25.3用频率估计概率（第1课时)（导学案）数学人教版九年级上册

25.3用频率估计概率（第1课时)（导学案）（解析版） （1）理解用频率来估计概率，进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例，加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法. （３）利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 重点:体会用频率估计概率的必要性和合理性。学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：理解频率与概率的关系，用频率估计概率解决实际问题。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：１.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2. 如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们可以用列表法、树状图法列举求出。 【学法指导】 自研课本P142-144页内容 探究点1　 用频率估计概率 问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢?不妨用试验进行检验。 试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表。 第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列。如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率. 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 学生将试验数据进行收集、整理、描述与分析，得出硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率的规律 数学史介绍：历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果 试验者 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 从以上试验说明频率稳定性，说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的规律。频率的稳定性不仅被实践不断证明，而且瑞士数学家雅各布·伯努利以定理的形式给予了严格的证明。 1.硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率有什么规律？ 学生根据自己试验得到的数据以及表中数据，可能发现“正面向上”的频率在0.5左右波动，且随着抛掷次数的增加，似乎有越来越近的趋势。 归纳：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。 用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 2.抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，能否用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率？为什么？ 不能用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率，运用列举法的前提是：事件发生的可能性相等，抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，中“针尖朝上”或“出现6点”不是等可能事件。 3.上面的不等可能事件，我们可以用什么方法来估计它的概率？ 可以通过大量重复试验估计出它们的概率。 4.从抛掷硬币的试验你可以得出什么规律？ 从抛掷硬币的试验还可以发现，“正面向上”的概率是0.5，连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次;连续抛掷100次，结果也不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次。也就是说，概率是0.5并不能保证掷 2n 次硬币一定恰好有n次“正面向上”，只是当n越来越大时，正面向上的频率会越来越稳定于0.5.可见，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。 自研课本P142-144页内容 典型例题 例1　利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验，小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 B．抽中的扑克牌编号是奇数的概率 C．抽中的扑克牌的编号是6的概率 　　D．抽中的扑克牌的编号大于3的概率 【分析】本题考查了频率估计概率，理解当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率是解题的关键．计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可． 【详解】解：由图可知，结果出现的频率稳定在之间， A、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率为，符合试验的结果； B、抽中的扑克牌编号是奇数的概率为，不符合试验的结果； C、抽中的扑克牌的编号是6的概率为，不符合试验的结果； D、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果． 故选：A 例2 在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，已知概率求数量；本题先判断摸到蓝球的概率为，分式方程的解法，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，因此摸到蓝球的概率为， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， 因此n最可能有6． 故选：C． 第二环节 合作探究 问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢?不妨用试验进行检验。 1.讨论硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率有什么规律？ 2.讨论抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，能否用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率？为什么？上面的不等可能事件，我们可以用什么方法来估计它的概率？ 3.讨论从抛掷硬币的试验你可以得出什么规律？ 4.合作探究提升：1．为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 【详解】（1）解：由图可知，牡丹成活的频率稳定在0.95附近，估计成活概率为0.95． 故答案为：0.95，0.95； （2）（株）， 答：估计购买200株． 课本练习 1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 投中频率m/n (1)计算投中频率(结果保留小数点后两位); (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)? 2.用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率 答案：1.(1) 0.56，0.60，0.52，0.52，0.49，0.51，0.50.(2) 0.5.2.(略). 1．（2025·安庆校考）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数。 【详解】解： 答：盒子里白球的个数为个。 2．（2025·陕西西安九年级统考期中）在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在左右，请估计袋子中黄球的个数。 【详解】解：设袋子中黄球的个数为个，由题意，得，解得， 袋子中黄球的个数为个。 3.（2023下·陕西榆林校考）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 【详解】（1）解：；。 （2） 解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3用频率估计概率（第1课时)（导学案）（原卷版） （1）理解用频率来估计概率，进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例，加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法. （３）利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 重点:体会用频率估计概率的必要性和合理性。学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：理解频率与概率的关系，用频率估计概率解决实际问题。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：１.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的　　　　　，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率　　　　。 2. 如果可能出现的结果只有　　　　，且各种结果出现的　　　　　　，这样问题随机事件发生的概率我们可以用　　　　、　　　　　法列举求出。 【学法指导】 自研课本P142-144页内容 探究点1　 用频率估计概率 问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢?不妨用试验进行检验。 试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表。 第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列。如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率. 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 学生将试验数据进行收集、整理、描述与分析，得出硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率的规律 数学史介绍：历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果 试验者 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 从以上试验说明频率稳定性，说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的规律。频率的稳定性不仅被实践不断证明，而且瑞士数学家雅各布·伯努利以定理的形式给予了严格的证明。 1.硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率有什么规律？ 归纳：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。 用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 2.抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，能否用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率？为什么？ 3.上面的不等可能事件，我们可以用什么方法来估计它的概率？ 4.从抛掷硬币的试验你可以得出什么规律？ 自研课本P142-144页内容 典型例题 例1　利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验，小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 B．抽中的扑克牌编号是奇数的概率 C．抽中的扑克牌的编号是6的概率 　　D．抽中的扑克牌的编号大于3的概率 例2 在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 第二环节 合作探究 问题：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢?不妨用试验进行检验。 1.讨论硬币出现“正面向上”和“反面向上”的频率有什么规律？ 2.讨论抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，能否用列举法求“针尖朝上”或“出现6点”的概率？为什么？上面的不等可能事件，我们可以用什么方法来估计它的概率？ 3.讨论从抛掷硬币的试验你可以得出什么规律？ 4.合作探究提升：1．为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，对本市牡丹移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    (1)牡丹成活的频率稳定在________附近，估计成活概率为________（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 课本练习 1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 投中频率m/n (1)计算投中频率(结果保留小数点后两位); (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)? 2.用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率 1．（2025·安庆校考）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数。 2．（2025·陕西西安九年级统考期中）在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在左右，请估计袋子中黄球的个数。 3.（2023下·陕西榆林校考）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在　　　　的　　　　　　　，显示出　　　　　　。我们可以通过大量的重复试验，用　　　　　　去估计它的概率。用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，由于不受“　　　　　　　　”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $