专题7 函数的单调性及最值 - 2026年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2026年职教高考数学必刷题 专题7 函数的单调性及最值 一、【考点剖析】 考点 考题方向 函数的单调性 函数单调性的判断 求函数的单调区间 根据函数的单调性求参数 根据函数的单调性解不等式 函数的最值 利用函数的单调性求函数的值域或最值 由函数的最值或值域求参数 二、【真题精练】 题型一、函数的单调性 1．（24-25高三下·浙江·职教高考）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·新疆·职教高考）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·山东·职教高考）已知函数在定义域上是减函数． (1)若，求实数的取值范围． (2)若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 10．（23-24高三·山东泰安·二模）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7 (1)求的值； (2)证明：函数是上的增函数 11．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 12．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 题型二、函数的最值 13．（24-25高一上·河北邯郸·期末）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（   ）. A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为 C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为 14．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 15．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 16．（22-23高三下·天津·职教高考）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求不等式的解集； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 17．（22-23高三·江西·模拟预测）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 18．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 19．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设，函数. (1)设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 三、【考点演练】 【考点1】函数的单调性 20．函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 21．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数的图像如下图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．函数在区间上是增函数 B．函数在区间上是单调函数 C．函数只有一个单调减区间 D．区间是函数的单调增区间 23．已知是定义在R上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 24．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A．   B．   C．   D．   25．已知函数在区间上是减函数，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 26．已知函数.求： (1)函数的定义域； (2)判断函数在其定义域上的单调性并证明. 27．已知函数的图像过点. (1)求实数的值； (2)求证：函数在上是减函数. 【考点2】函数的最值 28．若函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D．2 29．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 30．已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 31．已知二次函数满足，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考数学必刷题 专题7 函数的单调性及最值 一、【考点剖析】 考点 考题方向 函数的单调性 函数单调性的判断 求函数的单调区间 根据函数的单调性求参数 根据函数的单调性解不等式 函数的最值 利用函数的单调性求函数的值域或最值 由函数的最值或值域求参数 二、【真题精练】 题型一、函数的单调性 1．（24-25高三下·浙江·职教高考）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的对称轴和开口方向得到其单调性，再由时的值域，得到，进而得到方程有两个且大于1的实根m和n，由得到，设，分析的性质得到，得到，即可解得. 【详解】函数，可知抛物线开口向上，对称轴为， 所以二次函数在上单调递增， 又当时，其值域为， 得，即， 所以方程有两个且大于1的实根m和n，， 即，解得， 设，开口向上，对称轴为，则， 当时，函数单调递减， 所以当时，，，解得， 综上，. 故选：C 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求得结果. 【详解】易知幂函数是奇函数且在上单调递增， 所以可化为， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 5．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 因为，所以，故选项A错误； 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D错误； 故选：C. 6．（22-23高三下·新疆·职教高考）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A 7．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，，由的性质可得答案. 【详解】由题意得，，. 又在为单调递增函数. 所以. 故选：D. 8．（2025高三·全国·专题练习）若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，奇偶性即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以. 在上是减函数，. 即. 故选：B. 9．（24-25高三下·山东·职教高考）已知函数在定义域上是减函数． (1)若，求实数的取值范围． (2)若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）结合函数的单调性，得到不等式，解出即可． （2）根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为不等式在上单调递减，又， 则，解得， 所以的取值范围为． （2）设且，由单调递减，得， 则，即， 故在上单调递增． 10．（23-24高三·山东泰安·二模）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7 (1)求的值； (2)证明：函数是上的增函数 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据得到是单调增函数，则最大值最小值之差即可表示，解出a即可. （2）利用定义法证明单调性即可． 【详解】（1）因为，指数函数在定义域上单调递增， 即在定义域上是单调递增， 故函数在区间上的最大值与最小值之和为， 解得（负值舍去）. （2）=，不妨设，， 则 . 因为，所以，即，而， 所以，得到， 所以函数是上的增函数. 11．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解. （2）先求解函数的单调性，再由单调性即可求解不等式. 【详解】（1）由，可得， 解得或 因为，所以. （2）由（1）知，定义域为， 任取， 所以， 因为，所以，即，， 所以，即， 所以函数在R上为增函数， 因为，所以， 解得， 所以x的取值范围为. 12．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 题型二、函数的最值 13．（24-25高一上·河北邯郸·期末）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（   ）. A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为 C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性及单调性的定义即可得解. 【详解】奇函数在上为增函数，且最大值为，所以， 因为奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 函数在上为增函数，所以有最小值为， 故选：. 14．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 【答案】B 【分析】先根据函数是偶函数，得到参数，再分析函数的单调性，即可求解. 【详解】∵是上的偶函数， ∴，即. 故函数为，在单调递减，在单调递增. 因此，在区间上的最小值为 故选：B. 15．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】A 【分析】根据函数解析式的单调性分析选项即可. 【详解】， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故A正确，B错误， 既不存在最大值，也不存在最小值，故C，D错误. 故选：A. 16．（22-23高三下·天津·职教高考）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求不等式的解集； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)对称轴为，顶点坐标为 (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）将二次函数解析式化简为顶点式求解即可； （2）借助一元二次不等式求解即可； （3）根据函数的对称轴与开口方向确定函数的单调性，进而求解最值即可； 【详解】（1）因为二次函数， 所以其对称轴为，顶点坐标为； （2）由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）由题意，， 所以函数的对称轴为，图象开口向上， 因为，所以在上单调递增， 所以， 所以函数在区间上的最大值为9，最小值为. 17．（22-23高三·江西·模拟预测）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 【答案】(1) (2)a的值为，的最小值为，无最大值 【分析】（1）由二次函数的对称轴公式求解即可； （2）将代入计算，求得a的值，再由二次函数的图象和性质求得的最值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 所以的对称轴为. （2）因为二次函数， 由可得，，解得， 所以， 该函数函数图象开口向上，由（1）知对称轴为， 在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 故当时，取小值，；无最大值， 综上所述，a的值为，的最小值为，无最大值. 18．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 19．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设，函数. (1)设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【详解】（1）由题意可设，， 则与是方程的两根， 所以，， 因为， 所以， 整理得，解得或. （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 三、【考点演练】 【考点1】函数的单调性 20．函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 21．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数的性质直接得解． 【详解】由一次函数的性质可知，函数在上为增函数， 故选：A. 22．已知函数的图像如下图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．函数在区间上是增函数 B．函数在区间上是单调函数 C．函数只有一个单调减区间 D．区间是函数的单调增区间 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义可判断结果. 【详解】由图可知，函数在区间上是减函数，故A错误； 函数在区间上有增，有减，不是单调函数，故B错误； 函数的单调减区间为：和，故C错误； 函数在区间上是增函数，即区间是函数的单调增区间，故D正确. 故选：D 23．已知是定义在R上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的性质以及复合函数的概念求解即可. 【详解】由题意知，， 所以，， 因为，所以， 又因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 故，所以． 故选：B． 24．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的单调性定义主线判断即可得解. 【详解】选项，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故在定义域内不具有单调性； 选项，函数在定义域内为单调递增函数，故正确； 选项，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故在定义域内不具有单调性； 选项，函数分别在及上单调递减，但存在，，使，故在定义域内不具有单调性； 故选：. 25．已知函数在区间上是减函数，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间上是减函数， 所以. 故选：B. 26．已知函数.求： (1)函数的定义域； (2)判断函数在其定义域上的单调性并证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据算术平方根底数为非负，即可求解. （2）根据函数单调性的定义，即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则， 即函数的定义域为. （2）令， 则， 则，所以， 所以函数在定义域上单调递增. 27．已知函数的图像过点. (1)求实数的值； (2)求证：函数在上是减函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入函数解析式中列方程求解即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 则，解得. （2）由（1）可得，， 设为上任意两个不相等的实数，且， 则， ， 因为，所以，且，， 则， 所以函数在上是减函数. 【考点2】函数的最值 28．若函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性求出的值即可得解. 【详解】函数，斜率，所以在上为减函数， 所以当时，函数值最大，则， 当时，函数值最小，则， 所以， 故选：. 29．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法求得在上的最大值与最小值，再列不等式求出实数a的取值范围． 【详解】由，得， ， 当时， ， 所以，则； 又， 因为，所以， 即，则． 所以， 即，可得，所以实数a的取值范围为． 故选：B． 30．已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 【答案】(1) (2)a的值为，的最小值为，无最大值 【分析】（1）由二次函数的对称轴公式求解即可； （2）将代入计算，求得a的值，再由二次函数的图象和性质求得的最值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 所以的对称轴为. （2）因为二次函数， 由可得，，解得， 所以， 该函数函数图象开口向上，由（1）知对称轴为， 在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 故当时，取小值，；无最大值， 综上所述，a的值为，的最小值为，无最大值. 31．已知二次函数满足，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意假设，再利用待定系数法即可得解； （2）利用恒成立问题得到，从而得解. 【详解】（1）依题意，设， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）因为不等式恒成立，所以， 而，则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $