三角形全等是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角求作即可； （2）根据证明可得出，证明，再根据证明，可得，从而可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）证明：由（1）可知：； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知正方形，点在边上，点在的延长线上，连接，且． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用即可证明； （2）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，，即， 解得（负值已舍）， ∴的长为． 21．如图，在正方形中，点，分别在边和上，． (1)求证：； (2)交于点，延长至点，使．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）由正方形的性质得到，，再利用即可证明； （2）可证明，得到点在的垂直平分线上，由全等三角形的性质得到，则可证明垂直平分，进而得到，则可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2）证明四边形是正方形， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 由（1）可知， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 22．如图，点是中边上的中点，，，垂足分别为，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，判断四边形的形状并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（）证明，可得，进而即可求证； （）先证明四边形是矩形，再由全等三角形的性质得，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵点是中边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：四边形是正方形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 23．如图，E是正方形的边上一点，过点A作交的延长线于点，连接． (1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度； (2)若，，求的长． 【答案】(1)90； (2)． 【分析】（1）根据旋转的性质和正方形性质可得旋转角为 与 的夹角； （2）先根据条件证明，得到，再根据勾股定理求出的值，最后再次运用勾股定理即可． 【详解】（1）解：在正方形中，， 由于 由顺时针旋转得到，对应边 旋转后与 重合， 因此旋转角为 与 的夹角，即 ． 故答案为：90； （2）四边形是正方形， ， ， ， 即， ， , ， 在中， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 24．如图，在正方形中，连接，点P是边上的点（不与端点重合），连接，点为的中点，过点P作于点E，连接，，． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）连接，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再求出，利用勾股定理可得，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型4直角三角形斜边上的中线相关基础证明 25．如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再根据矩形性质和平行线性质即可证明结论； （2）由勾股定理求的长，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点， ，，， ， ； （2）解：， ， 四边形是矩形， ，， ， 又点O是的中点， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26．如图，、是的两条高，是边的中点，连接、、． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的度数 （用含的代数式表达） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，三角内角和定理的应用，关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半． （1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得结论； （2）根据可得，利用等边对等角得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是的两条高， ∴和是直角三角形， 又∵P为的中点， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵P为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． (1)求证：． (2)连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． （1）连接，，由，得，由D是的中点，得，则，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， 理由：， ， ， ， ， ． 28．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和的长，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴，即， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 29．如图中，，点、分别是、的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：，得证； （2）由三角形中位线定理和勾股定理求得边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形为平行四边形． 又 ∵中，，点是的中点， ， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵点分别是的中点，， ∴是的中位线，， ， 又 ∵， ， ∵平行四边形是菱形， ． 【点睛】该题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等． 30．如图，矩形中，点E为边延长线上一点，若，连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)39 【分析】（1）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一性质，利用等量代换思想证明即可． （2）如图2，连接，利用勾股定理求出，，，由全等三角形的性质得到，则四边形的面积为：，代数期间即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 矩形， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵ 矩形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， 则四边形的面积为：． 31．如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析； (3)10 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质． （1）证明即可得到； （2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形； （3）连接，证明四边形是平行四边形，则，再由菱形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵E是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：四边形是菱形， 理由如下：∵D是的中点 ， ∴ ∵由（1）得    ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边上的中线， ∴ ∴四边形是菱形； （3）解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵由（2）得四边形是菱形 ∴． 32．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质． （1）证明，，可得，进一步可得结论． （2）求解，过点 E 作于点H．由（1）得 ，，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又 E 为的中点， ∴，， ∴， 即是等腰三角形． （2）解：∵ ，E 为 的中点， ∴， 在 中，，， 由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． 过点 E 作于点H． 由（1）得 ， ∴． ∵ ∴ 在 中，由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． ∴ ． 题型5添加条件后证明 33．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)添加，可使四边形是菱形（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）添加，可使四边形是菱形，理由：先根据平行线的判定与性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：添加，可使四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 34．如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）选择①，可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，选择②可以根据一边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出，进而求出四边形的周长． 【详解】（1）选①作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 选②作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵，分 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∴， 在中，，由勾股定理得： ∴四边形的周长为： 35．如图，四边形是平行四边形，延长至，使，连接． (1)求证：． (2)添加一个适当条件，使四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加条件（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定；熟练运用矩形判定方法是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，再得出，结合已知条件，由即可判定； （2）由现有条件可证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法，添加条件（答案不唯一）即可证明是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， （2）解：添加条件（答案不唯一）． 理由：四边形是平行四边形， ，又， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 36．已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析. 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，再结合平行四边形对角线互相平分即可得出结论； （2）由，即可得出四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ， 在和中， ， ∴， ． 又∵在平行四边形中，， ∴， （2）当时，四边形是矩形， 理由：∵， 四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形， 37．如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 38．如图，已知． (1)证明：． (2)连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；菱形；或②，矩形，证明见解析 【分析】（1）先证明，再结合已知条件可得，即可得到结论； （2）选择条件①，则四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：选择条件①，则四边形是菱形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ，即， 四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是关键． 39．如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，D是的中点，得出，，因为，得，因为，即可证明四边形是平行四边形，结合有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． （2）结合有一组邻边相等的矩形是正方形，进行分析，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：当为等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∵为等腰直角三角形 ∴， 由（1）得四边形是矩形； ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形； ∴四边形是正方形． 40．如图，已知，对角线相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)请添加一个条件使矩形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形． 题型6 动点问题证明题 41．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一个动点到达终点后随即停止运动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或4秒后的面积为 (2)存在，运动开始后第3秒时，以为圆心，为半径的圆正好经过点 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，圆的性质，一元二次方程的应用，根据是直角三角形求解是解题的关键． （1）设运动x秒钟后的面积为，则，，，利用三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据以点Q为圆心，为半径的圆正好经过点D，可知，分别表示出和的长度，列出方程解方程解决问题； 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为，则， 四边形是矩形， ， ， 解得：． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）解：假设运动开始后第秒时，， ， 解得：（负值舍去）， ， 运动开始后第3秒时，以为圆心，为半径的圆正好经过点． 42．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； （2）解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的判定定理等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题关键． 43．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 44．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E； (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，已知点P是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质、勾股定理、等面积法求高等知识点，掌握菱形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平行线、角平分线的性质可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据菱形的性质、勾股定理，并结合已知线段的长度可得对角线的长，根据等面积法即可求解； （3）如图：连接，由菱形的性质可得垂直平分，即；因为，则当共线时，有最小值，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）证明：如图：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由条件知，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴， ∵AB=AD，AC平分∠DAB， ∵， ∴，解得：． （3）解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴当共线时，有最小值， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 45．如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值． (2)当______时，四边形是矩形． (3)若，且点N的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则M点的运动速度是______． (4)在点M，N运动过程中，四边形______（填“能”或“不能”）成为菱形． 【答案】(1) (2) (3) (4)不能 【分析】（1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，即可； （2）根据矩形的性质，则，即可； （3）根据正方形的性质，则，设的运动速度为：，则，解出，即可； （4）根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答即可． 【详解】（1）∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）∵四边形是正方形， ∴， 设的运动速度为： ∴， 解得：， ∴当点是运动速度为时，四边形是正方形． 故答案为：； （4）四边形不能成为菱形，理由如下： 连接，，， ∵四边形中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 假设四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即， ∴假设不成立， ∴四边形不能成为菱形． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答即可． 46．已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16（2）16（3）（4）相等 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键： （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16 （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 47．如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】对于（1），先连接，根据菱形的性质得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得出答案； 对于（2），作，结合（1）说明，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可求出，接下来，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（3），如图：连接，可得，进而得，可知当点A、、三点共线时,即时，取得最小值，求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图1：连接， 四边形是菱形， ． ， ， . 是的垂直平分线， ， ； （2）解：如图1：过点作于点， ， ， 即． ， ． ∵四边形是菱形，， ． ， ， ， ， 过点A作于点， 在中，， ∴ 根据勾股定理，得， ； （3）解：如图：连接， ， ， ， 当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值， 在中，由（2）得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键． 48．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可得，即；②由正方形的性质得到，则．由折叠的性质可得．由全等三角形的性质得到．设，则，， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，过点作交的延长线于点．证明．得到．证明．得到．则．再证明，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②∵四边形是正方形， ∴， 点是BC中点，， ． 由折叠的性质可得． ∵， ． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ． 的长为． （2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ． ． ， ． ． 又∵， ． 由（1）得，在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，， ． ， 即当点在上运动时，点始终在的角平分线上． 当，即时，的值最小． 此时，． ． 在中，，即， ． 的最小值为． 试卷第54页，共67页 试卷第53页，共67页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形证明题分类训练 目录概览 题型1菱形相关证明 题型2矩形相关证明 题型3正方形相关证明 题型4直角三角形斜边上的中线相关基础证明 题型5添加条件后证明 题型6动点问题证明题 题型演练 题型1菱形相关证明 1,如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF,求证：△ABE≌△ADF. 2.如图，已知AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在CA、CB的延长线上，且点A、B分别是CE、 CF的中点，连接BE、EF. B (I)求证：EF=CF: (②)若AC=6,，BE=V85,求菱形ABCD的面积 第1页，共24页 3.如图，在矩形ABCD中，连接AC,分别以点A,C为圆心，大于二AC长为半径，在线段AC的两侧作 弧，过两弧交点的直线分别交AD,BC于点E,F,交AC于点O,连接AF,CE. D (I)求证：四边形AECF为菱形： (2)若AB=√3，BC=3,求四边形AECF的面积. 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC,AD于点E和点 F,且BF∥DE. F B (I)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若菱形BEDF的周长是36，BD+EF=22,求OF.OD的值. 第2页，共24页 5.如图，在四边形ABCD中.AD=BC,AB=CD,对角线AC与BD相交于点O,AC平分∠BAD. B C E (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E:若AD=5,CE=3,求OB的长. 6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=I20°，E是CD边上一点（不与点C,D重合），将线段AE绕点A逆 时针旋转60得到线段AF，连接FD. B E (1)求证：AC∥FD; (②)连接BF,若AB=4,CE=1,求线段BF的长. 第1页，共24页 7.如图，己知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点 F. y (I)求证：△AEC≌△ADB; (2)若AB=√2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长. 8.如图，在口ABCD中，线段BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C 作CF=BE,交EO延长线于点F,连接BF. AE D B (I)求证：四边形BECF为菱形； (②)若AD=12,CE=8,求四边形BECF的面积. 第2页，共24页 题型2矩形相关证明 9.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，点F在CD上，连接AE交对角线BD于点M,将△ECF 沿直线EF折叠，点C恰好与点M重合. M (1)求证：△ADM是等腰三角形： (②)求AD与AB的数量关系. IO.如图，已知锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点. B M (I)求证：MN⊥DE; (2)若LA=62°，则∠DME= 第1页，共24页 11.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点O作OE∥AB,交BC于点E,过点E作 EF⊥CD于点F,点G在CD边上，连接OG,且OG∥EF· D G (I)求证：四边形OEFG为矩形： (2)若AD=7,OG=3,∠ABD=30°，求AB的长. I2.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C,D的对应点分 别为C,D,连接AD交BC'于点F, -·0 ·B (1)若∠DED'=70°，求∠DAD的度数： (②)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由. 第2页，共24页 13.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点D,E分别作DEIAC,CEI‖BD,连接OE交 CD于点F, B C (I)求证：四边形ODEC是菱形： ②若DE=2,DF,求BC的长， 14.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD边上，CF=AE,连接AF. D C (I)求证：四边形BFDE是矩形； (②)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积. 第1页，共24页 15.己知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点. D E (I)求证：EF⊥BD: (2)若∠BED=90°，求∠BCD的度数. 16.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连 接CG,BG,BD,DG, D G (1)求证：CG=EG; (2)求证：△BEG≌△DCG; (3)若B、2 D3，直接写出SnG:SDGF三 第2页，共24页 题型3正方形相关证明 I7.如图，在正方形ABCD中，G、E、F是正方形边上的点，连接BE、GF,BE与GF交于点M, MB=ME,∠MGD+∠MED=180°. A G D E M F (I)求证：BE=FG; (②)连接EF、BF、BG、GE的中点P、Q、R、S,试说明四边形PORS是什么特殊的四边形. I8.如图，四边形ABCD是正方形，点E在正方形ABCD的外部，△CBE是等边三角形，连接AE,DE, AC,DE与AC交于点F,再连接BF. (I)求∠AEB的度数. (②)求证：BF垂直平分AE. 第1页，共24页 19.如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，满足LEAF=45°，连接EF. D B E (I)尺规作图：作∠BAM=∠DAF,AM交CB的延长线于点M(保留作图痕迹，不写作法)； (②)求证：BE+DF=EF. 20.如图，已知正方形ABCD,点E在BC边上，点F在CD的延长线上，连接EF,且LBAE=∠DAF. D B E (I)求证：△ABE≌AADF (2)若BE=1,EF=2V5,求AB的长. 第2页，共24页