精品解析：吉林省吉林市第二十九中学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

初二数学学科学业诊断 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各组图形中全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 3. 如图，，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，，，则_____． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 9. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为__________． 10. 如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是__________°． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 13. 如图，在中，平分，E是上的一点，，相交于点F， ，，．求的度数． 请完成下面的推理过程： 解：∵平分，， ∴___________°， ∵是的一个外角， ∴____________°， 在中，_____， ∴______°． 14. 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的和，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． （1）请在图中画出边上的高； （2）请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； （3）直接写出（2）中的面积． 16. 如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 17. 如图，在中，是边上的高，，若平分交于点，，求的度数． 18. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 19. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若交于点，求证：是直角三角形． 20. 如图，，点在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 22. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当时，________cm，当时，________cm． （2）如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学学科学业诊断 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各组图形中全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的识别，根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析即可得出答案，熟练掌握全等图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据全等图形的定义可得：只有D选项符合题意， 故选：D． 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案． 【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若2cm为底边长，5cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用． 3. 如图，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先求出的度数，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可知解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，得出，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ∴， ∴， 故答案为：2． 9. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．熟练掌握常见的三角形的稳定性在实际生活中的应用，如钢架桥、房屋架梁等是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是__________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质解答即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴． 故答案为： 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点，进而得出，可得到及的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 13. 如图，在中，平分，E是上的一点，，相交于点F， ，，．求的度数． 请完成下面的推理过程： 解：∵平分，， ∴___________°， ∵是的一个外角， ∴____________°， 在中，_____， ∴______°． 【答案】；35；；100；；55 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：；35；；100；；55． 14. 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的和，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 【答案】 如图，过点M作ME⊥AB于点E， 根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD， ∵ME⊥AB， ∴∠AEM=90°， ∴CM=EM， 即MC的长度就等于点M到AB的距离． 【解析】 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，根据题意可得根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，从而得到∠CAD=∠BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． （1）请在图中画出边上的高； （2）请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； （3）直接写出（2）中的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； （2） 解：如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）确定边的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 16. 如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 先根据分别是的平分线可知，再由是的两个外角得出，故 根据在中即可得出结论． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∵是的两个外角， ∴， 在中， ∵， ∴． 17. 如图，在中，是边上的高，，若平分交于点，，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等内容；根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用三角形外角的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：是的一个外角，，是边上的高， ∴， 平分， ∴， ∴， 的度数为． 18. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若交于点，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据平行线的性质，求出，三角形的内角和定理得到，即可得证． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，，点在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ． 21. 在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）； （2）； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）略 （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 22. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当时，________cm，当时，________cm． （2）如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】（1）； （2）或 （3）运动的速度为或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时， 过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时，     ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $