物理强基讲义-第一章1-2节

高中物理强基计划系统讲义 第一章：运动学 1.1质点运动的矢量描述与微积分基础 1.1.1位置与位移 位矢：t)=x(t)+yt)j+zt)R从坐标原点指向质点位置的矢量，唯一确定了质点在任意时刻t的位 置。 位移：行=(2)-t)描述质点位置变化的矢量，只与初末位置有关，与路径无关。 注意：4≠△s(位移大小≠路程)，除非是单向直线运动。 1.1.2速度—位矢的变化率 平均速度：元g架矢量，方向与厅相同) 4子_d近 瞬时速度：定义：元=lim4o=a正 求导计算：)=i+j+R=u,i+u,j+v,k dt dt dt 大小（速率）： =+呢+喔=器 方向：质点运动轨迹的切线方向。 1.1.3加速度—速度的变化率 平均加速度：ag=架（矢量，方向与4命相同） 瞬时加速度： 定义：a=lim4r-o定-正=a应 啦=啦=吃 求导计算：e-尝i+警j+警-a,i+a,j+a, dt 物理意义：描述速度矢量（大小和方向）变化的快慢。 【核心思想提升】运动学的核心就是研究t),t),t)这三个矢量函数之间的关系，而微积分是连接 它们的数学桥梁。 1.1.4微积分基本关系 求导关系：t=需 at=品-g 积分关系：t)=,+a()dπt)=7。+∫()d虹 1.2两类基本问题：从r(求导到由a积分 这是运动学计算的核心，所有问题都可归结为以下两类。 1.2.1第一类问题：已知运动方程()，求)和() 方法：连续求导。 例题1：已知一质点在平面内运动，其运动方程为t)=(3t2)+(4t-t)j(SI制)。求：1)t=1s时 的速度矢量。(2)0~2s内的平均加速度。(3)t=1s时的加速度矢量。 解： (①)t)=正=(6ti+(4-3t坊=>)=(6i+(1听ms (2)(0)=(0i+(4jm/s,(2)=(12)i+(4-12j=(12)i-(8)jm/s 元g架=90=(6-列ms 2 3)at=票=(6i+(-6tj→=(6i-(6jms 1.2.2第二类问题：已知加速度a和初始条件G0,o),求（和t) 方法：积分。积分常数由初始条件确定。 高中物理强基计划系统讲义 通用公式（一维）： v(t)vo+Sa(tdt x(t)=xo+Sv()dt 对于二维/三维运动，必须对每个分量独立进行上述积分过程。 例题2(a=恒矢量)（特例：匀变速运动）：一质点以初速度。=(l0i+15)m/s从原点抛出，加速 度a=(0)i+(-10)jm/s2(重力加速度)。求其轨迹方程。 解： -x方向：ax=0=>Vx=Vx0=10=>x=x0+Vx0t=10t y方向：a,=-10→，=0+a,t=15-10t→y=y0+vot+a,t2=15t-5t -消去t:t=。代入y得y=15)-5元2=1.5x-005x2抛物线) 例题3(a=a(t)型)：一质点沿x轴运动，加速度a=2t(SI制)，初位置xo=0,初速度vo=1m/s。 求t=3s时的速度与位置。 解： -v(t)=vo+Jadt=1+02tdr=1+[π2]5=1+t2=>v(3)=1+9=10ms -xe)=xo+vdt=0+6(1+rdr=0+r+写=t+号今x3)=3+号=12m 二维/三维：分量独立积分。 例题4(a=a()型·分离变量法)（动力学中常见，如空气阻力：质点沿x轴运动，加速度a=-kv (k为正常数)，初速度为vo。求速度随时间的变化关系v(t)。 方法：分离变量法 解： .=-kv -分离变量：-kdt 两边积分：些-k。dr 得：ln(v)-lnvo)=-kt=之ln()=-kt -所以：vt)=Voe-kt(速度指数衰减) 例题5(a=a(x)型)（动力学中常见，如弹簧振子、万有引力）：质点沿x轴运动，加速度a=-ω2x, 初速度为vo。求速度随位移的变化关系v(x)。 方法：链式法则+分离变量。a=v dv/dx=>vdv=a(x)dx=>∫vdv=∫a(s)dk。 解： -n=器-k 例题6弹簧振子a=-上x,求vs关系 解：a=v装=-点xv=-台xdk小vdv=-台xdk2=-点2+cv=±层a2-刘