《15.1 图形的轴对称》——线段的垂直平分线的性质及其尺规作图应用》教学设计　　2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质及尺规作图应用，通过复习轴对称中“对称轴垂直平分对称点连线”的性质，自然引出对垂直平分线本身的探究，构建新旧知识的连贯支架。 此资料以“观察—思考—表达”为探究主线，特色在于结合数学眼光、思维与语言培养核心素养，如动手测量验证猜想发展几何直观，逆命题证明提升推理能力，尺规作图原理讲解强化应用意识，助力学生深化理解，也为教师提供了逻辑严密的探究式教学范例。

《15.1 图形的轴对称》——线段的垂直平分线的性质及其尺规作图应用》教学设计 基本信息 课题 《15.1 图形的轴对称》——线段的垂直平分线的性质及其尺规作图应用 学科及年级 初中数学，八年级上册 教材版本 人民教育出版社（人教版）八年级上册第十五章“轴对称” 【课时教材分析】 本课时是《图形的轴对称》的第二课时，承接第一课时中“连接对称点的线段被对称轴垂直平分”这一核心性质，深入研究“线段的垂直平分线”的相关性质与判定，并将其应用于尺规作图。教材从类比角平分线的研究方法出发，引导学生探究垂直平分线上任意一点到线段两端的距离关系，从而得出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的性质定理及其逆定理。这两个互逆命题的提出，不仅深化了学生对轴对称本质的理解，也为后续学习等腰三角形的性质提供了直接依据。此外，教材还安排了利用垂直平分线作法完成“过直线外一点作垂线”等经典尺规作图任务，体现了知识的实践价值。本节课逻辑严密，推理性强，是培养学生几何直观、逻辑推理和作图能力的重要载体。 【课时学情分析】 学生在第一课时已初步建立了轴对称的概念，理解了对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线，具备了一定的空间观念和简单推理能力。然而，将“对称轴”抽象为一般意义上的“线段的垂直平分线”，并独立探究其上的点与线段端点之间的距离关系，对学生而言仍具挑战性。特别是逆命题“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的提出与证明，需要较强的逆向思维能力。此外，尺规作图对学生动手操作的规范性和精确性要求较高，部分学生可能因圆规使用不熟练或半径选择不当而导致作图失败。因此，教学中应注重引导学生从轴对称背景中迁移经验，通过实验观察、合情推理与演绎证明相结合的方式突破难点，并提供充分的作图练习机会，帮助学生掌握技能。 【课时设计思想】 本课以“从性质到应用：解锁轴对称的几何密码”为主题，构建一个“发现规律—验证规律—应用规律”的探究闭环。教学遵循“类比—猜想—证明—应用”的认知路径，先引导学生类比角平分线的研究方法，提出关于垂直平分线的新问题；再通过动手测量、小组合作验证性质；接着借助全等三角形完成严谨证明；最后将理论成果转化为实际作图技能。整个过程强调数学内部知识的联系（如轴对称、全等三角形、尺规作图），注重思维的递进与升华，力求让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，并在实践中体会数学的工具性与美感。 【教学目标】 观察现实世界： 1. 能识别生活中的垂直平分线实例，如折纸的折痕、田径场的中线、桥梁的对称结构等。 2. 理解线段的垂直平分线是轴对称思想在具体线段上的体现，建立新旧知识的联系。 思考现实世界： 1. 经历探究过程，发现并证明“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”及其逆定理，理解这两个互逆命题的关系。 2. 掌握利用垂直平分线作法完成“过已知点作直线的垂线”等基本尺规作图任务的原理与步骤。 表达现实世界： 1. 能用准确的数学语言表述垂直平分线的性质与判定，并能进行简单的逻辑推理。 2. 能规范地完成尺规作图，清晰说明每一步的操作依据。 【教学重难点】 【教学重点】 1. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理（逆定理）。 2. 学会用尺规作图的方法作出一条线段的垂直平分线，并能应用于解决简单作图问题。 【教学难点】 1. 理解并证明“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一逆命题。 2. 在尺规作图中理解作法背后的几何原理，做到“知其然更知其所以然”。 【教学课时】 1课时 【教学策略】 采用“类比启发—探究发现—合作论证—实践应用”的教学策略。以问题为导向，引导学生主动迁移已有知识，经历完整的数学发现过程。重视动手操作与逻辑证明的结合，确保结论的可靠性。通过示范与练习相结合的方式，帮助学生掌握尺规作图技能。 【教学准备】 多媒体课件（含教材插图：图15.1-6、图15.1-7、图15.1-8、图15.1-10）、圆规、直尺、量角器、学生学案（含探究表格、作图练习题）、实物投影仪。 【教学过程】 教学活动 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习引入，唤醒旧知 （1）回顾轴对称性质： 教师提问：“上节课我们学习了轴对称，请大家回忆：如果△ABC与△A′B′C′关于直线MN成轴对称，那么连接对称点AA′的线段与对称轴MN有什么关系？” 引导学生回答：MN垂直平分AA′。 追问：“这里的‘垂直平分’是什么意思？” 明确：“既垂直又平分，即交点是中点且夹角为90°。” 板书：对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。 （2）提出新问题： 教师指出：“既然对称轴有这样的特性，那我们是否可以单独研究‘线段的垂直平分线’本身呢？它上面的点是否也有特殊性质？” 展示教材图15.1-6： 直线l垂直平分线段AB，P₁、P₂、P₃是l上的点。 提问：“请大家猜测：点P₁到A和B的距离有什么关系？点P₂、P₃呢？你能得出什么猜想？” 1. 回忆上节课内容，积极回答：对称轴垂直平分连接对称点的线段。 2. 明确“垂直平分”的含义：经过中点且垂直。 3. 观察图15.1-6，思考教师提出的问题，大胆猜想：P₁A = P₁B，P₂A = P₂B，……即垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 通过复习旧知，自然引出新课主题，体现知识的连贯性。利用教材原图提出探究性问题，激发学生的求知欲，引导学生从轴对称背景中抽象出“垂直平分线”这一研究对象，实现知识的迁移与深化。 二、探究性质，验证猜想 （1）动手测量，收集证据： 发放学案，指导学生完成以下任务： ① 用圆规分别以P₁为圆心，测量P₁A和P₁B的长度（可用圆规截取后比较）； ② 同样方法测量P₂A与P₂B、P₃A与P₃B的长度； ③ 将测量结果填入表格，并判断是否相等。 教师巡视，指导学生正确使用圆规进行长度比较，提醒保持图形清晰。 （2）小组交流，形成共识： 组织小组讨论：“你们的测量结果支持之前的猜想吗？能用自己的话总结这个规律吗？” 邀请小组代表发言，鼓励使用规范语言。 预设学生总结：“我们发现，只要点在线段的垂直平分线上，它到线段两个端点的距离就相等。” （3）几何证明，确认真伪： 肯定学生的发现：“你们通过实验得出了一个重要结论，但数学讲究严谨，我们需要通过证明来确认它是否恒成立。” 在黑板上绘制图15.1-7： 直线l ⊥ AB于C，AC = BC，点P在l上。 提问：“要证PA = PB，需要证明哪两个三角形全等？” 引导学生观察：可考虑△PCA与△PCB。 继续提问：“已知有哪些条件？还需要什么条件？” 师生共同完成证明： ∵ l ⊥ AB，∴ ∠PCA = ∠PCB = 90°。 又 ∵ AC = BC，PC = PC（公共边）， ∴ △PCA ≌ △PCB (SAS)。 ∴ PA = PB。 特别说明：当点P与C重合时，显然PA = PB。 最终板书：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 1. 按照指令，认真使用圆规测量各点到A、B的距离，记录数据，验证猜想。 2. 在小组内交流测量结果，讨论规律，尝试归纳结论。 3. 小组代表发言，表述发现。 4. 跟随教师思路，参与证明过程，理解SAS全等的运用，掌握证明格式。 通过动手测量让学生亲历“合情推理”过程，增强结论的可信度。小组合作促进思维碰撞与语言表达。几何证明环节由实验上升到理论，培养学生的演绎推理能力和数学严谨性，体现数学学科的本质特征。 三、逆向思考，拓展认知 （1）提出逆命题： 教师引导：“刚才我们证明了‘如果点在垂直平分线上，那么它到两端点距离相等’。现在我们把这个命题的题设和结论互换一下，得到一个新的命题：‘如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。’这个命题成立吗？” 板书该命题，强调这是原命题的逆命题。 （2）合作探究，尝试证明： 组织学生分组讨论，尝试证明该逆命题。 提示：“可以类比刚才的证明方法，构造全等三角形。假设PA = PB，如何证明点P在AB的垂直平分线上？” 引导学生添加辅助线：连接PA、PB，作PC ⊥ AB于C（或连接PC，使AC = BC）。 待学生思考后，教师示范完整证明： 已知：PA = PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 作PC ⊥ AB于C，则∠PCA = ∠PCB = 90°。 在Rt△PCA和Rt△PCB中， PA = PB（已知），PC = PC（公共边）， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB (HL)。 ∴ AC = BC。 ∴ PC ⊥ AB 且 AC = BC，即PC是AB的垂直平分线，故点P在AB的垂直平分线上。 板书：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （3）揭示本质，定义集合： 总结：“这两个互逆命题都成立，因此它们都是定理，称为互逆定理。” 进一步指出：“这意味着线段的垂直平分线可以看成是与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合。” 举例说明：生活中找“到A、B两地距离相等的点”就可以转化为找AB垂直平分线上的点。 1. 理解“逆命题”的概念，思考新命题的真假。 2. 分组讨论证明思路，尝试画图、写已知求证。 3. 倾听教师讲解，理解HL全等的应用，掌握逆命题的证明方法。 4. 理解“垂直平分线是满足特定条件的点的集合”这一深刻内涵。 通过逆向提问，引导学生深入思考，培养批判性思维与逆向思维能力。合作探究与教师示范相结合，突破证明难点。揭示“轨迹”思想的萌芽，提升学生的数学抽象水平，为高中解析几何学习埋下伏笔。 四、尺规作图，实践应用 （1）学习作法，理解原理： 提问：“我们已经知道垂直平分线的重要性，那如何用最基础的工具——直尺和圆规，作出一条线段的垂直平分线呢？” 展示教材图15.1-8， 介绍作法： ① 分别以A、B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点； ② 作直线CD，则CD即为AB的垂直平分线。 追问：“为什么这样作出来的直线就是垂直平分线？依据是什么？” 引导学生分析：点C满足CA = CB，根据逆定理，点C在AB的垂直平分线上；同理，点D也在AB的垂直平分线上。两点确定一条直线，故直线CD就是AB的垂直平分线。 （2）示范操作，规范步骤： 教师在黑板上演示作图全过程，强调关键细节： - 圆规张开的半径必须大于½AB，否则两弧无法相交； - 两弧的交点C、D要明显； - 用直尺连接C、D时要画成直线而非线段。 邀请一名学生上台模仿操作，其余学生在练习本上同步进行。 （3）拓展应用，解决问题： 出示教材图15.1-10： 已知直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线，使其经过点C。 引导分析：“假设垂线已作出，垂足为D，则CD ⊥ AB。此时，点C到A、B的距离不一定相等，但我们能否构造出一对关于AB对称的点？” 提示：“我们可以先在AB上确定两点D、E，使得CD = CE，这样点C就在DE的垂直平分线上。” 介绍作法： ① 以C为圆心，适当长为半径作弧，交AB于D、E； ② 分别以D、E为圆心，大于½DE的长为半径作弧，两弧相交于F； ③ 作直线CF，则CF即为所求垂线。 解释原理：由①知CD = CE，故点C在DE的垂直平分线上；由②③知点F也在DE的垂直平分线上，因此CF就是DE的垂直平分线，从而CF ⊥ AB。 1. 观察作法步骤，思考其几何原理，理解“为何这样做”。 2. 观看教师示范，注意操作要点。 3. 动手实践，在纸上完成线段AB的垂直平分线作图。 4. 思考拓展问题，理解“作垂线”与“作垂直平分线”之间的转化关系。 5. 完成“过直线外一点作垂线”的作图练习。 将抽象的几何性质转化为具体的作图技能，体现数学的实用性。强调作图原理的理解，避免机械模仿。通过教师示范与学生实操相结合，确保技能掌握。拓展应用提升综合能力，展现知识的内在联系。 五、课堂小结，系统建构 引导学生梳理本节课的知识脉络： “今天我们深入研究了线段的垂直平分线，你收获了哪些新知识？” 师生共同总结： ① 一个性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等； ② 一个判定：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上； ③ 一种作图：用尺规作出线段的垂直平分线及其应用； ④ 一种思想：互逆命题与点的集合观。 强调：“这些知识不仅是轴对称理论的深化，更是我们研究等腰三角形的重要工具，下节课我们将继续探索。” 积极参与总结，按逻辑顺序复述知识点，反思学习过程，建立知识网络。 帮助学生整合零散知识，形成系统化的认知结构。通过提炼思想方法，提升数学素养。预告下节内容，保持学习连续性。 【作业设计】 一、基础巩固 1. 判断正误，并说明理由： （1）线段的垂直平分线是一条射线。 （2）若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA = PB。 （3）若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 二、能力提升 2. 已知点A(−2, 1)和点B(4, 1)，请写出线段AB的垂直平分线的方程，并说明理由。 3. 尺规作图：在已知直线l上有一点P，试过点P作直线l的垂线。（参考教材P68第3题） 三、实践探究 4. 查阅资料或实地观察，找出生活中三个利用“到两点距离相等”原理的实际应用案例（如通信基站选址、建筑设计等），并简要说明其中的数学道理。 【板书设计】 从性质到应用：解锁轴对称的几何密码 ┌─────────────┐ │ 复习：对称轴是 │ │ 对称点连线的垂直平分线 │ └─────────────┘ ↓ ┌──────────────────┐ │ 新问题：垂直平分线上的点有什么特性？│ └──────────────────┘ ↓ 【性质定理】 【逆定理（判定）】 垂直平分线上的点 到线段两端点距离相等的点 到线段两端点距离相等 在这条线段的垂直平分线上 ↑↓ 互为逆定理 【点的集合】 线段垂直平分线 = {P | PA = PB} ↓ 【尺规作图】 1. 作线段AB的垂直平分线 → 找C、D（CA=CB, DA=DB）→ 连CD 2. 过直线外一点作垂线 → 构造等距点 → 作其垂直平分线 【教学反思】 本节课围绕“线段的垂直平分线”展开深度探究，较好地实现了从性质到应用的过渡。通过类比引入，学生能较快进入探究状态，测量验证环节有效调动了学生的积极性，多数小组能准确得出性质猜想。几何证明部分，虽然HL全等对部分学生有一定难度，但通过教师引导和图形辅助，大部分学生能够理解推理过程。在尺规作图环节，学生表现出浓厚兴趣，动手操作热情高，但在圆规使用上仍存在不熟练、半径控制不准等问题，导致作图不够精确，今后需加强专项训练。值得肯定的是，学生在理解作图原理方面表现良好，能说出“因为CA=CB，所以C在垂直平分线上”这样的理由，说明他们开始关注“为什么这样做”。不足之处在于时间把控，逆命题的证明耗时略长，导致最后的拓展应用未能充分展开。此外，对于“点的集合”这一抽象概念，仅有少数优生能真正领会，多数学生停留在记忆层面，未来可通过更多实例逐步渗透。总体来看，本节课逻辑清晰，层层递进，学生在思维深度和操作技能上均有明显提升。 学科网（北京）股份有限公司 $