专题4 一元二次不等式 - 2026年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2026年职教高考数学必刷题 专题4 一元二次不等式 一、【考点剖析】 考点 考题方向 解一元二次不等式 1.解不含参数一元二次不等式 2.解含参数一元二次不等式 3.由一元二次不等式的解确定参数 一元二次不等式恒成立问题 1.“三个二次”的关系 2.一元二次不等式恒成立问题 3.一元二次不等式有解问题 一元二次不等式的应用 一元二次不等式在生活中的应用 二、【真题精练】 题型一、解一元二次不等式 1．（24-25高三下·山东·职教高考）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系可将不等式变形，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根是和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：A. 2．（20-21高三下·河南·职教高考）设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程化简集合，结合交集的定义即可得解. 【详解】，解得， 所以， 那么， 故选：. 3．（24-25高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元二次不等式的方法即可求解. 【详解】已知， 则或， ， ，无解， 故不等式的解集为， 故选：C 4．（24-25高三下·安徽·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解后利用二次函数的图象性质即可求解． 【详解】∵不等式因式分解为， ∴， ∴不等式的解集为， 故选：C． 5．（24-25高三下·山东菏泽·一模）已知关于x的不等式的解集为， ①； ②不等式的解集为； ③； ④的解集为． 则上述说法中正确的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集的特征可知，①正确；利用一元二次不等式，一元二次方程之间的关系，可得，，代入可判断②④正确，③错误. 【详解】由于不等式的解集为， 根据一元二次不等式的解集的特征可知，①正确； 由题可得，一元二次方程的解为和3， 由韦达定理，得，，得，， 由于，即，由得，即，②正确； ，③错误； ，由得，即 其解集为，④正确． 故选：C 6．（24-25高三下·江苏·二模）“”是“不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为恒成立，则，解得. 则“”不一定可得“不等式恒成立”， “不等式恒成立”可得“”. 所以“”是“不等式恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象结合一元二次方程的根即可求解. 【详解】由二次函数的图像知， 方程的两根为，且， 不等式的解集是. 故选：A. 8．（24-25高三下·山东青岛·二模）不等式的解集与的解集相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出不等式的解集，再根据解集以及韦达定理求解. 【详解】不等式的解集为，解得. 则或是的解. 则，解得. 故选：C. 题型二、一元二次不等式恒成立问题 9．（24-25高三下·福建·模拟预测）已知不等式的解集为，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程、二次函数间的关系，列不等式可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，即， 解得， 所以b的取值范围为. 故选：B 10．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知二次函数的顶点在轴上，则（    ） A．2 B．4或 C．或 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的图象性质得到对应二次方程的判别式为零，从而得解. 【详解】因为的顶点在轴上， 所以对应二次方程只有一个解， 则，解得或. 故选：C. 11．（24-25高三下·浙江·三模）已知函数的图像与轴相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数与一元二次不等式的关系即可得解. 【详解】因为函数的图像与轴相交于，两点， 所以， 即所求不等式即为，又， 不等式可化为，即解集为. 故选：B. 12．（24-25高三下·浙江·模拟预测）已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，恒成立，可得，，两式联立即可得的值. 【详解】，则， ， 恒成立，则恒成立, , 由得 即 , 故选：A. 13．（17-18高三下·浙江温州·三模）已知，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】根据得出即，求出二次函数对称轴，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为，对任意恒成立， 所以，解得， 又函数的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 所以点到对称轴的距离越远，函数值越大， 显然，所以， 题型三、一元二次不等式的应用 14．（24-25高三·全国·对口/高职单招）某种产品的总成本（单位：万元）与产量（单位：台）之间满足函数关系式，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．200台 B．150台 C．100台 D．50台 【答案】B 【分析】根据题意，可得，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，要使生产者不亏本，则满足， 整理得，即， 解得或（舍去）， 即生产者不亏本时最低产量是150台． 故选：B. 15．（24-25高三上·湖北·二模）某种汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车刹车前的车速之间有如下关系：，若在一次交通事故中，测得某辆汽车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得求解即可. 【详解】由题意，某辆汽车的刹车距离不小于， 可得，解得或（舍）， 故这辆汽车刹车前的车速至少为. 故答案为：. 16．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）如图所示，某学校计划利用长为的建筑材料靠墙修一间矩形实验器材储藏场地（假设墙足够长）. (1)如果矩形实验器材储藏场地的面积不小于，求与墙垂直的建筑材料的长度范围； (2)当矩形实验器材储藏场地的长、宽各是多少时，其面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当矩形实验器材储藏场地的长是、宽是时，其面积最大，最大面积是 【分析】（1）设与墙垂直的一边的建筑材料的长度为，则与围墙平行的建筑材料的长度为，矩形实验器材储藏场地的面积为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，并使其不小于，求解不等式即可. （2）根据二次函数的顶点公式求值即可. 【详解】（1）设与墙垂直的一边的建筑材料的长度为， 则与围墙平行的建筑材料的长度为， 矩形实验器材储藏场地的面积为， 由题意得，即， 解得， 故与墙垂直的建筑材料的长度范围为. （2）由（1）可知， 矩形场地的面积， 因为y是关于x的二次函数， 所以当时，y有最大值， 且， 此时， 因此，当矩形实验器材储藏场地的长是、宽是时， 其面积最大，最大面积是. 17．（22-23高三下·山东济南·一模）北京冬奥会期间，某商场购进一批冰墩墩钥匙扣，将进价为20元的钥匙扣以45元售出，平均每天能售出50个．现商场决定采取降价措施，但必须保证盈利．通过调查发现这种钥匙扣的售价每降低1元，平均每天就能多售出10个．设降价元，利润为元． (1)写出与的函数关系式 (2)物价部门规定，每个钥匙扣获利必须低于，为了便于销售，商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每天销售利润高于元？ 【答案】(1)，且 (2)31元 【分析】（1）根据题意，根据“总利润=(售价-进价)*销售件数”，列出函数解析式； （2）根据题意，每个钥匙扣获利必须低于，列出不等式，并进行求解． 【详解】（1）当降价为元时，每天多售出个， ∴利润，且． （2）因为每个钥匙扣获利必须低于， 所以，得． 令， 解得． 所以，因为售价为整数，所以． 所以定价为：（元）． 答：每个钥匙扣定价31元时，商场每月销售利润高于2000元． 18．（24-25高三·江苏·模拟预测）某地区上年度电价为元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元）.（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (1)写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式； (2)当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? (3)当时，求收益的最小值. 【答案】(1)， (2)0.6元 (3) 【分析】（1）由题意，列出收益为与实际电价的函数解析式即可； （2）由（1）得，由收益比上年至少增长，列出不等式求解即可； （3）将代入，通过换元由基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为， 故电力部门的收益，. （2）当时，， 由题意知且， 化简得，解得或， 又，， 所以实际电价最低定为：0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. （3）当时，， 令，，， ， ， 当且仅当时取等号， 故收益的最小值. 19．（23-24高三·山东济南·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：（m，n是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图，如图所示.    (1)求m，n的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)， (2)70千米/时 【分析】（1）将图象上的两个点代入到解析式中即可求解； （2）根据刹车距离可列出二次不等式，即可求出行驶的最大速度. 【详解】（1）由题意函数过点，代入得, 解得，. （2）由（1）得，要使刹车距离不超过25.2米， 即，解得，又， ，即该型号汽车行驶的最大速度为70千米/时. 20．（23-24高三下·山东·一模）某公司原有员工100人，从事产品的生产时，平均每人每年创造产值10万元．现该公司决定从原有员工中分流人去进行新开发产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了．设分流后，产品的年产值为元． (1)写出与的函数关系式； (2)若分流后产品的年产值不低于分流前的年产值，求的最大值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）根据题意解二次不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 且． （2）由题意知，分流前每年创造的产值为（元）， 则， 即，解得． 因为，且，所以的最大值为16． 三、【考点演练】 【考点1】解一元二次不等式 21．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，即， 解得或， 所以不等式的解集是或， 故选：B. 22．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由不等式，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A. 23．“”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为，解得或， 则当时，成立，故充分性成立； 当，解得或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：. 24．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的解集和根与系数的关系可得，从而得到不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， ，且和2是方程的两个根， 则，可得， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：A. 25．“”是“不等式恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为恒成立，则，解得. 则“”不一定可得“不等式恒成立”， “不等式恒成立”可得“”. 所以“”是“不等式恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 26．若不等式的解集是，则（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意，，是方程的两根，利用韦达定理求、的值，据此可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，是方程的两根， 则 ，所以．   故选：D. 【考点2】一元二次不等式恒成立问题 27．若二次函数的图像如图所示，且关于x的方程有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（     ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数图像与一元二次方程根的关系，可将关于x的方程有两个不相等的实根转化为二次函数与直线的图像交点的个数问题，即可求解. 【详解】因为关于x的方程有两个不相等的实根， 即二次函数与直线的图像有两个交点， 由二次函数的图像可知，. 即常数k的取值范围是. 故选：D. 28．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在上恒成立，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】若，则，解得，不符合题意. 若，则一元二次不等式在上恒成立，有， 解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 29．若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，求出代数式的最小值，结合题意列式即可求解. 【详解】因为，且x，y为正实数， 所以， 所以. 因为不等式 有解， 所以， 所以， 即， 解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 【考点3】一元二次不等式的应用 30．某消毒液浓度要求时有效，生效时间（小时）为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】，解得或. 故选：A. 31．小王于年初用万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元（国家规定大货车的报废年限为年）． (1)大货车运输到第几年年底，该车的运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大?（利润累计收入销售收入总支出） 【答案】(1)第年 (2)第年年底 【分析】（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，则，化简后根据二次函数的性质求出的取值范围，进而得到答案； （2）首先根据“利润累计收入销售收入总支出”表示出年平均利润为，再根据年平均利润的表达式，结合基本不等式即可求得年平均利润的最大值. 【详解】（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元， 即， 即， 由，解得， 而， 故从第年开始运输累计收入超过总支出． （2）销售二手货车后，小王的年平均利润为 ， 而， 当且仅当时，等号成立， 即小王在第年年底将大货车出售，能使年平均利润最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考数学必刷题 专题4 一元二次不等式 一、【考点剖析】 考点 考题方向 解一元二次不等式 1.解不含参数一元二次不等式 2.解含参数一元二次不等式 3.由一元二次不等式的解确定参数 一元二次不等式恒成立问题 1.“三个二次”的关系 2.一元二次不等式恒成立问题 3.一元二次不等式有解问题 一元二次不等式的应用 一元二次不等式在生活中的应用 二、【真题精练】 题型一、解一元二次不等式 1．（24-25高三下·山东·职教高考）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高三下·河南·职教高考）设集合，那么（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·四川·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·安徽·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·山东菏泽·一模）已知关于x的不等式的解集为， ①； ②不等式的解集为； ③； ④的解集为． 则上述说法中正确的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 6．（24-25高三下·江苏·二模）“”是“不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·山东青岛·二模）不等式的解集与的解集相同，则（    ） A． B． C． D． 题型二、一元二次不等式恒成立问题 9．（24-25高三下·福建·模拟预测）已知不等式的解集为，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知二次函数的顶点在轴上，则（    ） A．2 B．4或 C．或 D． 11．（24-25高三下·浙江·三模）已知函数的图像与轴相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·浙江·模拟预测）已知函数（为常数），满足，且恒成立，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（17-18高三下·浙江温州·三模）已知，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 题型三、一元二次不等式的应用 14．（24-25高三·全国·对口/高职单招）某种产品的总成本（单位：万元）与产量（单位：台）之间满足函数关系式，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．200台 B．150台 C．100台 D．50台 15．（24-25高三上·湖北·二模）某种汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车刹车前的车速之间有如下关系：，若在一次交通事故中，测得某辆汽车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 16．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）如图所示，某学校计划利用长为的建筑材料靠墙修一间矩形实验器材储藏场地（假设墙足够长）. (1)如果矩形实验器材储藏场地的面积不小于，求与墙垂直的建筑材料的长度范围； (2)当矩形实验器材储藏场地的长、宽各是多少时，其面积最大？最大面积是多少？ 17．（22-23高三下·山东济南·一模）北京冬奥会期间，某商场购进一批冰墩墩钥匙扣，将进价为20元的钥匙扣以45元售出，平均每天能售出50个．现商场决定采取降价措施，但必须保证盈利．通过调查发现这种钥匙扣的售价每降低1元，平均每天就能多售出10个．设降价元，利润为元． (1)写出与的函数关系式 (2)物价部门规定，每个钥匙扣获利必须低于，为了便于销售，商场将每个钥匙扣的售价定为整数，问每个钥匙扣定价多少元时，商场每天销售利润高于元？ 18．（24-25高三·江苏·模拟预测）某地区上年度电价为元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元）.（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (1)写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式； (2)当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? (3)当时，求收益的最小值. 19．（23-24高三·山东济南·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：（m，n是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图，如图所示.    (1)求m，n的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 20．（23-24高三下·山东·一模）某公司原有员工100人，从事产品的生产时，平均每人每年创造产值10万元．现该公司决定从原有员工中分流人去进行新开发产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了．设分流后，产品的年产值为元． (1)写出与的函数关系式； (2)若分流后产品的年产值不低于分流前的年产值，求的最大值． 三、【考点演练】 【考点1】解一元二次不等式 21．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 22．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．“”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 24．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 25．“”是“不等式恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．若不等式的解集是，则（     ） A． B． C．2 D． 【考点2】一元二次不等式恒成立问题 27．若二次函数的图像如图所示，且关于x的方程有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（     ）    A． B． C．或 D． 28．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【考点3】一元二次不等式的应用 30．某消毒液浓度要求时有效，生效时间（小时）为（    ） A．或 B． C． D． 31．小王于年初用万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元（国家规定大货车的报废年限为年）． (1)大货车运输到第几年年底，该车的运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大?（利润累计收入销售收入总支出） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $