2.5.1直线与圆的位置关系习题课 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与直线的位置关系及应用，通过基础判断（相交、相切、相离）、弦长计算、切线方程求解、最值问题探究等分层例题，构建从基础到综合的知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于采用一题多解（如切线方程、弦长问题多种解法）和数形结合思想，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（规范表达），助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

习 题 课 1 【巩固训练1】若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有: ①相交; ②相切; ③相离. 试分别求实数a的取值范围． 【巩固训练2】 d -2 • C(0,-2) A x O y M(-3,-3) • l B 【巩固训练3】 A x O y • B l 解：（1）直线方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0 由 x+y-4=0 2x+y-7=0 得x=3,y=1 ，即直线恒过A(3,1)点 所以点A在圆C内部，故直线 恒与圆有两个交点。 l C l 的 方程为y-1=2(x-3) ，即2x-y-5=0 A(3,1) • 【变式】 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 C • -1 x O y • P(0,-1) • 2 x O y l 1 已知圆C:x2+y2=4,直线l：x-y-a=0 (1)若圆上有3个点到直线的距离为1，则a=_______________; (2)若圆上有4个点到直线的距离为1，则实数a的取值范围为________________; (3)若圆上有1个点到直线的距离为1，则a=______________________; (4)若圆上有2个点到直线的距离为1，则实数a的取值范围为 _____________________________________; 【巩固训练4】 d=1 d=3 d<1 1<d<3 点P为直线 : 2x+y+3=0上一动点，过P点引圆C：x2+y2-4x=0的切线, 求切线长的最小值，以及此时P点的坐标. • 2 x O y P C 所以圆心 C 的坐标为（2，0） 半径 r=2 如图，过P点引圆C的切线PE，由勾股定理 E 要使|PE|最小，则只需|PC|最小 |PC|的最小值为过点C作直线 l 的垂线段的长 l l 【巩固训练5】 【巩固训练6】 直线 l : y=-x+m与曲线x= ，则实数m的取值范围是( ) A. D. C. B. D • 2 x O y 利用数形结合思想探求与圆有关的最值问题： D A(2,0) B x y O C(0,1) 解： D P(2,0) B x y O C(0,1) 解： 解： l B x y O C(0,1) D 解： l x y O C(0,1) 则所求距离的最大值和最小值分别为 d+r 和 d-r y=-x+t在y轴上的截距,当直线与圆相切时，t分别取得 最大、最小值。 x y O C(0,1) 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (1) 直线PA、PB的方程； (2) 过点P与⊙C相切的切线长； (3) ∠APB的余弦； (4) 以PC为直径的圆的方程； (5) 直线AB的方程. x y O P A B C 解： 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (1) 直线PA、PB的方程； x y O P A B C 解： 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (2) 过点P与⊙C相切的切线长； x y O P A B C 如图，过P点作圆的切线，设切点为A (3) 取两切线PA、PB的方向向量分别为 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (3) ∠APB的余弦； x y O P A B C 解： ∴ 以PC为直径的圆的圆心坐标为 半径为 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (4) 以PC为直径的圆的方程； x y O P(2,－1) A B C 解： ∴ 以PC为直径的圆方程为： ∴ 以PC为直径的圆方程为： 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (5) 直线AB的方程. 解1： x y O P(2,－1) A B C 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (5) 直线AB的方程. 解2： x y O P(2,－1) A B C 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (5) 直线AB的方程. 解3： x y O P(2,－1) A B C 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (5) 直线AB的方程. 解4： x y O P(2,－1) A B C 【巩固训练8】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (5) 直线AB的方程. 解5： x y O P(2,－1) A B C 过圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2上一点M(x0 , y0)的切线方程： 复习： P(x, y) y x O C(a, b) 特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0 , y0)的切线方程： P(x, y) y x O 1. 过圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2=r2的两条切线, 则过两切点的直线方程为： x O P A B y 2.过圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线, 则过两切点的直线方程为 推广： 注意：此方程与过圆上一点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程是一样的. 【巩固训练9】 解： 解：圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10， 则圆心到直线的距离d＝eq \f(|a|,\r(32＋42))＝eq \f(|a|,5). ①当直线和圆相交时，d<r，即eq \f(|a|,5)<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即eq \f(|a|,5)＝10，a＝50或a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即eq \f(|a|,5)>10，a<－50或a>50. 【巩固训练7】设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (1) eq \r(x－22＋y2)的最值； (2) eq \f(y＋2,x＋1)的最小值； (3) 直线l:x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值； (4) 若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋m＝0的距离为eq \f(1,2)，求m的取值范围． eq \r(x－22＋y2)表示圆上的动点P(x, y)与定点(2,0)的距离． ∵圆心C(0,1)与定点(2,0)的距离是eq \r(2－02＋0－12)＝eq \r(5)， 圆的半径是1， ∴eq \r(x－22＋y2)的最小值是eq \r(5)－1，最大值是eq \r(5)＋1. 分析：eq \r(x－22＋y2)表是点P(x,y)与定点(2,0)的距离． 【巩固训练7】设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (1) eq \r(x－22＋y2)的最值； eq \f(y＋2,x＋1)表示圆上任一点P(x,y)与点(－1,－2)连线的斜率， 设eq \f(y＋2,x＋1)＝k，则y+2= k(x+1)，即kx－y＋k－2＝0， 当直线kx－y＋k－2＝0与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，由eq \f(|0－1＋k－2|,\r(k2＋1))=1，得k=eq \f(4,3) ，如图所示： ∴eq \f(y＋2,x＋1)的最小值为eq \f(4,3). 分析：eq \f(y＋2,x＋1)表示点P(x, y)与定点(－1,－2)连线的斜率. 【巩固训练7】设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (2) eq \f(y＋2,x＋1)的最小值； ∵圆心(0,1)到直线x－y－2＝0的距离为 eq \f(|－1－2|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)， ∴直线上的点到圆的距离的最大值为eq \f(3\r(2),2)＋1， 最小值为eq \f(3\r(2),2)－1. 【巩固训练7】设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (3) 直线l: x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值； 【巩固训练7】设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (4) 若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋m＝0的距离为eq \f(1,2)，求m的取值范围． 由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于eq \f(1,2)即可， 【总结】 解与圆有关的最值问题，要明确一下几种所给式子的几何意义： 设P（x,y)为圆上任意一点，则： k＝eq \f(y－b,x－a)表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率 由k＝eq \f(y－b,x－a)得直线方程为y-b=k(x-a),当直线与圆相切时k取得最大、最小值。 $