第4章 一元二次方程 自我测评卷-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

3e-aF-22 +++6 1111 点E为AB的中点，AE=BE=3, ∴.EC=√BE+BC2=3√5， (e+)- 连接AG,易证△AGE∽△CBE, 瓷器心- 51 1 W51 23.解：(1)直线BC与⊙O相切.理由如下： x, 4 4x2= 44 如图所示，连接OD. (2)3x(x-1)=2(1-x), 3x(x-1)+2(x-1)=0, (x-1)(3x+2)=0, ∴.x-1=0或3x十2=0， x1=1x2=一3 AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD (3)2x2+√6x-5=0, .OA=OD,∠BAD=∠ODA, ,a=2,b=√6，c=-5, ∴∠ODA=∠CAD,.OD∥AC ∴.b2-4ac=6-4×2×(-5)=46, :∠ACB=90°，.∠ODB=∠ACB=90°， ∴.OD⊥BC,∴.BC是⊙O的切线，即直线BC与 x=-6土6-4ac--6±46 2a 4 ⊙O相切. -√6-√46 -√6+√46 (2)AE是⊙O的直径， .x1= ,x2= 4 4 .∠ADE=90°，.AD⊥EF (4)x2-(x+2)=4,x2-x-6=0, .AD平分∠BAC,AE=12,.AE=AF=12. (x-3)(x+2)=0, CF=3,.AC=9, ∴.x-3=0或x+2=0, 在Rt△ADF中，∠ACD=90°， ∴.x1=3,x2=-2. ∴.∠FDC+∠ADC=∠CAD+∠ADC, 18.解：(1)m2+2m+3=(m2+2m+1)+2=(m+ ∴.∠FDC=∠CAD. 1)2+2≥2， ∠DCF=∠ACD=90°， 所以当m=-1时，代数式m2+2m十3有最小值， △CFAACD,是需 最小值是2. ∴.CD2=AC·CF, (2)-m+3m+-(m2-3m+）+十 ∴.CD=3√5（负值舍去）. acaD=是-35-， =-(m-2》+3, .∠CAD=30°，∴.∠BAD=30°， 所以当m=时，代数式-m2+3m十有最大值。 .∠B=90°-∠BAC=30°. 最大值是3. 在Rt△ABC中，AC=9, 19.解：设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方 ∴.AB=18,.BE=18-12=6. 体盒子的底面长为(30-2x)cm,宽为(20一2x)cm, (30D1BC,∠B=30,0D=0B=6, 高为xcm. 依题意， 1 得2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200, BD=6V3,.SAm=2X6X63=18V3. 整理，得2x2-25x+50=0, ,∠BAD=30°，∠BOD=60°， 60元X62 解得x1=之，x=10. 上S扇形B0D 360 =6π，∴.S開影=183-6元. 当x=10时，20-2x=0,不合题意，舍去 第4章自我测评卷 答：当笋去正方形的边长为cm时，所得长方体 1A2.B3.A4.A5.C6.D7.A8.C 盒子的侧面积为200cm2. 9.B10.A11.x1=0,x2=-412.4 13.3 20.解：(1)③ (2).3x2+mx十n=0是关于x的“完美方程”， 14.151015.8 16.3 ∴.m=3+n,∴.n=m-3, .原方程为3x2十mx十m一3=0. 1 17.解：(1)2z2+x-2=0, .△=m2-4×3(m-3)=(m-6)2≥0， 方程有两个实根。 x+=1 ·m是此“完美方程”的一个根， 2x-4’ .3m2+m2+m-3=0,即4m2+m-3=0, 54 解得m1=-1,m2=4 sin A=4 5 21.解：(1)一元二次方程x2十px十q+1=0的一个 ∴.BD=4. 根为2， 由勾股定理，得 .4+2p+q+1=0, AD=3. ..g=-2D-5. ∴.BC=√42+(5-3)=2√5. (2)证明：，x2+x十q=0, .△ABC的周长为10+2√5 ∴.△=p2-4q=2-4(-2p-5)=（p+4)2+ 4>0, 当∠A是底角时，如图②所示，过点B作BD⊥AC .方程x2十x十q=0有两个不相等的实根， 于点D,在R△ABD巾，AB=5,sinA=合， (3),x2+px十g十1=0有两个相等的实根， ∴.△=p2-4(q+1)=0. .BD=4,由勾股定理，得AD=3, ∴.AD=DC=3. 由(1)，知q=-2p-5, 联立，得方程组p2-4g一4=0，① .AC=6..△ABC的周长为16. lg=-2p-5,② 综上所述，△ABC的周长为10+25或16 解得p=一4， 期末自我测评卷 q=3, 1.D2.C3.D4.B5.C6.D7.B8.C9.B 把p=。4,代人x2十pz十g=0,得 √2 q=3 10.C11.012.2 13.2 x2-4x+3=0, 因式分解，得 10 64π一83 14.3或4或4153163 (x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3. 17.解：(1)a=1,b=-4,c=-2, 22.解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增 .∴.△=b2-4ac=(-4)2-4X1×(-2)=24, 长率为x 4士24_4生26=2士6， 根据题意，得5000(1+x)2=7200, 2×1 2 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（舍去）. ∴.x1=2+√6，x2=2-√6 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率 (2)移项，得x(2x-5)一2(2x-5)=0. 为20%. 分解因式，得(x一2)(2x一5)=0. (2)2025年计划投入基础教育经费为7200×(1+ ∴.x-2=0或2x-5=0. 20%)=8640(万元)， 5 设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500 x1=2,x2=2 m)台.根据题意，得3500m+2000(1500-m)≤ 18.解：(1)证明：，AD是△ABC的角平分线， 86400000×5%, ∴·∠BAD=∠EAD. 解得m≤880. 答：最多可购买电脑880台 AD=ABAE8把， 23.解：(1)由题意，得△=-25sinA-16=0, ..△ABDC∽△ADE. “mA-8 (2),△ABD∽△ADE,∠B=64°，∠C=42°， ∴.∠ADE=∠B=64°， 4 :∠A为锐角，.sinA=5 ∠BAC=180°-∠B-∠C=74°. ,AD是△ABC的角平分线， (2)由题意，得方程y2-10y+k2-4k十29=0有 1 两个实根，则△≥0， ∠BAD=2∠BAC=37, ∴.100-4(k2-4+29)≥0. .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=79°， ∴.-(k-2)2≥0..(k-2)2≤0 ∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE=37° 又(k-2)2≥0，.k=2. 19.解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月增长率为 把k=2代入方程，得y2一10y+25=0, x.依题意，得150(1+x)2=216. 解得y1=y2=5, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. .△ABC是等腰三角形，且腰长为5. 答：该品牌电动自行车销售量的月增长率为20%. 分两种情况： (2)设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月 当∠A是顶角时，如图①所示，过点B作BD⊥AC 销售量为(200+10y)辆.依题意，得 于点D,在Rt△ABD中，AB=5, (2750-2000-50y)(200+10y)=75000. 整理，得y2+5y-150=0, 解得y1=一15（不合题意，舍去），y2=10, .2750-50y=2250. 答：该品牌电动自行车的实际售价应定为2250元 20.解：过点B作BF⊥AE,交EA的延长线于点F,作 BG⊥DE于点G,如图所示. 5514.如图所示，某人打算靠着长18m的房屋后墙围一块 (2)3x(x-1)=2(1-x): 优计学案 第4章自我测评卷 150m2的长方形养鸡场，现有篱笆35m,则长方形养 (九年级上册数学QD) L课时强] 鸡场的长为 m,宽为 m. (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）7，已知关于x的一元二次方程m2一(m+2)x十 1,抽象能力下列关于x的方程是一元二次方程的 是() 受=0有两个不相等的实根若子十 无1 15.(荷泽成武一模)已知关于x的一元二次方程x A.3x(x-4)-0 B.x2+y-3=0 1=4m,则m的值是( ) （a+2)z十a-26=0的判别式等于0，且x=2是方 C是+x=2 D.x3-3x十8=0 A.2 B.-1 程的根，则a十b的值为 2.(弹坊哥乐月考)关于x的一元二次方程(a C.2或-1 D.不存在 16.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P,Q同时由 1)x2十x十a-1=0的一个根是0，则a的值8.若实数k,b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0 A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动， 为(） 的两个根，且k<b,则一次函数y=kx十b的图 它们的速度都是1cm/s, 秒后△PCQ的面积 A.1 B.-1 象不经过() (3)2x2十6x-5=0: 为R1△ABC面积的一半， C.1或-1 D专 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D第四象限 3.阅读理解定义运算：a☆b=ab2一ab一1.例如：3 9.(济南莱芜区期末)一元二次方程x2一12x十 ☆4=3×42一3×4一1.则方程1☆x=0的根的情 32=0的两个根恰好是等腰三角形的底边长和 况为() 腰长，则这个等腰三角形的周长是() A.有两个不相等的实根 A.16 B.20 B.有两个相等的实根 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字 C.16或20 D.30 C,无实根 说明，证明过程或演算步骤) D.只有一个实根 10.阅读理解定义：如果一元二次方程ax+ 17.(本小题满分12分)解方程： 4.推理能力若关于x的一元二次方程(k一1)x+ bx十c=0(a≠0)满足a十b+c=0,那么我们 称这个方程为“风凰”方程.已知ax3十bx十 （1)2x2+x一2=0（用配方法）： 2x一2=0有两个不相等的实根，则k的取值范固 c=0(a≠0)是“风凰”方程，且有两个相等的实 是() (4)x2一(x十2)=4（因式分解法）. B之方 根，则下列结论正确的是() Ak>专且表*1 A.a=c B.a=b C.k≥且k D.E> C.b=c D.a-b-c 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 5.已知a,b为一元二次方程x'+2x一9=0的两根， 11.(临沂兰陵期中)一元二次方程x2十4红=0的 那么a2+a一b的值为() 两个根是 A.9 B.10 12.(山东中考)若关于x的方程4x一2x十m-0 C.11 D.12 有两个相等的实根，则m的值为 6.应用意识一种药品经两次降价，由每盒50元调13.关于x的一元二次方程x'+(2k十1)x+k°= 至32元，平均每次降价的百分率是( 0有两个不相等的实根，设方程的两个实根分 A.5% B.10% 别为x1,x2,且(1十x1)(1十x1)=3,则k的 C.15% D.20% 值是 18.(本小题满分10分)阅读理解：求代数式x十：19.（本小题满分9分）如图所示，有一块矩形硬纸 21.(本小题满分9分)已知一元二次方程x2+p.x+q+:23.(本小题满分12分)关于x的方程2x2一(5sinA)x+ 4x十8的最小值. 板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个 1=0的一个根为2. 2=0有两个相等的实根，其中∠A是锐角三角 解：因为x2十4x十8=(x2十4x十4)十4=(x十 同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可 (1)求g关于p的关系式. 形ABC的一个内角. 2)十4≥4，所以当x=一2时，代数式x2十4x十8 制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边 (2)求证：方程x十px+g=0有两个不相等的实根， (1)求sinA的值. 有最小值，最小值是4.仿照上述解题过程求值 长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 (3)若方程x十p.x十q十1=0有两个相等的实根，求 (2)若关于y的方程y2一10y+k-4k+29=0 (1)应用：求代数式m2十2m十3的最小值. 200cm2? 方程x2十x十g=0的两根. 的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的 (2)拓展：求代数式一m+3m十的最大值。 30m 周长 22.(本小题满分10分)为进一步促进义务教育均衡发展， 20.(本小题满分10分)阅读理解定义：如果关 某市加大了基础教育经费的投人，已知2022年该市投 于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) 人基础教育经费5000万元，2024年投人基础教育经 满足b=a十c,那么我们称这个方程为“完美方 费7200万元. 程” (1)求该市这两年投人基础教有经费的年平均增长率， (1)下面方程是“完美方程”的是 ,(填 (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计 序号)①x-4x+3=0:②2x2+x+3=0: 算，该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的 ③2x1-x-3=0. 5%购买1500台电脑和实物投影仪，调配给农村学 (2)已知3x2+mx+#=0是关于x的“完美方 校.若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需 程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m 2000元，则最多可购买电脑多少台？ 的值. -10