第五节 带电粒子在电场中的运动（导学案）物理沪科版2020必修第三册

第5节 带电粒子在电场中的运动 导学案 1．会分析带电粒子在电场中的直线运动，掌握求解带电粒子直线运动问题的两种方法.2.会用运动合成与分解的知识，分析带电粒子在电场中的偏转问题.3.了解示波管的主要构造和工作原理． 1通过分析电场力做功与电势差的定量关系，可得电场中任意两点之间的电势差在数值上等于移动单位正电荷电场力所做的功。 2通过分析、演绎得到匀强电场中电场强度和电势差的定量关系。 【知识回顾】 一、电势差与电场力做功的关系 1．电势差：电场中两点间的电势之差，也称为电压。 A、B 两点间的电势差 UAB =φA – φB， 电势差是标（矢/标）量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。 国际单位：伏特，简称伏，用符号 V 表示。 2．电势差与电场力做功的关系：UAB = ，也可以写成 WAB = EpA − EpB = qφA – qφB = ．qUAB 。 电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、电场力做功的大小无关，也与零电势位置选取无关。 二、匀强电场中电场强度与电势差的关系 1．公式：E = 或写成 UAB = Ed，，其中 d 是 A、B 两点沿电场强度方向的距离。 上式说明匀强电场中电场强度数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势。而且，沿电场线的方向电势降低得最快。A B E d 由此公式还能得出：除 N/C 之外，电场强度的另一个单位是，V/m。 【自主预习】 一、带电粒子（带电体）在电场中的直线运动 1．做直线运动的条件 ①粒子所受合外力，粒子静止或做匀速直线运动． ②粒子所受合外力且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动． 2．用动力学观点分析：，， 3．用功能观点分析 ①匀强电场中： ②非匀强电场中： 二、带电粒子在电场中的偏转 1．带电粒子以垂直匀强电场的场强方向进入电场后，做类平抛运动． ①垂直于场强方向做匀速直线运动： ②平行于场强方向做初速为零的匀加速直线运动 式中，侧移距离，偏转角 【技巧点拨】是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定．一般说来： ①基本粒子：如电子、质子、粒子、离子等除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但不能忽略质量）． ②带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略重力． 2．功能关系 当讨论带电粒子的末速度时也可以从能量的角度进行求解：，其中，指初、末位置间的电势差． 【技巧点拨】电场中常见的功能关系 ①若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． ②若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． ③除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量． ④所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 三、带电粒子在加速、偏转中的运动 1．加速末速度：，解得 2．偏转电场中运动时间： 3．偏转电场出来后偏移量：，偏移角：． 技巧点拨：偏转量和带电粒子、无关，只取决于加速电场和偏转电场． 4．出偏移电场后打到屏幕上总偏移量： 【技巧点拨】 ①不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． ②粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点，即到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 思考与讨论： 电场中两点的电势之差与电场力做功有何关系？ 测量高度的起点不同，同一点的高度的数值就不相同，但两点间的高度差却保持不变。同样的道理，选择不同的位置作为电势零点，电场中任意点的电势的大小会随之改变，但电场中任意两点间的电势之差却保持不变。 电场中两点间电势之差称为电势差（electric potential difference），也叫电压。设电场中 A 点的电势为 φA，B 点的电势为 φA，A、B 两点间的电势差用符号 UAB 表示，则 UAB = φA − φB 电势差是标量，只有大小，没有方向。当 A 点电势比 B 点电势高时，UAB 为正值；UBA 则为负值。在国际单位制中电势差的单位也是伏特，简称伏，用符号 V 表示。 把正电荷 q 沿电场线的方向从 A 点移到 B 点，若 A 点的电势为 φA，B 点的电势为 φB，电场力做正功 WAB，则有 WAB = EpA − EpB = qφA − qφB = q(φA − φB) = qUAB 即 UAB = 这就是电势差与电场力做功的关系，说明电场中任意两点之间的电势差数值上等于移动单位正电荷电场所做的功。因此，知道了电场中两点的电势差就可以方便地计算在这两点间移动电荷时电场力所做的功，而不必考虑电荷移动的路径。 示例 1 电场中有 A、B 两点，已知电势 φA = 650 V，φB = 800 V。把电荷量 q = −2×10−9 C 的带电粒子从 A 点移动到 B 点，则： （1）A、B 两点间的电势差是多少？ （2）电场力做了多少功？做的是正功还是负功？ 分析：根据 A、B 两点的电势可求出两点间电势之差。利用电场中某一点的电势与电荷量的乘积可求得带电粒子在该点所具有的电势能，根据电场力做功与电势能变化量的关系便可求解。 解：（1）A、B 两点间的电势差 UAB = φA − φB = 650 V − 800 V = − 150 V （2）带负电粒子在 A 点的电势能 EpA = qφA = − 2×10−9×650 J = − 1.3×10−6 J 带负电粒子在 B 点的电势能 EpB = qφB = − 2×10−9×800 J = − 1.6×10−6 J 带电粒子从 A 点移动到 B 点电场力所做的功 WAB = EpA – EpB = − 1.3×10−6 J – (− 1.6×10−6) J = 3×10−7 J 当然，也可以用公式 WAB = qUAB 进行计算，即 WAB = qUAB = (− 2×10−9) × (− 150) J = 3×10−7 J 因此电场力做功 3×10−7 J，做的是正功。 匀强电场中电场强度和电势差有何关系？图 9–36 匀强电场中移动电荷 如图 9–36 所示，匀强电场的电场强度为 E，AB 间距离为 d、电势差为 UAB。把正电荷 q 沿电场方向从 A 点移动到B 点，在此过程中，它受到的电场力为 qE，电场力对其做功 WAB = qEd。由电场力做功与电势差的关系，也可得 WAB = qUAB。 由此可得电场强度与电势差的关系为 E = 上式说明匀强电场中电场强度数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势。而且，沿电场线的方向电势降低得最快。 大家谈 请证明 1 N/C = 1 V/m。 示例 2 如图 9–37（a）所示，在电场强度大小为 60 V/m 的匀强电场中有 a、b、c 三点，ab = 5 cm，bc = 8 cm，其中 ab 沿电场方向，bc 与电场方向的夹角为 60°。求：a、c 两点间的电势差 Uac。图 9–37 a、b、c 三点在匀强电场中的关系 （a） （b） a b c E 60° a b c E 60° d 分析：根据匀强电场中电场强度与电势差的关系 E = ，可得 Uac = Ed，其中 d 为 a、c 两点间沿电场线方向的距离或 a、c 两点所在等势面间的间距，如图 9–37（b）所示。 解：a、c 两点间沿电场线方向的距离 d = ab + bc·cos60° = (5 + 8×0.5) cm = 9 cm = 0.09 m 根据匀强电场中电场强度与电势差的关系，a、c 两点电势差的大小 |Uac| = Ed = 60×0.09 V = 5.4 V 因为沿电场线方向电势逐渐降低，φa > φb > φc，所以电势差 Uac 为正值。Uac = 5.4 V。 图 9–38 带电粒子在电场中的加速 + + − U （加速电压） v0 = 0 如何分析带电粒子在电场中的运动？ 带电粒子在电场中受到电场力的作用，通常电场力远大于带电粒子的重力，从而可以忽略重力对带电粒子的影响。如图 9–38 所示，真空中有一对平行金属板，两板间电势差为 U，板间距为 d，将一质量为 m、带电荷量为 + q 的粒子在正极板附近由静止释放，分析带电粒子在电场中的运动情况。 带电粒子在匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动。为了求带电粒子到达负极板时速度 v 的大小，我们用两种方法来研究。 方法一：由于带电粒子在匀强电场中受到电场力 F 作用，从正极板出发做初速度为零匀加速直线运动，则由牛顿第二定律可得，带电粒子做匀加速直线运动的加速度 a = 又 F = qE，由匀强电场的电场强度与电势差的关系 E = 得到 a = 根据初速度为零的匀加速直线运动的运动学规律，则有 v2 = 2ad 可得 v = 方法二：带电粒子从正极板出发到达负极板，仅有电场力做功 W = qU，改变了带电粒子的动能，则根据动能定理，有 qU = mv2 − mv02 由于 v0 = 0，也可得 v = 大家谈 如果不是匀强电场，方法一和方法二中是否有些等式不适用了？请说明理由。 电荷在电场中运动会受到电场力的影响，必然获得加速度。因此，可以利用电场来控制带电粒子的运动。 图 9–40 电子束在电场中的偏转 图 9–39 阴极射线在电场中偏转实验装置图 阴极 偏转极板 荧光屏 阳极 狭缝 M1 M2 一、单选题 1．A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在静电力作用下以一定的初速度从A点沿电场线运动到B点，其图像如右图所示。则此电场的电场线分布可能是图左中的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图像可知，带负电的微粒从A点沿电场线运动到B点做加速度增大的减速运动，则从A点到B点电场强度逐渐增大，电场线逐渐变密集；微粒做减速运动，则电场力方向由B点指向A点，由于微粒带负电，则电场方向由A点指向B点。 故选A。 二、解答题 2．利用电场来加速和控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图所示，M、N为竖直放置的平行金属板，、为板上正对的小孔，两板间所加电压为，金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔、所在直线对称，两板间加有恒定的偏转电压U，极板间距为d，板长度为L。现有一质子和α粒子从小孔处先后由静止释放，经加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场。已知α粒子的质量为m，电荷量为q。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)请判断质子和α粒子在偏转电场中的运动轨迹是否相同，并说明理由。 (3)使电子加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场，且进入偏转电场的速度均为。已知极板P和Q的长度，间距。电子质量，电荷量。若要使电子击中上极板的中点，求偏转极板间电压的大小。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）根据动能定理 解得粒子进入偏转电场时的速度大小 （2）建立如图所示的坐标系，以出发点为原点，水平向右为x轴，向下为y轴 设偏转极板P、Q间的电压为，极板间距为，粒子在偏转电场中做类平抛运动，则有 ，， 联立可以表示出轨迹方程为 与带电粒子的质量和电荷量无关，故质子和粒子在偏转电场中的运动轨迹相同。 （3）设使电子击中上极板的中点，偏转极板间电压；根据类平抛运动规律可得 ，， 联立解得 代入数据解得 3．如图所示，间距为d的平行金属板A、B竖直放置，且接有高压直流电源，A板附近初速为0的电子在电场力的作用下从B板的小孔处以速度射向水平放置的平行金属板C、D的正中央，金属板C、D间的电势差为U，最后电子在C板边缘离开电场。已知电子质量为m，电量为e。求： （1）AB间的电势差。 （2）AB间的电场强度E。 （3）判断CD两板的电势高低。 （4）电子离开CD电场时的速度v的大小。 【答案】（1）；（2）；（3）C板电势高，D板电势低；（4） 【详解】（1）电子从A到B，由动能定理 得AB间的电势差 （2）AB间的电场强度为 （3）电子进入CD两板间，在电场力作用下向上偏转，电场力向上，电场方向向下，C板电势高，D板电势低； （4）电子在CD板间偏转，由动能定理 得电子离开CD电场时的速度 4．如图所示，一质量m=2.0×10−18kg、电荷量q=1.0×10−12C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0=2500V，偏转电场电压U=100V，偏转电场极板的长度L1=6.0cm，板间距离d=2.0cm，极板的右端到荧光屏的距离L2=3.0cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (3)P点到O′点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在加速电场中，根据动能定理得 代入题中数据，解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，则竖直方向偏移量 因为 联立解得 由动能定理有 其中 联立解得 （3）根据带电粒子离开偏转电场速度的反向延长线过偏转电场的中点，由相似三角形得 代入数据，解得 三、填空题 5．利用电场和磁场控制电子的运动，在现代科学实验和设备中有广泛应用。已知电子质量为m、电荷量为e，由静止经电压为U1的加速电场加速后射出，若电子从加速电场射出后沿平行极板的方向射入偏转电场，如图所示，偏转电场可看作匀强电场，板间电压为U2，极板长度为L，板间距为d，则电子从加速电场射出时的速度大小为 ，从偏转电场射出时速度偏转角的正切值为 。 【答案】 【详解】[1]粒子在加速电场中只有电场力做功，根据动能定理，有 解得 [2]电子在偏转电场中做类平抛运动，在沿电场方向的加速度为 在偏转电场中运动的时间为 离开电场时竖直方向的分速度为 可得偏转角度的正切值为 联立，解得 四、综合题 电势能反映电荷在电场中的能量状态，电势差决定电场力做功的量化关系，场强与电势梯度的数学关联揭示电场的空间分布规律。 6．如图甲是某电场中的一条电场线，是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点自由释放，负电荷沿电场线从A到B运动过程中的速度图像如图乙，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（　　） A．电场线由A指向B B． C． D．与无法比较 7．在下图四种典型电场情况中，、两点的电场强度和电势都相等的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，虚线、、代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，是这条轨迹上的三点，同时在等势面上，据此可知（　　） A．三个等势面中，的电势最低 B．带电质点在点动能与电势能之和比在点的小 C．带电质点在点的电势能比在点的小 D．带电质点在点的加速度方向垂直于等势面 9．关于静电场的电场线和等势线，下列四个图中错误的是（　　） A． B． C． D． 10．医生用心电图仪为小赵做毕业体检，对于人体来说，整个心脏可等效为两个等量异号点电荷组成的系统泡在电解质溶液中。体内电荷分布如图（a），等效电场如图（b）。B与为两点电荷连线的中垂线上关于O点的对称点，B点电场强度 点电场强度。A与为两点电荷连线上关于O点的对称点，A点电势 点电势（均选填“”、“”、“”）。 11．如图，在一匀强电场区域中，有、、、四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上，已知三点电势分别为，，，则点电势的大小为 。 12．为避免雷电造成损害，高大的建筑物会装有避雷针。如图，雷雨天，在避雷针附近产生电场，其等势面的分布如虚线。A、B、C三点中，场强最大的位置是 。一带电量为的电荷，由B运动到C点，则其电势能的变化量 。水平方向在某区域建立坐标轴，轴上各点电势分布如图，为图线最高点，则( ) A．b点场强为零 B．b点场强垂直轴向上 C．a、c两点场强相同 D．沿水平方向点距离避雷针比点更远 13．如图长为，倾角为的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为，质量为的小球，以初速度由斜面底端的A点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端速度仍为，则（　　） A．AB两点的电势差为 B．小球在B点的电势能一定大于小球在A点的电势能 C．若电场是匀强电场，则该电场的场强的最小值为 D．若该电场是斜面中点正上方某点的点电荷产生的，则一定是正电荷 14．如图为某一水平电场中等间距的一组等势面分布。一个带电荷量的粒子从坐标原点以的初速度向轴负方向运动，运动到处速度减为零。不计一切摩擦，下列说法错误的是（　　） A．电场强度大小为，方向沿轴负方向 B．粒子运动到处用时 C．粒子的电荷量与质量的比值 D．在轴上不同位置，粒子的动能和电势能之和均为一定值 15．如图，、为两个被固定的点电荷，其中为正点电荷，在它们连线的延长线上有两点。现有一质量为、电量为的正检验电荷以一定的初速度沿直线从点开始经点向远处运动（只受电场力作用），运动的速度图像如图。则必定是( )（选填A．正  B．负  C．正或负  D．不带电）电荷，从到的过程中电荷的电势能变化情况是( )。（选填A．逐渐增大  B．逐渐减小  C．先增大后减小  D．先减小后增大） 【答案】 6．B 7．D 8．D 9．C 10． = > 11．-3 12． A点 B 13．A 14．A 15． B C 【解析】6．AB．负电荷从A自由释放后，能加速运动到B，说明负电荷受到的电场力方向是从A指向B，那么电场方向就是由B指向A。由于沿电场线方向电势逐渐降低，所以A、B两点的电势关系是，故A错误，B正确； CD．根据图乙可知，负电荷从A运动到B的过程中，它的加速度是逐渐减小的（乙图中的“斜率”表示加速度）。由牛顿第二定律可知，负电荷从A到B时，受到的电场力是逐渐减小的，则根据 可知，故CD错误。 故选B。 7．A．电容器间的电场为匀强电场，故a、b两点电场强度相等；沿电场线方向上电势逐渐降低，可知a点的电势高于b点的电势，故A错误； B．根据对称性可知，两点的电场强度相等，沿电场线方向上电势逐渐降低，a点的电势高于b点，故B错误； C．以点电荷为球心的球面是等势面，可知a、b两点电势相等，根据点电荷场强公式 可知a、b两点电场强度的大小相等，但方向不同，故C错误； D．根据两个等量同种电荷等势面的分布情况可知，在两电荷连线的中垂线上与连线中点等距的任意两点电势相等，根据电场的对称性两点电场场强相同，故D正确； 故选D。 8．A．负电荷做曲线运动，电场力指向曲线的内侧；作出电场线，根据轨迹弯曲的方向和负电荷可知，电场线向上，而顺着电场线电势降低，故c点电势最高，故A错误； B．只有电场力做功，电势能和动能之和守恒，故带电质点在P点的动能与电势能之和等于在Q点的动能与电势能之和，故B错误； C．负电荷在电势高处电势能小，可知P点电势能比Q点的大，故C错误； D．带电质点在R点的受力方向沿着电场线的切线方向，电场线与等势面垂直，故质点在R点的加速度方向与等势面垂直，故D正确； 故选D。 9．A．由图看出，正点电荷的电场线向四周发射，越靠近点电荷的电场线越密，电场线与等势线垂直，并等差等势面越密，电场强度越强，故A正确； B．由图可知，是等量异种电荷的电场线与等势面的分布，由上分析，可知，符合事实，故B正确； C．由图可知，是匀强电场，除电场线平行外，还要等间距，故C错误； D．依据电场线由正电荷出发终至于无穷远，且电场线与等势线垂直，电场线越密处，电场强度越强，等差等势面也越密，故D正确； 本题选择错误的选项，故选C。 10．[1]B、连线为等量异种点电荷连线的垂直平分线，B、关于O点对称，根据对称性可知，B、两处场强大小相等，方向也相同； [2]根据电势沿电场线方向逐渐降低可知，A点电势大于点电势。 11．在匀强电场中，根据可知沿电场方向相同距离电势差相等，根据平行四边形的特点知，AB与DC平行且相等，所以AB边与DC边沿电场方向的距离相等，AB间的电势差与DC间的电势差相等，即有 代入数据解得 12．[1]等差等势线越密集，场强越大，所以A、B、C三点中，场强最大的位置是A点； [2]由B运动到C点，则其电势能的变化量为 [3]AB．根据图像的斜率绝对值等于电场强度的大小，由图可知b点沿水平方向场强分量为零，而竖直方向的场强分量不为零，且场强方向竖直向上。故A错误，B正确； C．根据沿电场方向电势降低，由图可知沿x轴正方向a点附近电势升高，c点附近电势降低，故a、c两点水平方向的场强分量方向相反，而它们的竖直方向的场强分量均向上，故a、c两点的合场强方向一定不相同，则a、c两点场强不相同，故C错误； D．由图可知，在避雷针正上方的等势面的位置的切线方向为水平方向，此处电场线竖直向上，则b点有可能处于避雷针正上方，故沿水平方向b点距离避雷针的距离有可能为零，故沿水平方向b点距离避雷针可能比c点更进，故D错误。 故选B。 13．A．A到B速度未变，说明小球克服重力做功等于电场力做功。则A、B两点的电势差为，故A正确； B．小球在运动的过程中，受重力、支持力和电场力，重力做负功，支持力不做功，而小球的动能不变，外力所做的总功为零，则知电场力做正功，电势能减小。故小球在A点的电势能大，故B错误； C．若电场是匀强电场，电场力恒定，到达B点时小球速度仍为v0，故小球做匀速直线运动，电场力与重力、支持力的合力为零。小球的重力沿斜面向下的分力为一定，则当电场力沿斜面向上，大小为时，电场力最小，场强最小，又电场力，则该电场的场强的最小值一定是，故C错误； D．正电荷在A点处的电势能大，则A点的电势高，若该电场是斜面中点正上方某点的点电荷Q产生的，则Q一定是负电荷。故D错误。 故选A。 14．A．根据 可得电场强度大小为，方向沿x轴负方向，故A错误； B．根据匀变速直线运动位移与速度的关系可得 解得 则根据匀变速直线运动位移与时间的关系可得 解得粒子运动到处用时为，故B正确； C．根据动能定理可得 解得，故C正确； D．粒子只受到电场力做功，故粒子的动能和电势能之和不变，为定值，故D正确。 本体选择错误选项，故选A。 15．[1]由于试探电荷从b向a运动的过程是先减速后加速，速度向右，故电场力的合力先向左后向右，在平衡点左侧时是向左的吸引力大，故试探电荷的电性与Q2相反，则Q2是负电荷； [2]整个运动过程中，检验电荷q的动能先减小后增大，由于只有电场力做功，所以电势能先增后减。 静电场是一种非常重要的物理场，可以在例如工业生产、科学研究和医疗设备等领域中出现。 16．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏等组成，如图甲所示.示波器的和两对电极均不加电压时，亮斑出现在荧光屏中心。若在电极和分别加上如图乙、丙所示的电压，则荧光屏上出现的图形为（　　） A． B． C． D． 17．在生产纸张、纺织品等绝缘材料的过程中，为了实时监控材料的厚度，生产流水线上设置了如图所示的传感器，其中A、B为平行板电容器的上、下两个固定极板，分别接在恒压直流电源的两极上。当纸张从平行极板间穿过时，某过程灵敏电流计G中有a流向b的电流，则此过程（　　） A．板间的纸张厚度减小 B．板间的纸张厚度增大 C．板间的电场强度减小 D．极板所带的电荷量增大 18．某空间存在静电场，静电场中x轴上的电势随x变化的规律如图所示，则x轴附近电场线的分布可能是（　　） A． B． C． D． 19．如图所示，是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直直径方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： （1）小球落回到A点时的速率； （2）电场强度的大小； （3）小球第一次从A下滑到电场内的B点时对轨道压力的大小。 【答案】16．B 17．A 18．D 19．（1）；（2）；（3） 【解析】16．电极接入如图乙所示电压，且电压大小不变，则电子向X方向偏转，且位置不变，电极接入如图丙所示电压，且电压大小不变，则电子向方向偏转，且位置不变，根据运动的合成，所以在荧光屏上得到的信号在一个周期内的稳定图像，如图B所示。 故选B。 17．D．由于电容器与直流电源连接，故电压不变，灵敏电流计G中有a流向b的电流，说明电容器放电，则电容器电荷量Q减小，根据 则电容器的电容减小，故D错误； AB．根据 电容器的电容减小，说明相对介电常数减小，则板间的纸张厚度减小，故A正确B错误； C．电压不变，且极板间距不变，则电场强度 不变，故C错误； 故选A。 18．根据电势分布可知，沿x轴方向的电势逐渐降低且变化越来越小，图像的斜率反映场强大小，可知电场强度越来越小，电场线越来越稀疏，因此电场线的分布可能是D项。 故选D。 19．（1）设小球离开D点时的速率为，由D落回到A的时间为t，则由平抛运动规律有 解得 小球落回到A时的速率为，根据动能定理有 解得 （2）小球从A到D的过程中，根据动能定理有 解得 （3）小球通过轨道最低点B处时的速率为，轨道对小球的支持力为F，则有 根据合力提供向心力有 解得 由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节 带电粒子在电场中的运动 导学案 1．会分析带电粒子在电场中的直线运动，掌握求解带电粒子直线运动问题的两种方法.2.会用运动合成与分解的知识，分析带电粒子在电场中的偏转问题.3.了解示波管的主要构造和工作原理． 1通过分析电场力做功与电势差的定量关系，可得电场中任意两点之间的电势差在数值上等于移动单位正电荷电场力所做的功。 2通过分析、演绎得到匀强电场中电场强度和电势差的定量关系。 【知识回顾】 一、电势差与电场力做功的关系 1．电势差：电场中两点间的之差，也称为___________。 A、B 两点间的电势差 UAB =___________。 电势差是___________。（矢/标）量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的___________。 国际单位：伏特，简称伏，用符号 V 表示。 2．电势差与电场力做功的关系：UAB = ，也可以写成 WAB = EpA − EpB = qφA – qφB = ．qUAB 。 电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、电场力做功的大小无关，也与___________位置选取无关。 二、匀强电场中电场强度与电势差的关系 1．公式：E = 或写成 UAB = Ed，，其中 d 是 A、B 两点沿___________方向的距离。 上式说明匀强电场中电场强度数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势。而且，沿电场线的方向电势降低得最快。A B E d 由此公式还能得出：除 N/C 之外，电场强度的另一个单位是，___________。 思考与讨论： 电场中两点的电势之差与电场力做功有何关系？ 测量高度的起点不同，同一点的高度的数值就不相同，但两点间的高度差却保持不变。同样的道理，选择不同的位置作为电势零点，电场中任意点的电势的大小会随之改变，但电场中任意两点间的电势之差却保持不变。 电场中两点间电势之差称为电势差（electric potential difference），也叫电压。设电场中 A 点的电势为 φA，B 点的电势为 φA，A、B 两点间的电势差用符号 UAB 表示，则 UAB = φA − φB 电势差是标量，只有大小，没有方向。当 A 点电势比 B 点电势高时，UAB 为正值；UBA 则为负值。在国际单位制中电势差的单位也是伏特，简称伏，用符号 V 表示。 把正电荷 q 沿电场线的方向从 A 点移到 B 点，若 A 点的电势为 φA，B 点的电势为 φB，电场力做正功 WAB，则有 WAB = EpA − EpB = qφA − qφB = q(φA − φB) = qUAB 即 UAB = 这就是电势差与电场力做功的关系，说明电场中任意两点之间的电势差数值上等于移动单位正电荷电场所做的功。因此，知道了电场中两点的电势差就可以方便地计算在这两点间移动电荷时电场力所做的功，而不必考虑电荷移动的路径。 示例 1 电场中有 A、B 两点，已知电势 φA = 650 V，φB = 800 V。把电荷量 q = −2×10−9 C 的带电粒子从 A 点移动到 B 点，则： （1）A、B 两点间的电势差是多少？ （2）电场力做了多少功？做的是正功还是负功？ 分析：根据 A、B 两点的电势可求出两点间电势之差。利用电场中某一点的电势与电荷量的乘积可求得带电粒子在该点所具有的电势能，根据电场力做功与电势能变化量的关系便可求解。 解：（1）A、B 两点间的电势差 UAB = φA − φB = 650 V − 800 V = − 150 V （2）带负电粒子在 A 点的电势能 EpA = qφA = − 2×10−9×650 J = − 1.3×10−6 J 带负电粒子在 B 点的电势能 EpB = qφB = − 2×10−9×800 J = − 1.6×10−6 J 带电粒子从 A 点移动到 B 点电场力所做的功 WAB = EpA – EpB = − 1.3×10−6 J – (− 1.6×10−6) J = 3×10−7 J 当然，也可以用公式 WAB = qUAB 进行计算，即 WAB = qUAB = (− 2×10−9) × (− 150) J = 3×10−7 J 因此电场力做功 3×10−7 J，做的是正功。 匀强电场中电场强度和电势差有何关系？图 9–36 匀强电场中移动电荷 如图 9–36 所示，匀强电场的电场强度为 E，AB 间距离为 d、电势差为 UAB。把正电荷 q 沿电场方向从 A 点移动到B 点，在此过程中，它受到的电场力为 qE，电场力对其做功 WAB = qEd。由电场力做功与电势差的关系，也可得 WAB = qUAB。 由此可得电场强度与电势差的关系为 E = 上式说明匀强电场中电场强度数值上等于沿电场线方向单位距离上降低的电势。而且，沿电场线的方向电势降低得最快。 大家谈 请证明 1 N/C = 1 V/m。 示例 2 如图 9–37（a）所示，在电场强度大小为 60 V/m 的匀强电场中有 a、b、c 三点，ab = 5 cm，bc = 8 cm，其中 ab 沿电场方向，bc 与电场方向的夹角为 60°。求：a、c 两点间的电势差 Uac。图 9–37 a、b、c 三点在匀强电场中的关系 （a） （b） a b c E 60° a b c E 60° d 分析：根据匀强电场中电场强度与电势差的关系 E = ，可得 Uac = Ed，其中 d 为 a、c 两点间沿电场线方向的距离或 a、c 两点所在等势面间的间距，如图 9–37（b）所示。 解：a、c 两点间沿电场线方向的距离 d = ab + bc·cos60° = (5 + 8×0.5) cm = 9 cm = 0.09 m 根据匀强电场中电场强度与电势差的关系，a、c 两点电势差的大小 |Uac| = Ed = 60×0.09 V = 5.4 V 因为沿电场线方向电势逐渐降低，φa > φb > φc，所以电势差 Uac 为正值。Uac = 5.4 V。 图 9–38 带电粒子在电场中的加速 + + − U （加速电压） v0 = 0 如何分析带电粒子在电场中的运动？ 带电粒子在电场中受到电场力的作用，通常电场力远大于带电粒子的重力，从而可以忽略重力对带电粒子的影响。如图 9–38 所示，真空中有一对平行金属板，两板间电势差为 U，板间距为 d，将一质量为 m、带电荷量为 + q 的粒子在正极板附近由静止释放，分析带电粒子在电场中的运动情况。 带电粒子在匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动。为了求带电粒子到达负极板时速度 v 的大小，我们用两种方法来研究。 方法一：由于带电粒子在匀强电场中受到电场力 F 作用，从正极板出发做初速度为零匀加速直线运动，则由牛顿第二定律可得，带电粒子做匀加速直线运动的加速度 a = 又 F = qE，由匀强电场的电场强度与电势差的关系 E = 得到 a = 根据初速度为零的匀加速直线运动的运动学规律，则有 v2 = 2ad 可得 v = 方法二：带电粒子从正极板出发到达负极板，仅有电场力做功 W = qU，改变了带电粒子的动能，则根据动能定理，有 qU = mv2 − mv02 由于 v0 = 0，也可得 v = 大家谈 如果不是匀强电场，方法一和方法二中是否有些等式不适用了？请说明理由。 电荷在电场中运动会受到电场力的影响，必然获得加速度。因此，可以利用电场来控制带电粒子的运动。 图 9–40 电子束在电场中的偏转 图 9–39 阴极射线在电场中偏转实验装置图 阴极 偏转极板 荧光屏 阳极 狭缝 M1 M2 一、单选题 1．A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在静电力作用下以一定的初速度从A点沿电场线运动到B点，其图像如右图所示。则此电场的电场线分布可能是图左中的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图像可知，带负电的微粒从A点沿电场线运动到B点做加速度增大的减速运动，则从A点到B点电场强度逐渐增大，电场线逐渐变密集；微粒做减速运动，则电场力方向由B点指向A点，由于微粒带负电，则电场方向由A点指向B点。 故选A。 二、解答题 2．利用电场来加速和控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图所示，M、N为竖直放置的平行金属板，、为板上正对的小孔，两板间所加电压为，金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔、所在直线对称，两板间加有恒定的偏转电压U，极板间距为d，板长度为L。现有一质子和α粒子从小孔处先后由静止释放，经加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场。已知α粒子的质量为m，电荷量为q。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)请判断质子和α粒子在偏转电场中的运动轨迹是否相同，并说明理由。 (3)使电子加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场，且进入偏转电场的速度均为。已知极板P和Q的长度，间距。电子质量，电荷量。若要使电子击中上极板的中点，求偏转极板间电压的大小。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）根据动能定理 解得粒子进入偏转电场时的速度大小 （2）建立如图所示的坐标系，以出发点为原点，水平向右为x轴，向下为y轴 设偏转极板P、Q间的电压为，极板间距为，粒子在偏转电场中做类平抛运动，则有 ，， 联立可以表示出轨迹方程为 与带电粒子的质量和电荷量无关，故质子和粒子在偏转电场中的运动轨迹相同。 （3）设使电子击中上极板的中点，偏转极板间电压；根据类平抛运动规律可得 ，， 联立解得 代入数据解得 3．如图所示，间距为d的平行金属板A、B竖直放置，且接有高压直流电源，A板附近初速为0的电子在电场力的作用下从B板的小孔处以速度射向水平放置的平行金属板C、D的正中央，金属板C、D间的电势差为U，最后电子在C板边缘离开电场。已知电子质量为m，电量为e。求： （1）AB间的电势差。 （2）AB间的电场强度E。 （3）判断CD两板的电势高低。 （4）电子离开CD电场时的速度v的大小。 【答案】（1）；（2）；（3）C板电势高，D板电势低；（4） 【详解】（1）电子从A到B，由动能定理 得AB间的电势差 （2）AB间的电场强度为 （3）电子进入CD两板间，在电场力作用下向上偏转，电场力向上，电场方向向下，C板电势高，D板电势低； （4）电子在CD板间偏转，由动能定理 得电子离开CD电场时的速度 4．如图所示，一质量m=2.0×10−18kg、电荷量q=1.0×10−12C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0=2500V，偏转电场电压U=100V，偏转电场极板的长度L1=6.0cm，板间距离d=2.0cm，极板的右端到荧光屏的距离L2=3.0cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (3)P点到O′点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在加速电场中，根据动能定理得 代入题中数据，解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，则竖直方向偏移量 因为 联立解得 由动能定理有 其中 联立解得 （3）根据带电粒子离开偏转电场速度的反向延长线过偏转电场的中点，由相似三角形得 代入数据，解得 三、填空题 5．利用电场和磁场控制电子的运动，在现代科学实验和设备中有广泛应用。已知电子质量为m、电荷量为e，由静止经电压为U1的加速电场加速后射出，若电子从加速电场射出后沿平行极板的方向射入偏转电场，如图所示，偏转电场可看作匀强电场，板间电压为U2，极板长度为L，板间距为d，则电子从加速电场射出时的速度大小为 ，从偏转电场射出时速度偏转角的正切值为 。 【答案】 【详解】[1]粒子在加速电场中只有电场力做功，根据动能定理，有 解得 [2]电子在偏转电场中做类平抛运动，在沿电场方向的加速度为 在偏转电场中运动的时间为 离开电场时竖直方向的分速度为 可得偏转角度的正切值为 联立，解得 四、综合题 电势能反映电荷在电场中的能量状态，电势差决定电场力做功的量化关系，场强与电势梯度的数学关联揭示电场的空间分布规律。 6．如图甲是某电场中的一条电场线，是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点自由释放，负电荷沿电场线从A到B运动过程中的速度图像如图乙，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（　　） A．电场线由A指向B B． C． D．与无法比较 7．在下图四种典型电场情况中，、两点的电场强度和电势都相等的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，虚线、、代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，是这条轨迹上的三点，同时在等势面上，据此可知（　　） A．三个等势面中，的电势最低 B．带电质点在点动能与电势能之和比在点的小 C．带电质点在点的电势能比在点的小 D．带电质点在点的加速度方向垂直于等势面 9．关于静电场的电场线和等势线，下列四个图中错误的是（　　） A． B． C． D． 10．医生用心电图仪为小赵做毕业体检，对于人体来说，整个心脏可等效为两个等量异号点电荷组成的系统泡在电解质溶液中。体内电荷分布如图（a），等效电场如图（b）。B与为两点电荷连线的中垂线上关于O点的对称点，B点电场强度 点电场强度。A与为两点电荷连线上关于O点的对称点，A点电势 点电势（均选填“”、“”、“”）。 11．如图，在一匀强电场区域中，有、、、四点恰好位于一平行四边形的四个顶点上，已知三点电势分别为，，，则点电势的大小为 。 12．为避免雷电造成损害，高大的建筑物会装有避雷针。如图，雷雨天，在避雷针附近产生电场，其等势面的分布如虚线。A、B、C三点中，场强最大的位置是 。一带电量为的电荷，由B运动到C点，则其电势能的变化量 。水平方向在某区域建立坐标轴，轴上各点电势分布如图，为图线最高点，则( ) A．b点场强为零 B．b点场强垂直轴向上 C．a、c两点场强相同 D．沿水平方向点距离避雷针比点更远 13．如图长为，倾角为的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为，质量为的小球，以初速度由斜面底端的A点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端速度仍为，则（　　） A．AB两点的电势差为 B．小球在B点的电势能一定大于小球在A点的电势能 C．若电场是匀强电场，则该电场的场强的最小值为 D．若该电场是斜面中点正上方某点的点电荷产生的，则一定是正电荷 14．如图为某一水平电场中等间距的一组等势面分布。一个带电荷量的粒子从坐标原点以的初速度向轴负方向运动，运动到处速度减为零。不计一切摩擦，下列说法错误的是（　　） A．电场强度大小为，方向沿轴负方向 B．粒子运动到处用时 C．粒子的电荷量与质量的比值 D．在轴上不同位置，粒子的动能和电势能之和均为一定值 15．如图，、为两个被固定的点电荷，其中为正点电荷，在它们连线的延长线上有两点。现有一质量为、电量为的正检验电荷以一定的初速度沿直线从点开始经点向远处运动（只受电场力作用），运动的速度图像如图。则必定是( )（选填A．正  B．负  C．正或负  D．不带电）电荷，从到的过程中电荷的电势能变化情况是( )。（选填A．逐渐增大  B．逐渐减小  C．先增大后减小  D．先减小后增大） 【答案】 6．B 7．D 8．D 9．C 10． = > 11．-3 12． A点 B 13．A 14．A 15． B C 【解析】6．AB．负电荷从A自由释放后，能加速运动到B，说明负电荷受到的电场力方向是从A指向B，那么电场方向就是由B指向A。由于沿电场线方向电势逐渐降低，所以A、B两点的电势关系是，故A错误，B正确； CD．根据图乙可知，负电荷从A运动到B的过程中，它的加速度是逐渐减小的（乙图中的“斜率”表示加速度）。由牛顿第二定律可知，负电荷从A到B时，受到的电场力是逐渐减小的，则根据 可知，故CD错误。 故选B。 7．A．电容器间的电场为匀强电场，故a、b两点电场强度相等；沿电场线方向上电势逐渐降低，可知a点的电势高于b点的电势，故A错误； B．根据对称性可知，两点的电场强度相等，沿电场线方向上电势逐渐降低，a点的电势高于b点，故B错误； C．以点电荷为球心的球面是等势面，可知a、b两点电势相等，根据点电荷场强公式 可知a、b两点电场强度的大小相等，但方向不同，故C错误； D．根据两个等量同种电荷等势面的分布情况可知，在两电荷连线的中垂线上与连线中点等距的任意两点电势相等，根据电场的对称性两点电场场强相同，故D正确； 故选D。 8．A．负电荷做曲线运动，电场力指向曲线的内侧；作出电场线，根据轨迹弯曲的方向和负电荷可知，电场线向上，而顺着电场线电势降低，故c点电势最高，故A错误； B．只有电场力做功，电势能和动能之和守恒，故带电质点在P点的动能与电势能之和等于在Q点的动能与电势能之和，故B错误； C．负电荷在电势高处电势能小，可知P点电势能比Q点的大，故C错误； D．带电质点在R点的受力方向沿着电场线的切线方向，电场线与等势面垂直，故质点在R点的加速度方向与等势面垂直，故D正确； 故选D。 9．A．由图看出，正点电荷的电场线向四周发射，越靠近点电荷的电场线越密，电场线与等势线垂直，并等差等势面越密，电场强度越强，故A正确； B．由图可知，是等量异种电荷的电场线与等势面的分布，由上分析，可知，符合事实，故B正确； C．由图可知，是匀强电场，除电场线平行外，还要等间距，故C错误； D．依据电场线由正电荷出发终至于无穷远，且电场线与等势线垂直，电场线越密处，电场强度越强，等差等势面也越密，故D正确； 本题选择错误的选项，故选C。 10．[1]B、连线为等量异种点电荷连线的垂直平分线，B、关于O点对称，根据对称性可知，B、两处场强大小相等，方向也相同； [2]根据电势沿电场线方向逐渐降低可知，A点电势大于点电势。 11．在匀强电场中，根据可知沿电场方向相同距离电势差相等，根据平行四边形的特点知，AB与DC平行且相等，所以AB边与DC边沿电场方向的距离相等，AB间的电势差与DC间的电势差相等，即有 代入数据解得 12．[1]等差等势线越密集，场强越大，所以A、B、C三点中，场强最大的位置是A点； [2]由B运动到C点，则其电势能的变化量为 [3]AB．根据图像的斜率绝对值等于电场强度的大小，由图可知b点沿水平方向场强分量为零，而竖直方向的场强分量不为零，且场强方向竖直向上。故A错误，B正确； C．根据沿电场方向电势降低，由图可知沿x轴正方向a点附近电势升高，c点附近电势降低，故a、c两点水平方向的场强分量方向相反，而它们的竖直方向的场强分量均向上，故a、c两点的合场强方向一定不相同，则a、c两点场强不相同，故C错误； D．由图可知，在避雷针正上方的等势面的位置的切线方向为水平方向，此处电场线竖直向上，则b点有可能处于避雷针正上方，故沿水平方向b点距离避雷针的距离有可能为零，故沿水平方向b点距离避雷针可能比c点更进，故D错误。 故选B。 13．A．A到B速度未变，说明小球克服重力做功等于电场力做功。则A、B两点的电势差为，故A正确； B．小球在运动的过程中，受重力、支持力和电场力，重力做负功，支持力不做功，而小球的动能不变，外力所做的总功为零，则知电场力做正功，电势能减小。故小球在A点的电势能大，故B错误； C．若电场是匀强电场，电场力恒定，到达B点时小球速度仍为v0，故小球做匀速直线运动，电场力与重力、支持力的合力为零。小球的重力沿斜面向下的分力为一定，则当电场力沿斜面向上，大小为时，电场力最小，场强最小，又电场力，则该电场的场强的最小值一定是，故C错误； D．正电荷在A点处的电势能大，则A点的电势高，若该电场是斜面中点正上方某点的点电荷Q产生的，则Q一定是负电荷。故D错误。 故选A。 14．A．根据 可得电场强度大小为，方向沿x轴负方向，故A错误； B．根据匀变速直线运动位移与速度的关系可得 解得 则根据匀变速直线运动位移与时间的关系可得 解得粒子运动到处用时为，故B正确； C．根据动能定理可得 解得，故C正确； D．粒子只受到电场力做功，故粒子的动能和电势能之和不变，为定值，故D正确。 本体选择错误选项，故选A。 15．[1]由于试探电荷从b向a运动的过程是先减速后加速，速度向右，故电场力的合力先向左后向右，在平衡点左侧时是向左的吸引力大，故试探电荷的电性与Q2相反，则Q2是负电荷； [2]整个运动过程中，检验电荷q的动能先减小后增大，由于只有电场力做功，所以电势能先增后减。 静电场是一种非常重要的物理场，可以在例如工业生产、科学研究和医疗设备等领域中出现。 16．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏等组成，如图甲所示.示波器的和两对电极均不加电压时，亮斑出现在荧光屏中心。若在电极和分别加上如图乙、丙所示的电压，则荧光屏上出现的图形为（　　） A． B． C． D． 17．在生产纸张、纺织品等绝缘材料的过程中，为了实时监控材料的厚度，生产流水线上设置了如图所示的传感器，其中A、B为平行板电容器的上、下两个固定极板，分别接在恒压直流电源的两极上。当纸张从平行极板间穿过时，某过程灵敏电流计G中有a流向b的电流，则此过程（　　） A．板间的纸张厚度减小 B．板间的纸张厚度增大 C．板间的电场强度减小 D．极板所带的电荷量增大 18．某空间存在静电场，静电场中x轴上的电势随x变化的规律如图所示，则x轴附近电场线的分布可能是（　　） A． B． C． D． 19．如图所示，是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直直径方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： （1）小球落回到A点时的速率； （2）电场强度的大小； （3）小球第一次从A下滑到电场内的B点时对轨道压力的大小。 【答案】16．B 17．A 18．D 19．（1）；（2）；（3） 【解析】16．电极接入如图乙所示电压，且电压大小不变，则电子向X方向偏转，且位置不变，电极接入如图丙所示电压，且电压大小不变，则电子向方向偏转，且位置不变，根据运动的合成，所以在荧光屏上得到的信号在一个周期内的稳定图像，如图B所示。 故选B。 17．D．由于电容器与直流电源连接，故电压不变，灵敏电流计G中有a流向b的电流，说明电容器放电，则电容器电荷量Q减小，根据 则电容器的电容减小，故D错误； AB．根据 电容器的电容减小，说明相对介电常数减小，则板间的纸张厚度减小，故A正确B错误； C．电压不变，且极板间距不变，则电场强度 不变，故C错误； 故选A。 18．根据电势分布可知，沿x轴方向的电势逐渐降低且变化越来越小，图像的斜率反映场强大小，可知电场强度越来越小，电场线越来越稀疏，因此电场线的分布可能是D项。 故选D。 19．（1）设小球离开D点时的速率为，由D落回到A的时间为t，则由平抛运动规律有 解得 小球落回到A时的速率为，根据动能定理有 解得 （2）小球从A到D的过程中，根据动能定理有 解得 （3）小球通过轨道最低点B处时的速率为，轨道对小球的支持力为F，则有 根据合力提供向心力有 解得 由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ / 学科网（北京）股份有限公司 $