1.3 相似三角形的性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

阶段检测一(1.1~1.2)（答案3 一、选择题 5.如图所示，在正方形ABCD中，点E,F分别 1.(2023·聊城东阿月考)下列图形是相似形的 在边AD,CD上，AF,BE相交于点G,若 是() ) A.所有平行四边形 B.所有矩形 AE=3BD.DF=CF,则架的值是( C.所有菱形 D.所有正方形 B c号 D 2.如图所示，在△ABC中，点D,E分别在AB 6 和AC上，DE∥BC,M为BC边上一点（不与 6.如图所示，AC,BD相交 D 点B,C重合)，连接AM交DE于点N, 于点O,AB∥DC,M是 则() AB的中点，MN∥AC,交 A加-把 BD MN BD于点N,若DO: B. Mn CE OB=1:2,AC=12,则MN的长为( DN NE DN NE C.BMMC D. MCBM A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 B 7.如图所示，四边形ABCD四边形A'B'C'D', 则∠a的度数是 第2题图 第3题图 3.(2023·聊城莘县月考)在如图所示的4×4的 130 正方形网格图中，小正方形的边长均为1，三角 人60 70 60° B 41 形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形 8.(2023·聊城东阿月考)如图所示，在△ABC 与△ABC相似的是( ) 中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时，以点A,D,P为顶点的三角形和 △ABC相似. D 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD 相交于点O,E是OD的中点，连接AE并延长 第8题图 第9题图 交DC于点F,则DF:FC=() 9.推理能力》如图所示，在△ABC与△AEF中， A.1:4B.1:3 C.1:2 D.1:1 AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于 点D.给出下列结论： ①△ABC≌△AEF;②∠AFC=∠C;③DF= CF;④△ADEp△FDB.其中正确的结论是 第4题图 第5题图 .(填序号) -九年级上册·数学：QD 三、解答题 12.探究拓展》如图①所示，将菱形ABCD沿对 10.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD为BC 角线BD剪开，得到△ABD和△ECF,固定 边上的中线，DE⊥AB于点E. △ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起. (1)求证：△BDE∽△CAD. E (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长 B(E) ① ③ (1)操作：如图②所示，将△ECF的顶点F固 定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕 点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA于点H(点H不与点B重合)，FE交 DA于点G(点G不与点D重合)，求证： BH·GD=BF2, (2)操作：如图③所示，△ECF的顶点F在 △ABD的BD边上滑动（点F不与B,D重 合)，且CF始终经过点A,过点A作AGCE, 11.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，小明欲 交FE于点G,连接DG.探究：FD+DG= 测量一座信号发射塔的高度.他站在该塔的 请给予证明. 影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正 好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔 20米.已知小明的身高是1.8米，他的影长是 2米. (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为 什么？ (2)求信号发射塔的高度. 15 优计学案·课时通一解得AB-12m, AB=AD, 即小河的宽度为12m. ∠BAF=∠DAG, 11.解：由题意，得FCDE, AF=AG, .BC FC :△BFCD△BED,BD-DE' .△ABF≌△ADG(SAS)..BF=DG .'.FD+DG=FD+BF=BD 即mBC=1.5 BC+43.5,解得BC=3m. 1.3相似三角形的性质 1.B2.B3.94.B5.B6.B7.8 AC=5.4m,.AB=5.4-3=2.4(m). 8.解：在Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.BC=6 ,光在镜面反射中的反射角等于人射角， .∠C=∠DEA=90°，∠A=∠A, ∴.∠FBC=∠GBA. ∴.△ADEp△ABC. 又，∠FCB=∠GAB '.△BGA△BFC, DE=3=1.SAADE 1 BC=62SAADC4 治品9号 .AG1.5 1 SAAMC-2X8X6-24,.SAADE=6, 解得AG=1.2m, ∴.四边形DEBC的面积为24一6=18. 即灯泡到地面的高度AG为1.2m. 9.B10.C11.B12.√3 阶段检测一（1.1~1.2) 13.解：在矩形EFGH中，EH∥FG,EH=GF, 1.D2.C3.C4.C5.C6.B .△AEHC∽△ABC 7.100°8.4或99.①②④ 又.AD⊥BC,..AM⊥EH, 10.解：(1)证明：.AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴.BD=CD,AD⊥BC,∠B=∠C 泄 DE⊥AB,.∠DEB=∠ADC, 矩形EFGH的长与宽的比为3：2， .△BDEn△CAD. .设EH=3xcm,则MD=EF=2xcm,AM= (2).AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC (12-2x)cm, 在R△ADB中，：AB=1B,BD=2BC=5, 话1222幅得=3， .AD=12. ∴.EH=9cm,EF=6cm, :AD·BD=·AB,DE, 1 ∴.矩形EFGH的周长为2X(9+6)=30(cm). 14.解：(1)证明：，CF⊥AB,BE⊥AC, DE- ∴∠AEB=∠AFC=90°. ∠A=∠A,.△ABEn△ACF 11.解：(1)△ABC与△ADE相似.理由：BC⊥AC, AE-AB、AEAF DE⊥AC,∴.DE∥BC, AF-ACABAC .△ABCn△ADE, 又：∠A=∠A,△ABC∽△AEF. (2),△ABC∽△ADE, (2)(1)中的结论还成立. 能-能即0 (3)在Rt△ABE中，：∠BAC=60°， BC20+2' 解得BC=19.8米， ∠ABE=0铝-方 即信号发射塔的高度为19.8米。 .SAAEE1 12.解：(1)证明：由题意可得∠B=∠D=∠CFE.由 ·SAABC 4 F是BD的中点可知BF=DF.在△DFG中， 专题一相似三角形的性质与判定 ∠D+∠DFG+∠DGF=180°，而∠DFG+ 1.D ∠CFE+∠BFH=180°， 2.解：(1)△APC∽△PBD ∴.∠BFH=∠DGF. 理由如下：PC=PD=CD, 又∠B=∠D,.△BFH∽△DGF」 ∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， 丽肥 ∴.∠ACP=∠BDP=120°. '∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD= ,BF=DF,.BF2=BH·DG, ∠APB-∠CPD=120°-60°=60°， 即BH·GD=BF2. .∠A=∠BPD, (2)BD .△APC∽△PBD 证明：，AG∥CE, (2)90 ∴.∠FAG=∠FCE,∠FGA=∠E. (3)2∠APB-∠CPD=180°. ,∠CFE=∠E,.∠CFE=∠FGA. 理由如下：PC=PD, ∴.AF=AG ∠PCD=∠PDC, 根据题意可知∠BAD=∠FCE, .∠PCA=∠PDB. '.∠BAD=∠FAG 当AC一PD ∴.∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG. PC-DB时，则有△APC△PBD, ∴.∠BAF=∠DAG. ∴.∠A=∠DPB. 在△ABF与△ADG中， ,∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD, ∴.∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB-∠CPD, 在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，