专题8 函数的奇偶性与周期性 - 2026年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2026年职教高考数学必刷题 专题8 函数的奇偶性与周期性 一、【考点剖析】 考点 考题方向 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义与判断 由奇偶性求函数的解析式 由奇偶性求参数 函数奇偶性的应用 函数的周期性 函数周期性的定义与判断 函数周期性的应用 二、【真题精练】 题型一、函数的奇偶性 1．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）下列四个函数中，是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三下·河南·职教高考）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（24-25高三下·广西·职教高考）若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·安徽·职教高考）已 知是上的奇函数.当时 ，. 若,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ． 7．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，若，则 ． 8．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)当时，求的解析式. 9．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求m的取值范围． 10．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. (1)求实数b的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数a的值. 11．（24-25高三下·河南·职教高考）已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 题型二、函数的周期性 12．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于点中心对称，对任意的实数都有且，，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 14．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 15．（24-25高三下·江苏·二模）已知函数为上的奇函数，且对于任意都有成立，当时，，则（   ） A．1 B． C． D． 16．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，. (1)求证：函数的周期是4； (2)求的值； (3)当时，求的解析式. 17．（22-23高三下·山东·职教高考）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是 ． 18．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意实数x有，若函数的图像关于直线对称，且，则 . 19．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知是定义在上的函数且满足，当时，，则 ． 20．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）函数对任意满足成立，且当时，． (1)求与的值； (2)当时，求的解析式． 21．（19-20高三·四川广安·模拟预测）已知函数的定义域为，且对于任意，都有成立． (1)若时，，求不等式的解集； (2)若，且当时，，求在区间上的解析式. 三、【考点演练】 【考点1】函数的奇偶性 22．下列函数当中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 23．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．该函数为偶函数 B．该函数在R上单调递增 C．该函数关于y轴对称 D．该函数的值域是 24．已知是上的奇函数，且，，则（    ） A． B． C．3 D．13 25．设二次函数是偶函数，则（    ） A．0或1 B．0或 C． D．0 26．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)求证：在上单调递减. 27．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，的所有解的和为 . 28．设，函数； (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意成立，求a的取值范围． 【考点2】函数的周期性 29．已知函数满足：当时，总有，且，，，则（      ） A．0 B．5 C． D．10 30．已知函数则（    ） A．2 B． C．1 D．4 31．最大值为3，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，都有 ，当 时，，则 . 33．已知函数满足：①对任意，，成立；②当时，，则 ． 34．已知是定义在上的函数，当时，． (1)若是奇函数，求的值，并求出时，的解析式； (2)若是偶函数，，且对于任意，都有，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考数学必刷题 专题8 函数的奇偶性与周期性 一、【考点剖析】 考点 考题方向 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义与判断 由奇偶性求函数的解析式 由奇偶性求参数 函数奇偶性的应用 函数的周期性 函数周期性的定义与判断 函数周期性的应用 二、【真题精练】 题型一、函数的奇偶性 1．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）下列四个函数中，是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义及常见函数的单调性求解即可即可得解. 【详解】选项A：的定义域为，且，所以该函数是奇函数. 因为，所以是单调递减的，不符合题意. 选项B：的定义域为，且，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 选项C：的定义域为，且，所以该函数是奇函数. 因为，所以幂函数在定义域上单调递增，符合题意. 选项D：的定义域为，且，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 故选：C. 2．（20-21高三下·河南·职教高考）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利用函数的奇偶性的定义及常见函数的单调性判断即可． 【详解】定义域为，，因此不是奇函数，故A错误； 定义域为，不关于原点对称，因此不是奇函数，故B错误； 定义域为，，因此是奇函数； 又中的系数，因此在上是增函数，故C正确； ，因此当时，，是减函数，故D错误， 故选：C. 3．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 4．（24-25高三下·广西·职教高考）若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，奇偶性即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以. 在上是减函数，. 即. 故选：B. 5．（23-24高三下·安徽·职教高考）已 知是上的奇函数.当时 ，. 若,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数定义，确定的解析式，再分类讨论，解得的范围. 【详解】已知是上的奇函数，当时 ，.， 则当时，，且， 若，考虑两种情况： 当时，需满足，解得， 当时，需满足，解得， 因此的范围是， 故选：C. 6．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为①， 所以， 又因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以②， 由①②得：，即， 所以， 所以，， 因此， 故答案为：. 7．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，因为，定义域为，所以为奇函数． ，所以， 故 故答案为：4 8．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)当时，求的解析式. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据所给解析式求出，再根据奇函数定义求即可. （2）根据奇函数定义求解即可. 【详解】（1）易知， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以. （2）设，则，故， 而， 所以当时，. 9．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据其为偶函数得到，再根据则得到其解析式； （2）根据其对称性和单调性则得到不等式，解出即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以， 又因为，解得， 所以. （2）因为函数是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 则，所以， 解得. 所以m的取值范围为. 10．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. (1)求实数b的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数a的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件求得当时，的解析式，进而代入点，从而得解； （2）利用（1）中结论即可得解； （3）分类讨论与两种情况，令即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 又当时，， 所以当时，，则， 因为点在函数的图象上， 所以，解得. （2）由（1），得， 所以当时，； 当时，； 故. （3）当时，由，得， 即，即，无解； 当时，由，得， 即，即，解得或（舍去）， 所以. 11．（24-25高三下·河南·职教高考）已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】(1)存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 (2) 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【详解】（1）若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数的值域是. （2）因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 题型二、函数的周期性 12．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【详解】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 因为， 所以 . 故选：D. 13．（24-25高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于点中心对称，对任意的实数都有且，，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由已知，可判断出函数是周期为3的周期函数，由，，求出一个周期内函数的值，再利用分组求和法可得到答案. 【详解】，， 则， 是周期为的周期函数，则 ，. 又的图像关于点中心对称， ， ，， ，， . 故选：C 14．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件得到函数的周期，再根据周期求解. 【详解】已知，令，可得 ， 则，解得. 令，，解得. 在用代替，得到， 所以，所以函数偶函数. 在用代替,可得， 再用代替，则. 结合上述的两式可得， 化简可得.再用代替，则. 又因为，所以. 即函数的周期. 所以，. 即. 故选：B 15．（24-25高三下·江苏·二模）已知函数为上的奇函数，且对于任意都有成立，当时，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以. 因为时，，所以，解得. 所以. 因为，所以，则， 所以是以为周期的周期函数，则. 故选：A. 16．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，. (1)求证：函数的周期是4； (2)求的值； (3)当时，求的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的周期的定义即可求解. （2）结合已知周期性及已知区间上的函数解析式进行转化，代入求解即可. （3）先把所求区间上的变量进行转化到已知区间上，再结合奇函数的性质求解. 【详解】（1）因为 所以函数的周期为4. （2） . （3）因为函数为奇函数. 当时， 所以. 所以. 所以. 17．（22-23高三下·山东·职教高考）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是 ． 【答案】0 【分析】根据题意作出函数图像判断函数的周期即可求解. 【详解】因为函数对定义域内任意的x都有， 所以函数图像的对称轴是； 因为当时，， 则的图像如图所示， 所以当时，的图像如图所示； 因为是偶函数， 所以在上的图像，如图所示； 再根据函数图像关于对称，作出函数图像， 再根据函数是偶函数，作出函数图像， …… 可以发现函数的周期是4， 于是． 故答案为：0. 18．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意实数x有，若函数的图像关于直线对称，且，则 . 【答案】0 【分析】首先根据求出函数的周期，再根据图像平移的性质求出函数的奇偶性，再根据函数的周期以及奇偶性求解即可. 【详解】由函数的图像关于直线对称可知，函数的图像关于y轴对称，故为偶函数． 由，得，所以是周期的偶函数， 所以． 故答案为：0. 19．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知是定义在上的函数且满足，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的周期性，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】因为满足， 所以， 所以函数的周期, 所以 ， 又因为，当时，， 所以， 故答案为：. 20．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）函数对任意满足成立，且当时，． (1)求与的值； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【详解】（1）函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； （2）由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 21．（19-20高三·四川广安·模拟预测）已知函数的定义域为，且对于任意，都有成立． (1)若时，，求不等式的解集； (2)若，且当时，，求在区间上的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义和指数函数单调性解不等式，最后由绝对值不等式求解即可解得. （2）根据已知函数关系结合函数周期性求得解析式即可解得. 【详解】（1）∵函数的定义域为，且对于任意，都有成立. ∴是偶函数，当时，，则当时，， ∴，又∵，∴当时，， ∴在定义域上的解析式， 且指数函数在上单调递减， ∴转化为：，∴，解得， ∴不等式的解集为． （2）∵，∴是周期为2的函数， 当时，， 又∵当时，， ∴当时，， 所以在上的解析式为：. 三、【考点演练】 【考点1】函数的奇偶性 22．下列函数当中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义求解即可. 【详解】选项A.因为，所以该函数不是减函数，该选项不符合题意. 选项B.的定义域为，关于原点对称. 且所以该函数为奇函数. 又因为该函数在其定义域内为减函数，该选项符合题意. 选项C.因为，所以该函数不是减函数，该选项不符合题意. 选项D.因为的定义域为，不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 故选：B. 23．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．该函数为偶函数 B．该函数在R上单调递增 C．该函数关于y轴对称 D．该函数的值域是 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的概念，及分段函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以该函数是奇函数，不是偶函数，故选项A错误； 因为函数，函数图像如下图所示：    故该函数在R上单调递增，故选项B正确； 由图像可知，该函数图像关于原点中心对称，不关于y轴对称，故选项C错误； 该函数的值域是R，故选项D错误； 故选：B. 24．已知是上的奇函数，且，，则（    ） A． B． C．3 D．13 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质依次求得，从而得解. 【详解】因为是上的奇函数，，， 所以，， 则. 故选：C. 25．设二次函数是偶函数，则（    ） A．0或1 B．0或 C． D．0 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义求解即可 【详解】二次函数的定义域为，关于原点对称. 因为二次函数是偶函数， 所以，且, 化简得，解得，解得. 故选：D. 26．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)求证：在上单调递减. 【答案】(1). (2)偶函数，理由见详解. (3)证明见详解. 【分析】（）根据题意令，即可得解. （）根据题意结合偶函数的定义即可得解. （）任取，且结合题意及减函数的定义即可得解. 【详解】（1）因为函数满足， 令，， 则，解得. （2）由题意可知函数的定义域为， 令，则，解得， 令，则， 所以函数为偶函数. （3）任取，且， 令，， 则， 即， 因为，则，所以， 所以， 所以函数在上单调递减. 27．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，的所有解的和为 . 【答案】4 【分析】根据题意结合奇函数的性质，求出函数在的解析式，利用函数的对称性与周期性作出函数图象即可得解. 【详解】因为当时，，则当时，， 为定义在上的奇函数，则当时，， 所以当时，函数， 因为，所以函数图象关于对称， 将替换为得，即， 再将替换为得，所以， 则函数的周期为，作出图象，如图，    由图象可知，在上，函数与共有四个交点，设从左到右分别为， 则关于直线对称，关于直线对称， 所以；， 所以， 故答案为：. 28．设，函数； (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得； （2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以，可得， 此时， 所以时，为奇函数； （2）可化为， ①当时， 上式可转化为对任意成立， ，，解得； ②当时， 恒成立，所以符合题意； ③当时，上式可转化为对任意成立， ，显然不满足题意. 综上所述，. 【考点2】函数的周期性 29．已知函数满足：当时，总有，且，，，则（      ） A．0 B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】由题意可得3是函数的一个周期，利用周期性求值即可． 【详解】∵函数满足：当时，总有， ∴3是函数的一个周期， ∴． 故选：D． 30．已知函数则（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据函数的周期性，指数幂的运算，分段函数的概念即可求解. 【详解】当时，，故当时，为周期函数，且周期为1， 所以. 又当时，，所以，所以. 故选：C. 31．最大值为3，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于AC，利用正弦函数的性质直接判断即可，对于BD，先利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质判断即可. 【详解】选项A：，最小正周期为， 又，则， 所以的最大值为3，故A正确； 选项B：， 所以最大值为，故B错误； 选项C：，的最小正周期为，故C错误； 选项D：， 所以最大值为，故D错误. 故选：A. 32．已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，都有 ，当 时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数是奇函数以及推出函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性将转化为已知区间内的函数值进行求解. 【详解】已知函数 是定义在 上的奇函数，则， 又因为， 则， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为当 时，， 所以， 故答案为： 33．已知函数满足：①对任意，，成立；②当时，，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数的奇偶性与周期性求值即可. 【详解】函数满足：①对任意，， 所以，为奇函数， 又由，可得，即， 由此可知为周期函数，且， 所以， 当时，可得， 所以， 故答案为：1. 34．已知是定义在上的函数，当时，． (1)若是奇函数，求的值，并求出时，的解析式； (2)若是偶函数，，且对于任意，都有，求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）根据奇函数的性质可知，代入求得的值，在由即可得出结果. （2）由偶函数得，代入求出的值，根据偶函数和函数的周期性求值即可. 【详解】（1）若是奇函数，则， 即，所以． 当时，，当时，， 此时，又因为是奇函数，， 所以时，． （2）因为是偶函数，， 所以，即，， 当时，，所以 又因为时，， 所以当时，是以2为周期的周期函数， 又由是偶函数，， 则，， ，， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $