17.2.1 公式法分解因式 —平方差公式 学案— 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“用平方差公式分解因式”，通过温故知新复习分解因式概念及提取公因式法，结合整式乘法逆向思考引出新知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生构建知识脉络。 资料特色在于结构剖析助力学生用数学眼光识别公式特征，整体思想培养数学思维，步骤化教学（察-化-代-验）提升推理意识，分层练习结合实际问题发展应用意识，有效帮助学生掌握方法并提升核心素养。

用公式法分解因式——平方差公式 一、学习目标 1. 理解平方差公式法分解因式的原理，掌握平方差公式的结构特征。 2. 能够准确识别符合平方差公式形式的多项式。 3. 熟练运用平方差公式将多项式分解因式，并体会整体思想的运用。 二、课前预习 （一） 温故知新，情境导入 1.回忆旧知： （1）什么叫把一个多项式分解因式？ （2）用提取公因式法分解因式时，如何确定公因式？ 系数找最大，字母找相同，指数找最低。 2.先分解因式，再求值 (1)3(x-2)²(x-6)+11(2-x)(6-x),其中x=-1. 分析：公因式是___________ (2)9xy(x-y)(x+1)-3y(x-y)(3x+2y)+6y²(x-y)(x+1),其中x= - ,y= . 分析：公因式是___________ （二） 尝试练习，探求新知 1. 计算下列各式（整式乘法）： ( x + 2)( x - 2) = ______________ (2a + 1)(2a - 1) = ______________ (3m + 2n)(3m - 2n) = ______________ 2. 逆向思考： 上述计算我们运用了平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²。 这是一个整式乘法的过程。 反过来，如果我们得到a² - b²=(a + b)(a - b) 的形式 这就是我们今天要学习的——运用平方差公式分解因式。 3、 新课讲解 活动一：认识平方差公式法 1. 公式形成： 将平方差公式逆向使用，得到因式分解的公式： a² - b² = (a + b)(a - b) 语言描述： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 2. 结构剖析： 左边特征： · 是一个二项式。 · 两项都是平方项。 · 两项的符号相反（一正一负）。 · 右边结果： 两个因式的积，一个是这两个数的和，另一个是这两个数的差。 3. 概念辨析： “a”和“b”可以代表什么？ 它们可以代表一个数字、单项式，也可以是多项式（即一个整体）。 活动二：核心技能——识别平方差公式 例： 下列多项式能用平方差公式分解因式吗？为什么？如果能，请指出公式中的 a 和 b 分别是什么。 (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)² - (m-n)² 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号。 （三） 典例精析，掌握步骤 例1： 把下列各式分解因式： (1)4x² - 9 分析： 第一步：观察是否符合平方差公式。 4x² 是 (2x)²，9 是 3².符合！ 第二步：确定公式中的 a 和 b。 a = 2x，b = 3 第三步：套用公式分解。 原式 = (2x + 3)(2x - 3) 第四步：检查。检查每个因式是否还能分解。 (2) (x + p)² - (x + q)² 分析：把 (x+p) 和 (x+q) 分别看作一个整体。 第一步：观察是否符合平方差公式。 第二步：确定公式中的 a 和 b。 第三步：套用公式分解。 解：原式 = [ (x+p) + (x+q) ] [ (x+p) - (x+q) ] = (x + p + x + q)(x + p - x - q) = (2x + p + q)(p - q) 第四步：检查。检查每个因式是否还能分解。 【方法点睛】：当公式中的a 或 b 是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简。 例2： 分解因式： (1) x⁴- y⁴ (2) a³b - ab (1)解： x⁴- y⁴（提示：连续使用平方差公式） = (x²)² - (y²)² = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y) 注意： 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。 (2) a³b - ab （提示：先提取公因式，再考虑公式） 解： a³b - ab = ab(a² - 1) = ab(a + 1)(a - 1) 【方法点睛】：因式分解时，应首先考虑提取公因式，然后再考虑是否能用公式法。 【归纳：运用平方差公式分解因式的步骤】 1. 察：观察多项式的项数、符号、指数，判断是否符合平方差公式的特征。 2. 化：将多项式写成 ( )² - ( )² 的形式，确定公式中的 a 和 b。 3. 代：套用平方差公式 a² - b² = (a+b)(a-b) 进行分解。 4. 验：检查每个因式是否分解彻底，最后结果是否化为几个整式的积。 变式训练: 1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式?为什么? (1) x²+y²; (2) x²-y²; (3)-x²+y²; (4)-x²-y². 2.分解因式： (1)36-m²; (2)49n²-1; (3)a²-b²; (4)81a²-16b⁴; (5)4b²-(b+c)²; (6)(m+n)²-(m-2n)². 4、 课堂练习——学以致用 1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. x² + 4y² B. -x²-y² C. x²-2xy+y² D. 9-16x² 2. 将 a²-9b² 分解因式，结果是（ ） A. (a+9b)(a-9b) B.(a+3b)(a-3b) C.(a-3b)² D.(a+9b)(a-b) 3. 分解因式： (1) m² - 25n² (2) -49 + 16x²y² (3) (2a - b)² - (a - 2b)² 4.分解因式： (1) x⁵ - x³ (2) 3x³ - 12x 5.如图，在一块边长为 a 米的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为 b 米 (b < a) 的小正方形，求剩余部分（空白部分）的面积。当 a = 13.2，b = 3.2 时，请用因式分解的方法计算面积。 5、 课后练习——巩固提升 1.因式分解：1-100a²=___________,9x²-16y2=_____________. 2.______-9a²b²=(p²+____ )(p²- ____) 3.下列各多项式不能用平方差公式进行因式分解的是( ) A.25-x2 B.-x²-y² C.-1+81m² D.ap²-aq² 4.下列各式中，因式分解正确的是( ) A.4a²-1=(4a+1)(4a-1) B.a²+1=(a+1)(a-1) C.16-x⁴=(4+x²)(4-x²) D.a⁴-81=(a²+9)(a+3)(a-3) 5.将下列各多项式分解因式 (1) 9-a²b² (2)-x²+ y2 (3)2x-8x3 (4)9a2n - b4n (5) (3a+2b)2-(a-4b)2 (6)3a(a+b)²-75ab² (7)（x²-y²)-(x-y）² (8)16(2m+n)²-9(m-2n)² 6. 利用因式分级计算 (1)68.3²—31.7² (2)201²-522+253×51 (3)9×10 7. 分解因式：25(a-b+c)²-4(a+b—c)². 8. 分解因式（x²-3y2)²-36y4 9. 解方程：(15x-4)²-(7-15x)²=57. 10.试说明两个连续奇数的平方差必定能被8整除. 学科网（北京）股份有限公司 $