精品解析：陕西省西安市第三中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2025-2026学年陕西省西安三中八年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中结论正确的是（ ） A. 所有无限小数都是无理数 B. 实数和数轴上的点都是一一对应的 C. 的算术平方根是 D. 两个无理数的和都是无理数 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的平方根是 B. 的立方根是 C. 是的平方根 D. 的平方根是 3. 下列长度的各组线段不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在 0，0.2，3π，，6.1010010001…，，中，无理数有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 6. 如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（    ）步，却踩伤了花草（假设步为米） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） . A. （-4）²的平方根是4 B. -1的立方根是-1 C. 是2的平方根 D. 5是25的算术平方根 8. 如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（    ）          A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里 10. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 的平方根是______；的算术平方根是______；的平方根是______． 12. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为_________． 13. 如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是_________． 14. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米． 15. 如果a的平方根是±2，那么=____． 16. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 17. 若，则 ______． 18. 如图，牧童在处，、处相距河岸的距离，的长分别为和，且，两地距离为，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______． 三、计算题：本大题共1小题，共18分． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知的算术平方根是的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 21. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 22. 如图，折叠长方形一边，点落在边的点处，，，求的长． 23. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 24. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点到达，若圆柱底面半径为，高为，蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 25. 仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， （1）请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出的值； （3）求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年陕西省西安三中八年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中结论正确的是（ ） A. 所有无限小数都是无理数 B. 实数和数轴上的点都是一一对应的 C. 的算术平方根是 D. 两个无理数的和都是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念、算术平方根、平方根及实数与数轴，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据无理数的概念、算术平方根、平方根及实数与数轴进行排除选项． 【详解】解：A、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，故A不正确； B、根据实数与数轴的关系，每一个实数都对应数轴上唯一的一个点，反之数轴上的每一个点都对应唯一的一个实数，因此实数和数轴上的点一一对应，故B正确； C、表示16的算术平方根，结果为4；再求4的算术平方根应为，而非，故C不正确； D、两个无理数的和可能为有理数，例如（有理数），因此“都是无理数”的结论不成立，故D不正确； 故选：B． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的平方根是 B. 的立方根是 C. 是的平方根 D. 的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．根据平方根和立方根的知识点进行解答，若，则，则，据此进行判断正确答案． 【详解】解：A、1的平方根是，本选错误， B、的立方根是，本选项正确， C、是2的平方根，本选项正确， D、的平方根是，本选项正确， 故选：A． 3. 下列长度的各组线段不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理逆定理．本题可根据选项中的三个数看是否满足，若满足则为答案． 【详解】A．∵，符合勾股定理的逆定理，∴能组成直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，符合勾股定理的逆定理，∴能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，符合勾股定理的逆定理，∴能组成直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，不符合勾股定理的逆定理，∴不能组成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 在 0，0.2，3π，，6.1010010001…，，中，无理数有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义“无理数就是无限不循环小数”找出题干中的无理数，即可选择． 【详解】在这些实数中，无理数为3π，6.1010010001⋯，，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数，理解无理数的定义是解答本题的关键． 5. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 6. 如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（    ）步，却踩伤了花草（假设步为米） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出路的长度，再根据步为米计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，路， 少走步， 故选：B． 7. 下列说法错误的是（ ） . A. （-4）²的平方根是4 B. -1的立方根是-1 C. 是2的平方根 D. 5是25的算术平方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义进行计算判断即可. 【详解】解：A.错误，（-4）²的平方根是±4，故本选项正确； B.正确，-1的立方根是-1，故本选项错误； C.正确，是2的平方根，故本选项错误； D.正确，5是25的算术平方根，故本选项错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根与立方根，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 8. 如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（    ）          A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键． 分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可． 【详解】解：由题意得， 沿正面和下面的对角线时： 米； 沿正面和左面的对角线时： 米； 沿左面和下面的对角线时： 米； 米米， 米为最短路径． 故选：C． 9. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 10. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 的平方根是______；的算术平方根是______；的平方根是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了平方根定义和性质，算术平方根定义和性质，正确运算是解题的关键． 【详解】解：， 的平方根是， ， 的算术平方根， ， 的平方根是． 故答案为：，，． 12. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为_________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：根据算术平方根的定义，一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1． 故答案为：0或1． 13. 如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是_________． 【答案】18米 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据大树没折断前的高度等于即可得． 【详解】解：在中，米，米， 则米， 所以大树没折断前的高度为（米）， 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 14. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米． 【答案】13 【解析】 【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC． 【详解】解： 如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ， 则小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解答本题的关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 15. 如果a的平方根是±2，那么=____． 【答案】2 【解析】 【分析】由平方根的定义得到a的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵a的平方根是±2， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方根的定义和算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 16. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 17. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性计算得出，，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 原式 故答案为：． 18. 如图，牧童在处，、处相距河岸的距离，的长分别为和，且，两地距离为，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______． 【答案】##1300米 【解析】 【分析】作点A关于的对称点，连接，则的长即为的最小值，过点作，垂足为，则，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接，则的长即为的最小值，过点作，垂足为， ∵ ∴，， ∴， 在中， ． 即牧童最少要走． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 三、计算题：本大题共1小题，共18分． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除和立方根，再计算加减即可； （3）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可； （4）根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知的算术平方根是的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，计算得出答案即可； （2）将x，y的值代入求值，再求出平方根即可． 【小问1详解】 解：的立方根是， ， ； 的算术平方根是5， ，即， ； 【小问2详解】 由（1），得， ， 6的平方根是， 的平方根是． 21. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 22. 如图，折叠长方形一边，点落在边的点处，，，求的长． 【答案】3cm 【解析】 【分析】由矩形和折叠的性质可知，，．在中利用勾股定理可求出，从而可求出．设，则，在中利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠可知：，， 在中：， ． 设，则， 在中：，即， 解得：． 故． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是借助翻转变换的性质，灵活运用勾股定理列出方程． 23. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 24. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点到达，若圆柱底面半径为，高为，蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁最短路程为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，圆柱展开如图所示，则蚂蚁爬行最短距离为．先求出的长度，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：圆柱展开如图所示，则蚂蚁爬行最短距离为． 圆柱底面半径为， 在中，，， 由勾股定理得：． 蚂蚁最短路程为． 25. 仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， （1）请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出的值； （3）求出的值． 【答案】（1），（是正整数）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得； （）由上述，，根据规律可知； （）的值就是把面积的平方相加就可． 【小问1详解】 解：，； ，； ，； ； ∴，（是正整数）； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ， 即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $