精品解析：安徽省A10联盟2025-2026学年高二上学期10月学情诊断数学试卷（C）

A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版）试题C 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 6. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 椭圆的离心率为______． 8. 直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 9. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 10. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 11. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（人教A版）试题C 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案. 【详解】设直线倾斜角为，，，则，故. 故选：. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题. 2. 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 3. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 4. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 6. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可知，的值，由离心率求出结果. 【详解】因为椭圆方程为， 所以 所以， 所以 所以离心率， 故答案为： 8. 直线经过直线和的交点，且与直线平行，则直线间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先设的方程为，求出的交点代入求得，得直线的方程，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】∵直线与直线平行 故设的方程为， 联立，解得，∴ 又因为点在直线上， ∴，解得， 所以直线方程为， 所以直线间的距离为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 9. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 10. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 11. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程. （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【解析】 【分析】（1）根据题意先判断三点在椭圆上，再代入椭圆方程解方程组即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，求得面积，令，得，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由得，即点在线段的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $