柯西不等式 专项训练-2026届高三数学一轮复习

柯西不等式专题训练20题（学生版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 4．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 5．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 二、填空题 7．设向量，，其中，由不等式恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当∥，即时等号成立），已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 8．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 9．柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 10．对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为 ． 11．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 12．在一次数学兴趣课上，老师给出了一道试题给大家讨论： “已知不全为零的实数a、b、c满足，求的最大值.” 甲很快提出自己的见解：这不就是柯西不等式么，直接可以求； 乙：柯西不等式我不是很清楚，但是我觉得可以构造向量的数量积解决问题； 丙：我愿意尝试一下消元，看看字母少点会不会好做点； 丁：这与解析几何中的距离公式相似，能不能尝试推广到空间. 聪明的你可以尝试使用他们的说法，或者自己设计思路可得其正确的最大值为 . 13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”： （1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用表示为 ；            （3）右图中阴影区域的面积为 ； （4）则柯西不等式用字母可以表示为． 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ． 14．已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 ． 15．已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为　　. 三、解答题 16．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.若，求的最小值； 17．在中，对应的边分别为. (1)求A； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 18．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 19．柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设，，不全为0，不全为0，则，当且仅当存在一个数k，使得时，等号成立． (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设P是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值； (3)已知无穷正数数列满足： ①存在，使得； ②对任意正整数i、，均有. 求证：对任意，，恒有. 20．在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $柯西不等式专题训练20题（学生版） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.二 维柯西不等式为(a2+b2)(c2+d)≥(c+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.已知a>0,b>0,直线 y=2x-3a与曲线y=n(2x+b)相切，则Va+B历的最大值为() 3 A.3 B. 6 c.25 D. VG 3 3 3 2 2.柯西不等式(Cacy一SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它 在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2)(c2+d)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc 时即_时等号成立根据柯西不等式可以得知函数f()=34-3x+√3x-2的最大值为（） A.2W5 B.23 C.V10 D.√13 3.“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式 应当称为柯西--布尼亚科夫斯基·-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而 广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4-5中给出了二维形式的柯西不等式： (a2+b2)c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc(即- :)时等号成立.该不等式在数学中证明不等式 cd 和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数f(x)=2√5-x+√x-4的最大值及取得最 大值时x的值分别为() A.5 B c.v13, 13 D.. 4.柯西不等式(Caulhy-Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用现给出一个二维柯西不等式：(c++d≥a©+bd),当且仅当名时等 号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3W4-3x+√3x-2的最大值为() A.25 B.2√3 C.12 D.20 5.