14.3 角的平分线 练习 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.3 角的平分线 一、单选题 1．如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE=4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．已知，如图所示，点为直线上一点，点为射线上一点，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 5．如图，平分，，与相等的角有（      ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．学完尺规作图，某数学兴趣小组研究“过直线上一点作已知直线的垂线”这一问题，得到了很多种解决方案，小丽提出：可以将直线看作以点为顶点的平角，作出该角的平分线即可，作图痕迹如图所示，则的依据是（  ） A． B． C． D． 7．如图，，分别平分，，且点到的距离，的周长为28，则的面积为（    ）    A．7 B．14 C．28 D．56 8．如图，点 P 在∠MAN的角平分线上，点 B ，C 分别在 AM，AN上，作 PR⊥AM， PS⊥AN，垂足分别是 R，S．若∠ABP ∠ACP 180，则下面三个结论：① AS AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP ．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 9．在中，，，平分，交于点D，若，则 ． 1`0．如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为 ． 11．如图，在中，和的平分线交于点，，，若的面积为，则的面积为 ． 12．如图，已知，点C是的平分线上一点，，，E、F为垂足，点B在的延长线上，点D在上，若，，，则的长为 ． 13．如图，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，则∠ACP的度数是 ． 三、解答题 14．如图，在△ABC中，∠BAC = 70°，∠C = 60°， （1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D； （2）求∠BDC的度数． 15．如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 16．如图，点D到三边的距离相等，连接BD、AD，BD的延长线交AC于点E，，求的度数． 17．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．B 3．C 4．B 【分析】过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，根据角平分线的性质得出，证明，得出，从而得出，得出，证明，，得出，，即可得出． 【详解】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示： ∵，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明． 5．B 【分析】通过角平分线可以得到∠ABE和∠EBC相等，再利用两直线平行内错角相等即可得到∠EBC与∠DEB相等． 【详解】解：∵平分 ∴∠ABE=∠EBC 又∵ ∴∠EBC=∠DEB=∠ABE ∴有两个角与∠ABE相等 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 6．A 【分析】根据作图痕迹得：PA=PB，OA=OB，OP=OP，结合三角形全等判定定理，即可得到答案． 【详解】由作图痕迹得：PA=PB，OA=OB，OP=OP， ∴（SSS）， 故选A． 【点睛】本题主要考查尺规作图以及三角形全等的判定定理，掌握SSS证三角形全等，是解题的关键． 7. C 8. C 9． 10．3 11． 12．15 13．140° 14．（1）作图见详解 ；（2）∠BDC=． 【分析】（1）按基本作图，作已知角的平分线完成即可． （2）先据三角形三个内角之和是180°算出∠ABC的度数，再据角平分线定义算出∠ABD的度数，最后用三角形外角性质∠BDC的度数． 【详解】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、CB于E、F，再以点E、F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于G，过B经过点G作射线交AC于D， 如下图BD为所作． （2）∵∠BAC = 70°，∠C = 60°， ∴∠ABC=180°-∠BAC -∠C =180°－70°－60°=50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=25° ∴∠BDC=． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和，三角形外角性质．注意三角形的角平分线是条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点所在角的平分线和对边的交点． 15．(1) (2)5 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 16．80° 【分析】由题意角平分线上的点到角两边的距离相等可得BE平分，AD平分，进而依据三角形内外角和定理进行分析计算即可. 【详解】解：∵点D到三边的距离相等， ∴D在角平分线上，即BE平分，AD平分， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形内外角和定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【详解】（1）证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. （2）过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，    （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $