精品解析：安徽省A10联盟2025-2026学年高二上学期10月学情诊断数学试卷（C）

A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版）试题C 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案. 【详解】设直线倾斜角为，，，则，故. 故选：. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题. 2. 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 3. “直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质计算可得，再结合充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】由题意得，，解得或， 故“直线：与直线：相互垂直”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知三棱锥中，点平面，若，则（ ） A 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则， 因为四点共面， 所以，解得. 故选：A. 5. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 6. 已知正三棱柱的棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】如图，以线段的中点为原点，取的中点为， 则由正三棱柱的结构性质可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则. 设为平面的一个法向量， 则，令， 则是平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 故选:A. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 8. 已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，求得平面的法向量为和，利用向量的夹角公式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 可设，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，； 当时，， 设，可得，所以，所以， 因为，所以，则 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量模的坐标运算求解判断A；利用向量平行的坐标运算列式求得，即可判断B；利用向量垂直的坐标公式求解判断C；利用数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】由得，故A正确； 因为，，所以，解得， 所以，故B正确； 因为且，所以，解得，故C错误； 由B可知，，又， 故，故D错误. 故选：AB. 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 13. 直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先设的方程为，求出的交点代入求得，得直线的方程，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立，解得，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程， 所以直线间的距离为. 故答案为：. 14. 已知四面体中，，若该四面体的体积为48，则直线的夹角为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据四面体的特征建系，再根据三棱锥体积公式及模长公式计算求解，最后应用异面直线所成角余弦公式计算求解. 【详解】由题意得，， 以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又， 设，则， 解得， 此时， 因此，，则 或， 则或， 所以直线的夹角为或. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出的方向向量与平面的法向量后计算即可得； （2）得到平面的法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得， 由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 显然，则， 又平面，所以平面， 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 17. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为. （1）求的值； （2）点在直线上运动. （i）若，求的取值范围； （ii）点，，求当取得最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）应用斜率公式结合两角和正切公式计算求解； （2）（i）应用两点间斜率公式计算再数形结合得出范围；（ii）先求出点关于直线的对称点，再结合距离和最小应用点斜式得出直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率，倾斜角为，直线的斜率，倾斜角为， 则，则， 解得，故. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，直线：， 表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示， 记，，，， 其中，， 观察可知，，所以的取值范围为. （ii）作点关于直线的对称点， 则，解得，故； 此时， ， 故直线的方程为， 即. 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 由对称性知，和椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版）试题C 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. “直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知三棱锥中，点平面，若，则（ ） A 3 B. -3 C. 2 D. -2 5. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知正三棱柱棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，其中，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的离心率为______． 13. 直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 14. 已知四面体中，，若该四面体体积为48，则直线的夹角为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 17. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为. （1）求的值； （2）点直线上运动. （i）若，求的取值范围； （ii）点，，求当取得最小值时直线的方程. 19. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $