25.3用频率估计概率（第2课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用频率估计概率解决实际问题”，通过复习上节课“用频率估计概率不受等可能条件限制”的要点，衔接新课，搭建从理论到应用的学习支架，梳理频率与概率的关系及实际问题解决思路。 这份资料以幼树移植成活率、柑橘定价等生活实例为载体，引导学生通过补全试验数据表格、分析频率稳定性，培养数学眼光中的抽象能力和创新意识，渗透“试验-频率-概率-应用”的探究方法，发展推理意识与数据意识。既帮助学生建立模型观念提升解题能力，又为教师提供分层实例与真题练习，便于高效教学。

　25.3用频率估计概率（第2课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十五章概率初步，25.3用频率估计概率第2课时,通过大量重复试验，用频率估计概率，进一步理解概率的意义，解决生活中的实际问题。 2.内容解析 本节是学生在上一节课学习了用频率估计概率，进一步理解概率的意义的基础上，进一步从试验的角度来估计概率，解决实际生活中用频率估计概率的问题，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:通过大量重复试验，用频率估计概率解决生活中的实际问题。 １.教学目标 （1）进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例用频率的集中趋势估计概率，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法。 （３）通过生活中的实例的解决激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生进一步体会试验频率和理论概率的关系。 2.目标解析 （1）通过具体实例，对各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际生活中“不等可能事件”过程中加强对概率的认识，关注知识的形成和发展过程，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系。通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,进一步渗透转化和估算的思想方法。 （３）利用生活实例，通过对“不等可能事件”问题的解决，激发学生学习数学的热情和兴趣。运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。结合试验的随机性和规律性，让学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。 学生学习统计概率并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，本节课结合试验的随机性和规律性，让学生通过频率估计概率解决“不等可能事件”问题在实践中感悟，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为用频率估计概率解决实际问题。 创设情景，引入新课 复习：用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　 用频率估计概率解决实际问题 问题1某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 追问1：幼树移植成活率是实际问题中的一种概率。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等？怎样去估计成活率？ 这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计。 追问2：怎样用频率去估计成活率？ 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。随着移植数n越来越大，频率一会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。 追问3：下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺，并完成表下的填空。从表中你发现了什么？你估计幼树移植成活的概率是多少？ 移植总数n 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率m/n（保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.890 0.915 0.902 表中横线上的空白处依次填:0.940，0.923，0.883，0.905，0.897. 从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为0.9. 总结：这是一个概率问题，但无法用概率的古典定义获得。只能通过做大量重复试验，用频率估计概率。 问题2　某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适? 【分析】柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中。 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表（如下表）中.请你帮忙完成此表. 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘总质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏柑橘频率m/n 0.110 0.105 表中横线上的空白处依次填:0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103. 从表中可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9. 根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000(kg). 完好柑橘的实际成本为(元/kg). 设每千克柑橘的售价为元，则 解得　(元). 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元. 总结：用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用频率估计概率，根据概率解决问题。 （设计意图：通过具体实例，让学生体验用频率估计概率.） 典型例题 例1　在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中的总球数大约是（    ） 　　A．15 　　　B．20 　　　C．25 　　　D．30 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， 口袋中装有5个红球， ∴， 即口袋中的总球数大约是25个， 故选：C． 例2　在一个不透明的盒子里，装有若干个红色，白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)表中的_________；根据上表估计“摸到红球”的概率是_______（精确到0.1）； (2)如果盒子里有个红球，求盒子里白球的个数． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式； （1）根据频率为得出的值，进而根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． （2）根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：； 根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． 故答案为：，． （2）解：∵盒子里有个红球，摸到红球的频率接近． 设白球的个数为，依题意，， 解得，经检验是原方程的解 答：盒子里白球的个数为个 （设计意图：强化用概率估计概率.） 课本练习 1.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示: 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率(结果保留小数点后三位) 一般地，1000kg种子中大约有多少是不能发芽的? 答案：0.940，0.935，0.940，0.845，0.870，0.883，0.891，0.898，0.904，0.901.发芽概率估计为0.9， 1000 kg种子中大约有100kg不能发芽. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 480 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为________；（精确到0.1） (2)如果盒子中一共有30个球，估计白球有多少个？ (3)已知盒子中有8个黑球，请你估计盒子中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， ∴摸到白球的概率约为0.6； （2）解：（个）， 答：估计白球有18个； （3）解：设盒子中一共有x个球， ， 解得　， 答：估计盒子中一共有20个球． （设计意图：强化用列表法求概率的综合运用） 1．（2025·揭阳校考）在军训结束的汇报演出中，某同学在一次射击中，射中环、环、环的概率分别是、、，那么这名同学： (1)射中环或环的概率是多少？ (2)不够环的概率是多少？ (3)如果他射击次，估测一下射中环（包含环）以上的次数． 【详解】（1）解：∵射中环、环、环的概率分别是、、， ∴射中环或环的概率是：， ∴射中环或环的概率是； （2）∵射中环、环、环的概率分别是、、， ∴不够环的概率是：， ∴不够环的概率是； （3）一下射中环（包含环）以上的次数为：（次）， ∴估测一下射中环（包含环）以上的次数为次。 2．（2025•德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨 灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E （1）直接写出a、b、c的值； （2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； 【详解】解：（1）抽取的游客总人数为：180÷0.36＝500（人）， ∴a＝500×0.20＝100， ∴b＝500﹣180﹣100﹣75＝145， ∴c＝145÷500＝0.29； （2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块， 200000×0.36＝72000（人）， 答：游客最满意的主题板块是A板块，若本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人； 3.（2025•自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题． 选择球类兴趣班人数占比统计表 组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比 A 足球 10% B 篮球 C 乒乓球 D 羽毛球 （1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为　90　 度； （2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数； （3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率． 【详解】解：（1）由题意得，调查的人数为4÷10%＝40（人）， ∴D组的人数为40﹣4﹣10﹣14＝12（人）， ∴B组占调查总人数百分比为10÷40×100%＝25%，C组占调查总人数百分比为14÷40×100%＝35%，D组占调查总人数百分比为12÷40×100%＝30%， 补全条形统计图和占比统计表如下： 选择球类兴趣班人数占比统计表 组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比 A 足球 10% B 篮球 25% C 乒乓球 35% D 羽毛球 30% 篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%＝90°． 故答案为：90． （2）400×35%＝140（人）． ∴估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数约140人． （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果有1种， ∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 一些非等可能事件的概率问题，无法用概率的古典定义获得，只能通过做大量重复试验，用频率估计概率。用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用频率估计概率，根据概率解决问题。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.3第4、5、6题. 探究性作业：课本习题数学活动. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.3用频率估计概率（第2课时) 探究点1　 用频率估计概率解决实际问题 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $