16.3.3 乘法公式综合导学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦乘法公式（平方差公式、完全平方公式）及添括号法则，通过课前预习探究题（(a+b-c)²-(a-b-c)²）的两种解法，衔接旧知乘法公式与新知三项式运算，搭建从两项到三项转化的学习支架。 资料突出整体与转化思想，例题从基础到综合，如三项式平方转化为两项、逆用公式简便计算，培养运算能力与推理意识。拓展题含规律探究、整体代换，发展抽象能力与创新意识，助力学生深度掌握公式应用。

乘法公式 一、学习目标 1.理解平方差公式、完全平方公式，能熟练运用两个公式进行相关计算； 2.熟练掌握添括号、去括号法则. 二、课前预习 回顾乘法公式 探究:计算: (a+b-c)2-(a-b-c)2 由去括号法则可以得到 a+(b-c)=a+b-c; a-(b+c)=a-b-c. 反过来，就得到 a+b-c=a+(b-c); a-b-c=a-(b+c). 解法一： (a+b-c)2-(a-b-c)2 =[a+(b-c)]2-[a-(b+c)]2 =a2+2a(b-c)+(b-c)2 -[a2-2a(b+c)+(b+c)2] =a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2 -[a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2] =a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2 -a2+2ab+2ac-b2-2bc-c2 =4ab-4bc 小结：这里把（b-c）和（b+c)视为一个整体，把三个项的完全平方转化为两各项的完全平方； 解法二： 把(a+b-c)和（a-b-c）视为一个整体，原式可以看成是两个数的平方差，逆运用平方差公式可以进行简便计算 (a+b-c)2-(a-b-c)2 =[（a+b-c)+（a-b-c）]·[（a+b-c)-（a-b-c）] =（2a-2c）·2b =4ab-4bc 3、 新课讲解 添括号法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 例1运用乘法公式计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)². （1）分析：两个括号里2y与3的符号都相反，所以可以把它们一组添到前面带“+”的（ ）里，另一组添到前面带“-”的（）里. 解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3) =[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x²-(2y-3)² =x²-(4y²—12y+9) =x²-4y²+12y-9; 小结：三个项的乘法计算关键要把符号都相同或都相反的几个项添到一个括号里。 （2）分析：把三个项的完全平方转化为两个项的完全平方； 解法一： (a+b+c)² =[(a+b)+c]² =(a+b)²+2(a+b)c+c² =a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc. 小结：这里把（a+b）视为一个整体添到一个括号里，可不可以把（b+c）视为一个整体呢？ 解法二： (a+b+c)² =[a+(b+c)]² =a²+2a(b+c)+(b+c)² =a²+2ab+2bc+b2+2bc+c² =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc. 小结：有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式。 变式练习： 1.在等号右边的括号内填上适当的项. (1)a+b-c=a+( ); (2)a-b+c=a-( ); (3)a+b-c=a-( ); (4)a+b+c=a-( ). 2.运用乘法公式计算： (1)(x+y-1)(x-y-1); (2)(2x+y+z)(2x-y-z). 3.运用乘法公式计算： (1)(a+2b-1)²; (2)(2x-y+1)². 例2计算： （1） [(a+b)(a-b)]² 分析：本题先算中括号内的乘法，再算平方 解：原式=[a2-b2]²=a4-2a2b2+b4 （2） (-2x-1)²(2x-1)²-16(x+3)²(x-3)² 分析：本题逆运用积的乘方的计算法则，先算乘积，再算平方 解：原式=（4x2-1）2-16(x2-9)2=16x4-8x2+1-16(x4-18x2+81)=10x2-1295 （3） (m+n-1)(m-n-1)-(m-1)²+(n+1)² 分析：本题前两个括号中应把(m-1)视为一个整体 解：原式=[（m-1）2-（n）2]-(m-1)²+(n+1)² =（m-1）2-（n）2+（n）2-(m-1)²+（n）2+n+1 =n+1 总结：有理数四则运算的法则同样适用于整式的计算，但是巧妙运用幂的乘法法则和乘法公式能够进行简便计算。 例2已知(a+b)²=17,(a-b)²=13,求 (1) a²+b²的值；(2)ab的值. 解: ∵(a+b)²=17,(a-b)²=13 (1) ∴(a+b)²+(a-b)²=30 ∴a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=30 ∴2(a²+b²)=30 ∴a²+b²=15 (2) ∴(a+b)²-(a-b)²=4 ∴a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4 ∴2(2ab)=4 ∴ab=1 小结:巧妙利用和的平方与差的平方两个公式,可以在不求具体的字母值的情况下,求出两个数和与积的值. 变式练习: 已知x+=5,求x2+的值. 4、 课堂练习 1.请在下列横线上填上适当的式子： (1)(___+3b)(2a-3b)=4a²-____; (2)(2x+___)²=____+20xy+____; (3)(x+2)(x+___)=x²+___x+2; (4)(___+4y)(x+2y)=3x²+___xy+8y² 2.计算： (1)(2x²)³-6x³(x³+2x²+x); (3) (x+y+z)(x+y-z); (4) [(x+y)²-(x-y)²]÷2xy; (5) a²(a+2)²+2(a2-3)(a2+1) 3.两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗?若不相等，相差多少? 4.请在图中指出面积为(a+3b)²的图形，并指出图中有多少个边长为a的正方形，有多少个边长为b的正方形，有多少个两边长分别为a和b的长方形，然后用相应的公式进行验证。 5、 课后练习 1.(a+b)²+_____=(a-b)²,(a-b)²+_____=(a+b)². 2.已知(ma+nb)²=4a²+pab+b²,那么mn-p=_____ 3.下列各式中，能用完全平方公式计算的是( ) A.(a-b)(-b-a) B.(-n²-m²)(m²+n²) c.(- p+g)(q+ p) D.(2x—3y)(2x+3y) 4.下列计算正确的是( ) A.(a+2b)²=a²+4b² B.(5x-2y²)²=25x²-10x2y²+4y2 C.(4m²n²-1)²=16m4n⁴-8m²n²-1 D.(x²+6y)²= x4+4x²y+36y² 5.x²+( )+9y²是完全平方式，则括号内应是( ) A.6xy B.12xy C.—12xy D.12xy或一12xy 6.计算: (1)(2x—4y)(2y+x) (2)(z+y+z)² (3)(1+2a)(1-2a)(1-4a²) (4)(x+y-z)(x+y-z) 7.(1)已知x+y=8,xy=12,求x²+y2的值. (2)已知a-b=4,ab=3,求(a+b)²的值. 8.已知a(a-1)-(a²-b)=2,求-ab的值. 9. 用棋子摆出下列一组三角形，三角形每边有n枚棋子，母个二用形的棋子总数是S.按此规律推断，当三角形边上有n枚棋子时，该三角形的棋子总数S等于____________.(用含n的代数式表示) 10.数学课上老师出了一道题，计算： (++…+)(1+++…++)-(1+++…+)(++…++).小明看后说：“太繁琐，我是做不出来”;小杰思考后说：“若设++…+=x,运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了.”小明采用小杰的思路很快就完成了计算，请你根据小杰的思路完成计算. 学科网（北京）股份有限公司 $