柯西不等式(Caulhy-Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(d+b)c+d)≥ac+b?,当且仅当=b时等 号成立.根据柯西不等式，已知x>0,y∈R,且x2+y-x+5y=30,则√2-x+V30-3y的最大值为() A.5 B.6 c.26 D.3√2 6.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数”问题时得到的.而后来有两位数 学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步】 该不等式的三元形式如下：对实数4,4,4和b,b,b,有(aG+a+a)b+b好+b)≥(ab+a,b,+a,b)等 号成立当且仅兰各-会已知±y+z=14,请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是() A.14 B.12 C.10 D.8 二、填空题 7.设向量a=(a,b),B=(,m,其中a,b,,n∈R,由不等式dB≤a恒成立，可以证明（柯西）不 等式(am+bm2≤(a2+b2)(m2+n2）(当且仅当a∥E,即am=bm时等号成立)，已知x,y∈R,若 √x+3Vy<k√x+y恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 8.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数问题时得到的一个重要不等式，而柯西 不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=(s,y),五=(xy),由a-≤得 到(+y2)≤(x2+y)(+y),当且仅当xy=xy时取等号.现已知a≥0，b≥0，a+b=9,则 √2a+4+√b+1的最大值为 9.柯西不等式(Cauchy-SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时 等号成立.己知a>0,b>0,直线y=x-2n与曲线y=n(x+b)相切，则上++，+正的最小值 为 10.对任意实数a,b,c,d,均有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+dP),当且仅当ad=bc时等号成立，这个不等式称 为柯西不等式.若关于x的方程e2+e“+(e*+e*)=1-u有实根，则22+的最小值为一 11.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课.在 某次主题是“向量与不等式的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）： 当向量ā=(，y),五=y,)时，有a.≤f,即(sx,+yy)》≤(+)(x+,当且仅当x出=xy 时等号成立；学生乙从这个结论出发.作一个代数变换，得到了一个新不等式： (xx2-y,)≥(x-)(x号-，当且仅当x2=x2y时等号成立，并取名为“类柯西不等式”.根据前面的 结论可知：当x∈R时， 2x+1x的最小值是 12 12.在一次数学兴趣课上，老师给出了一道试题给大家讨论： la+2b+3d 已知不全为零的实数a、b、c满足a+b+c=0,求 的最大值” √d+b2+c2 甲很快提出自己的见解：这不就是柯西不等式么，直接可以求： 乙：柯西不等式我不是很清楚，但是我觉得可以构造向量的数量积解决问题： 丙：我愿意尝试一下消元，看看字母少点会不会好做点： 丁：这与解析几何中的距离公式相似，能不能尝试推广到空间。 聪明的你可以尝试使用他们的说法，或者自己设计思路可得其正确的最大值为 13.高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发，按以下步骤给出 了柯西不等式的“图形证明”： d Q D d B (1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积： (2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为 ； (3)右图中阴影区域的面积为Va2+b2√c2+dsin∠BAD; (4)则柯西不等式用字母ab,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程： 14.己知x,y∈(0，+)，若Vx+3√y<kx+y恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 15.己知正实数x,y,z满足x2+y2十z2=1,正实数a,b,c满足2+b2十c2=9,则十y十cz的最大值 为 三、解答题 16.我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：a,b∈R,2+b2≥2b,当且仅当a=b时，等号成 立.我们从不等式a2+b2≥2b出发，可以得到一个非常优美的不等式一柯西不等式，柯西不等式的一般形 式为：a1,42,,an,b,b2,,bn∈R,且bb2bn≠0， G+d++a)低+6++b的)≥a4+a++ab,尸，当且仅当会-g-=g时，等号成立若 bb, b x+2y+2z=3V3,求x2+y2+-2的最小值： 17.在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c,bsin4A+atanAcosB=2 asinC. B D (1)求A: (2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他 的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应 用.己知三维柯西不等式：，x2,,y,y2,∈R,(y+x2y2+xy)2≤(x+x子+x)y+y+y),当且仅当 主=立=时等号成立在(1)的条件下，若a=3. y y2 y3 (i)求：（a2+b2+c2 的最小值： 1- cos 24 sin(πC) 2 (i)若P是△ABC内一点，过P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F,设△ABC的面积为S, AB 9BCAC 求T= PDPEPF 的最小值. 18.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一， 它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设a,4,4,,4,b,b,b,, b.∈R,(a2+a+…+a)b+b+…+b)≥(ab+a,b2+…+ab)2,当且仅当b=0(i=1,2,,n)或存在 一个数k,使得a=b(i=l,2,…,n)时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式： (2)设P是棱长为√的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为d、d,、d4,、d,求 d+d+d好+d好的最小值： (3)已知正数数列{an}满足：①存在m∈R,使得a≤m(i=1,2,…)；②对任意正整数i、j(i≠j),均有 .求证：对任意n≥4，neN,恒有21. a-a zi+j 19.柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的元形式为：设a,b,∈R=1,2,,m),4 、2 不全为0，b不全为0，则∑a2∑b≥∑ab,当且仅当存在一个数k,使得4=时，等号成立. 1==1 (1)请你写出柯西不等式的二元形式： (2)设P是棱长为V2的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为d,d,d,，,d4,求 d+d+d+d好的最小值； (3)已知无穷正数数列{a}满足： ①存在m∈R,使得a≤m; ②对任意正整数i、6≠G=12,),均有aa,+ 求证：对任意n≥4，n∈N,恒有m≥1. 20.在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c,bsinA+atan AcosB=2 asin C. (1)求角A的大小： (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以 他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有 着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： (化y+x2y2+xy)2≤(x子+x+x好)y2+y好+y), 其中，，5，，，⅓∈R,当且仅当-立-飞时等号成立，在1)的条件下，若a=3. V V2 V3 @求+b+cL 1 1 1-cos24 Cos2 I-B sin2(+C的最小值： (2 ②若P是△ABC内一点，过点P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F,设△ABC的面积为S,求 T=4BL9BCLACI PDI PE PF 的最小值. 柯西不等式专题训练20题（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 2．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 3．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案． 【详解】由柯西不等式可知： 所以，当且仅当即x＝时取等号， 故函数的最大值及取得最大值时的值分别为， 故选A． 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 5．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 6．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 二、填空题 7．设向量，，其中，由不等式恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当∥，即时等号成立），已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 【答案】 【详解】试题分析：首先不等式变形为，其次利用柯西不等式有 ，即，即的最大值为，而不等式恒成立，则有． 考点：柯西不等式与不等式恒成立问题． 8．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 9．柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 10．对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】令，则可得，可求得，从而可得方程有大于等于2的根，可得，分类讨论可求的最小值. 【详解】令，所以，所以， 由，可得， 整理得， 因为，所以， 所以，解得，当且仅当，即是取等号， 对于方程，由求根公式可得， 因为方程有实根，所以， 即， （1）当，即时，两边平方可得， 所以， 若，即时，， 所以， 当且仅当，时，取等号， 若时，， 当时，不等式恒成立，此时. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于换元后确定方程有大于等于2的根，进而得到，再分类讨论求得最小值. 11．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 12．在一次数学兴趣课上，老师给出了一道试题给大家讨论： “已知不全为零的实数a、b、c满足，求的最大值.” 甲很快提出自己的见解：这不就是柯西不等式么，直接可以求； 乙：柯西不等式我不是很清楚，但是我觉得可以构造向量的数量积解决问题； 丙：我愿意尝试一下消元，看看字母少点会不会好做点； 丁：这与解析几何中的距离公式相似，能不能尝试推广到空间. 聪明的你可以尝试使用他们的说法，或者自己设计思路可得其正确的最大值为 . 【答案】 【分析】确定，再利用柯西不等式计算得到答案；设，，，故，根据向量的夹角公式计算得到最值；确定，代入式子化简得到，换元，再利用二次函数性质计算得到最值；，转化为空间中两点的距离，计算得到答案. 【详解】①：， 根据柯西不等式：，故， 当且仅当，时等号成立； ②：设，，，故， ，，故， 当时，最大， 则，故； ③：，故，， 若，则； 若，则， 设，原式， 设，则， 时，； 时，，解得且， 故， 故，故， 当且仅当，即，时等号成立. 综上所述：的最大值为. ④：表示点到平面的距离， 平面过，最大值为， 故答案为：. 13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”： （1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用表示为 ；            （3）右图中阴影区域的面积为 ； （4）则柯西不等式用字母可以表示为． 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ． 【答案】 （1）两图中的阴影部分面积相等；（2）. 【详解】（2）左图阴影区域面积用表示为两个矩形面积之和； 因为两图中的阴影部分面积相等即 两边同时平方得 14．已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：由柯西不等式得，所以，即. 考点：柯西不等式 15．已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为　　. 【答案】3 【详解】试题分析：由柯西不等式得（ax＋by＋cz）2≤（a2＋b2＋c2）·（x2＋y2＋z2）＝9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，∴ax＋by＋cz的最大值为3. 三、解答题 16．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.若，求的最小值； 【答案】3 【分析】由题目所提供信息，构造柯西不等式可得答案. 【详解】由柯西不等式：. ，当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为3. 17．在中，对应的边分别为. (1)求A； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）108；（ii） 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解； （2）（i）化简为，由三维柯西不等式求解； （ii）由三维柯西不等式有求解． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以，故，又，所以； （2）（i）根据柯西不等式： ， （当且仅当为正三角形时取等号） 即：的最小值为108. （ii）. 又， 由三维柯西不等式有 当且仅当即时等号成立. 所以， 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，令，则， 由二次函数单调性可知，当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问中，要将变形，再利用三维柯西不等式求解． 18．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式； （2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值； （3）时，由，有，由柯西不等式得，进而可得. 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2）由正四面体的体积， 将正四面体放入到棱长为为正方体中， 则, 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题． 第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化． 第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定义的本质并进行推广、运算． 第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰． 19．柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设，，不全为0，不全为0，则，当且仅当存在一个数k，使得时，等号成立． (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设P是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值； (3)已知无穷正数数列满足： ①存在，使得； ②对任意正整数i、，均有. 求证：对任意，，恒有. 【答案】(1)设，，，，则.当且仅当时等号成立 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据柯西不等式的n元形式写出二元形式即可. （2）利用体积分割法结合锥体体积公式求得，然后利用四元柯西不等式求解最值即可. （3）时，由，有由柯西不等式得，可得. 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设，，，，则. 当且仅当时等号成立. （2）正四面体ABCD的体积等于以为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和， 即. 所以，因此. 由柯西不等式得. 从而，当且仅当时等号成立. 因此的最小值为. （3）对，记，，，是1，2，，n的一个排列，且满足. 由条件②得：，于是，对任意的，都有 . 由柯西不等式得 . 所以 . 从而，当时，，故. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题. 第一，准确转化.解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义.紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化. 第二，方法的选取.对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的.角度进行转化.理解题目定义的本质苹并进行推广、运算. 第三，应该仔细审读题目.严格按新信息的要求运用算.解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰. 20．在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①108；②. 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. （2）①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $柯西不等式专题训练20题（教师版） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.二 维柯西不等式为(a2+b2)(c2+d2)上(ac+bd),当且仅当ad=bc时等号成立.已知a>0,b>0,直线 y=2x-3a与曲线y=n(2x+b)相切，则a+3b的最大值为() 3 A.5 B. 6 C.25 D. √6 3 3 3 2 【答案】B 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与b的关系，然后对 所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可， 【详解】设直线y=2x-3a与曲线y=ln(2x+b)相切的切点为(xo,o), 由y=n(2x+b)得y=、2 2x6四22+b=2,即2+b=1 则/%=2，-30 =lh(2,+b)'得2x-3a=h(2x,+b)=h1=0, ,代入2%，+6=1得3a+b=1, 所以x=3 因为a>0,b>0,所以 [厨列古5-{9。 思可o]g广6a+6r 所得-6，，当且当x有a-6梦号成立 故选：B. 2.柯西不等式(Cauchy-一-SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它 在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)}2,当且仅当ad=bc 时即g=时等号成立根据柯西不等式可以得知函数)=3N4-3x+V3x-2的最大值为() A.2W5 B.25 C.0 D.√3 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可 【详解】该函数的定义城为，争、由榈西不等式可得， fx)=-34-3x+3x-2≤V32+1P)(4-3x+3x-2)=2W5, 3 11 当且仅当43x3x一2时取等号，即当x=5时取等号， 故选：A 3.“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式 应当称为柯西--布尼亚科夫斯基--施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而 广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4-5中给出了二维形式的柯西不等式： @2+b2)(2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc(即。-)时等号成立.该不等式在数学中证明不等式 和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数f(x)=2√5-x+√x-4的最大值及取得最 大值时x的值分别为() A5号 B.5,2 5 C.3,1 13 D.V29, 13 【答案】A 【分析】将2√5-x+√x-4代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案. 【详解】由柯西不等式可知：(2W5-x+Vx-4≤(2+P)[√5-x}+√x-4]= 所以2N5-x+V-4≤5，当且仅当2N-4=5-x即x=2头时取等号， 故函数f,=25-x+√-4的最大值及取得最大值时x的值分别为√5,2 故选A. 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 4.柯西不等式(Caulhy-Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：（口2+b')c2+dP)上(ac+bd乃，当且仅当9-时等 "cd 号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4-3x+V3x-2的最大值为() A.25 B.25 C.12 D.20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 4-3x≥0 【详解】由 解得5x 4 3x-2≥0 3 31 所以高数的定义城为后引 由柯西不等式得，f(x)=3V4-3x+3x-2≤V32+1)(4-3x+3x-2)=2V5, 当且仅当4即x君时等号成立。 3 1 15 所以f(x)的最大值为25. 故选：A. 5.柯西不等式(Caulhy-.Schwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用，现给出一个二维柯西不等式：(a2+6c2+d2(c+d，当且仅当。-时等一 号成立.根据柯西不等式，已知x>0,y∈R,且x2+y-x+5y=30,则V2-x+VB0-3y的最大值为() A.5 B.6 C.26 D.32 【答案】C 【分析】变形给定等式可得x+y=6,再将目标式化为√2-x+√3√4+x并利用二维柯西不等式求出最大 值， 【详解】由x2+y-x+5y=30,得x2-x-30+y+5y=0,即(x+5)x+y-6)=0, 由x>0,得x+y=6,则√2-x+30-3=2-x+M2+3x=边-x+8:4+x, 由x>0,2-x≥0，得0<x≤2， 由柯西不等式得（√2-x+√5√4+x)2≤2+(5）]·[(W2-x)2+(4+x)2]=24, 因此2-+54+≤26，当4+-2-区，即x=时取等号， 1 2 所以√2-x+V30-3y的最大值为2√6 故选：C 6.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数”问题时得到的.而后来有两位数 学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步. 该不等式的三元形式如下：对实数a,a,a和h,b,b，有(a+aG+a)(+b+b)≥(a,+a,b+a,b)}等 号成立当且仅兰公=公=公已知2+y+214,请你用柯西不等式，求出x+2y+3江的最大值是（】 A.14 B.12 C.10 D.8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题千中柯西不等式可得(x+2y+3z)≤(x2+y2+z2)12+2+32)=14×14=196, 所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1,y=2,z=3时取等号 故选：A 二、填空题 7.设向量a=(a,b),B=(m,n),其中a,b,m,n∈R,由不等式a·Bsa恒成立，可以证明（柯西）不 等式(am+bn)2≤(a2+b2)(m2+n2)(当且仅当a∥B,即an=bm时等号成立)，已知x,y∈R,若 √+3√下<kVx+y恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 【答案】k>√10 【详解】试题分析：首先不等式G+3<k+y变形为F+3 ,其次利用柯西不等式有 vx+y (+3)月 s0+3X+5)=10x+功.即+35≤而，即+35的最大值为V0,而不等式 x+y vx+y k>+35恒成立，则有>而。 x+y 考点：柯西不等式与不等式恒成立问题. 8.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西 不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=(:,),方=(x2),由a.≤得 到(xx+yy2)≤(+)(x号+)，当且仅当x2=x,y时取等号.现已知a≥0，b≥0，a+b=9,则 √2a+4+Vb+1的最大值为 【答案】6 【分析】令x=V2,y=1,x2=√a+2,为2=Vb+1,代入公式即可得解. 【详解】令x=V2,=1,x3=Va+2,y2=b+1, 又a≥0，b≥0，a+b=9, 所以(N2a+4+b+1≤(2+1)a+2+b+1上3×12=36， 所以√2a+4+Vb+1≤6， 当且仅当√2Vb+1=√a+2,即a=6,b=3时取等号， 所以√2a+4+√b+1的最大值为6. 故答案为：6 9.柯西不等式(Cauchy--SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在 数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时 等号成立已知a>0.b>0,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则上++，+ a+b 的最小值 为 【答案】10 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与b的关系，然后 对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值， 【详解】由y=nx+0),所以b设切点为（化小则 =1,故x=1-b 又=-2a,y=ln(x+b),所以%=ln(x。+b)=0,x-2a=0,所以2a+b=1, 所以 1++,+=1+ -188+9b+160≥26+2b160-10, 55 5a 5b 55a 5b 3-49b16a 当且仅当a5b5a5动 36=时等号成立，所以上+++万的最小值为10， 2 即a= 10051 故答案为：10 10.对任意实数a,b,c,d,均有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),当且仅当ad=bc时等号成立，这个不等式称 为柯西不等式.若关于x的方程e2+e2“+(e+e)=1-4有实根，则2+的最小值为一· 【答案】0.2 【分析】令t=e+e,则可得2-2+t=1-,可求得1≥2，从而可得方程1-2+t=1-u有大于等于2 的根，可得V22-4(u-3)≥1+4，分类讨论可求+2的最小值. 【详解】令t=e+e,所以r=(e+e)=e2r+2+e2r,所以e2+2+e2r=2-2, 由e2r+e2r+(e+e）=1-,可得2-2+t=1-u, 整理得t2+2t+4-3=0, 2 因为e2×1+e2×1 ≤(e+e)(+P）,所以e*+e+2≤(e+e)+1P), 所以+2≤21，解得122，当且仅当ex1=e立x1,即x=0是取等号， 对于方程++“-3=0，由求根公式可得，=±P-4(“-习 2 因为方程有实根1≥2，所以1=2+V-4(u-3 >2, 即V2-4(4-3)≥元+4， (1)当元+4≥0，即1≥-4时，两边平方可得2-44+12≥元2+8+16， 所以4≤-22-1， 若-21-1≤0，即2号时，“≥22+， 所以+re-4i+1+写兮写 当且仅当一，4=时，取等号) 5 者4s, 当1<-4时，不等式V2-4(4-3)22+4恒成立，此时22+42216> 5 综上所述：是+：的最小值为5 故答案为：5 1 【点睛】关键点点睛：关键在于换元后确定方程2-2+t=1-4有大于等于2的根，进而得到 V2-4(μ-3)≥1+4，再分类讨论求得最小值， 11.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课.在 某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）： 当向量ā=(：y),6=(y2)时，有a.≤，即(x+}≤(x+)(:+),当且仅当=xy 时等号成立；学生乙从这个结论出发.作一个代数变换，得到了一个新不等式： (xx-y)》≥(-)（号-），当且仅当=出时等号成立，并取名为“类柯西不等式”.根据前面的 结论可知：当x∈R时， 1一一2的最小值是 2x2+1x2+1 【答案】-1 【分析】根据不等式(x-)(x-)≤(x)构造不等式左侧 (2422[er+r+2刃求解即时 1 1 2 1 4 【详解】由题意得 2x2+1x2+12x2+12x2+2 1 4 则2r2r+2[2r+2r+2月 aa-azja可可 2x2+2=1, v2x2+2 当且仅当2+1 1-V2x2+2= 2 √2x2+2 V2x2+1,即x=0时，等号成立， 同21242+2r+2]s072x51. 1 4 所以2，，，4，之-1，最小值为-1，此时x=0. 2x2+1x2+12x2+12x2+2 故答案为：-1. 12.在一次数学兴趣课上，老师给出了一道试题给大家讨论： “已知不全为零的实数a、6、c满足a+b+c=0,求口+26+3d 的最大值” Va2+b2+c2 甲很快提出自己的见解：这不就是柯西不等式么，直接可以求； 乙：柯西不等式我不是很清楚，但是我觉得可以构造向量的数量积解决问题； 丙：我愿意尝试一下消元，看看字母少点会不会好做点： 丁：这与解析几何中的距离公式相似，能不能尝试推广到空间。 聪明的你可以尝试使用他们的说法，或者自己设计思路可得其正确的最大值为 【答案】√2 a+26+3c -a+c 【分析】确定 Va2+b2+c2 Va2+b2+c2 ,再利用柯西不等式计算得到答案；设a=(L,l,),m=(a,b,c), n=(1,2,3),故a·m=0,根据向量的夹角公式计算得到最值；确定c=-a-b,代入式子化简得到 a b a+2b+3c b+2c 1+ 6 换元二+1=1，再利用二次函数性质计算得到最值： a Va2+b2+c2 Va2+b2+c2 a 转化为空间中两点的距离，计算得到答案. a+26+3c 【详解】①： -a+c Va2+b2+c2 va2+b2+c2 现据柯西不等式：@+公+c+0+2-a+©，放2， 当且仅当a=-c,b=0时等号成立： ②：设a=(1,l,1),m=(a,b,c),n=(1,2,3)，故am=0, cos(a,n）= an。l6_√42 有a子，a可e@小，故ma9, 当a+@-5时，cos血》最大， m |a+2b+3c a+26+3c 则cosm,n）= ≤2 mn va2+b2+c2.14 7’故 Va2+b2+c2 a+26+3c (2a+b ③：a+b+c=0,故c=-a-b, Va2+b2+c2 2a2+2b2+2ab (2a+b 若a=0,则 V2 √2a2+2b2+2ab 2 2a+b 2+6)° 若a≠0，则 √2a2+2b2+2ab 设2+1=1， 原式 1 3t 设？-+1 =m, 则t2-(m+3)t+m=0, m=0时，t=0: m≠0时，△=(m+3)}-4m2≥0，解得-1≤m≤3且m≠0， 故-1≤m≤3， a+2b+3刘≤2， 故0≤+m)s2,故+6+e 当且仅当m=3,即1=1，b=0时等号成立 综上所述： V口+6+。的最大值为. a+26+3c a+26+3c b+2c ④： 表示点M(0,l,2)到平面ax+by+cz=0的距离， Va2+b2+c2 va2+b2+c2 平面过B(11,1),最大值为MB=VP+02+1P=√2， 故答案为：√2 13.高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发，按以下步骤给出 了柯西不等式的“图形证明”： C d B Q (1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； (2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为 (3)右图中阴影区域的面积为√a2+b2Vc2+d2 sin∠BAD; (4)则柯西不等式用字母a,b,c,d可以表示为(ac+bd)≤(a2+b2)(c2+d2). 请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程： 【答案】 ac+bd (1)两图中的阴影部分面积相等；(2)sin∠BAD≤1. 【详解】(2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为两个矩形面积之和ac+bd; 因为两图中的阴影部分面积相等即ac+bd=√a2+b2√c2+d2sin∠BAD 两边同时平方得(ac+bd)2=a2+b2)c2+d)sin∠BAD,sin∠BAD≤1 .(ac+bd)}'≤(a2+b2）6e2+d2） 14.己知x,y∈(0，+∞)，若Vx+3√y<k√x+y恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 【答案】k>√10 【详解】试题分析：由柯西不等式得(Wx+3少)2≤(1+32)(x+y),所以√x+3√y≤V10√x+y,即k>√10 考点：柯西不等式 15.已知正实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,正实数a,b,c满足a2+b2+c2=9,则ax+by+cz的最大值 为 【答案】3 【详解】试题分析：由柯西不等式得(ax十by+cz)2≤（a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)=9,.ar+by+cz≤3， 当且仅当a=3x,b=3y,c=3z时取“=”，ax十by十cz的最大值为3. 三、解答题 16.我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成 立.我们从不等式a2+b2≥2b出发，可以得到一个非常优美的不等式一柯西不等式，柯西不等式的一般形 式为：a,a2,…,an,b,b2,…,bneR,且bb2…bn≠0， (a+a++a(低+吲+…+b的≥ah+a,h+…+a,b,当且仅当2=g=…=马时，等号成立若 bbb x+2y+2z=3V5,求x2+y2+z2的最小值： 【答案】3