精品解析：河北省秦皇岛市海港区秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

秦皇岛市第三中学2025 - 2026学年度第一学期 第一次月考 高二数学试卷A 命题人：赵永男 注意事项： 1.考试范围：选择性必修一第一章、第二章前三节 2.考试时间：120分钟 3.试卷总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40.0分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解． 【详解】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质及可求解. 【详解】点关于平面的对称点是, 故选：C 5. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 6. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 7. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 8. 如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 二、不定项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18.0分.全部答对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴的截距是 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据直线方程的性质，逐一分析和判断各选项中关于直线方程的相关概念，包括截距、倾斜角、方向向量与斜率的关系以及点在直线上的方程表示是否正确． 【详解】选项A：直线方程为，当时，， 直线在轴的截距是，故A正确； 选项B：的斜率为，， ，故B正确； 选项C：直线的方向向量是，根据直线斜率与方向向量的关系可得直线斜率，故C正确； 选项D：点在直线上， ，即， 直线方程可表示为，即，故D正确． 故选：． 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用直线的单位方向向量为，可判断；对于B：设平面的法向量是，利用，可得；对于C：利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断；对于D：利用空间向量点到线的距离公式可判断. 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共 3 小题，每题 5 分，共 15.0 分） 12. 直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 14. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； 【小问3详解】 由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点． （1）求证：： （2）求证：平面. 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系， 则， 则， 由， 可得，得证. （2）证明：设平面的法向量为，因， 则，令，可得， 因，故得， 又平面，所以，平面. 【解析】 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【小问1详解】 直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 18. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】 如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】略 19. 在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）求解平面法向量，即可根据点到平面距离的向量法公式求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， , , 所以； ； 设与所成角为，则 故与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 则 设平面的法向量则且即： 令得故； ； 设点到平面的距离为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2025 - 2026学年度第一学期 第一次月考 高二数学试卷A 命题人：赵永男 注意事项： 1.考试范围：选择性必修一第一章、第二章前三节 2.考试时间：120分钟 3.试卷总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40.0分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 6. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18.0分.全部答对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴的截距是 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 三、填空题（本题共 3 小题，每题 5 分，共 15.0 分） 12. 直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为__________. 13. 已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________. 14. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 四、解答题 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点． （1）求证：： （2）求证：平面. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 18. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 19. 在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $