精品解析：吉林省辽源市跨世纪学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

辽源市跨世纪学校2025—2026学年上学期第一次月考 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中称为二次项，称为一次项，c称为常数项．其中a，b，c分别称为二次项系数，一次项系数，常数项． 根据一元二次方程系数的定义，即可知道的二次项系数． 【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数为3． 故选：D． 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.，是正比例函数，不符合题意； B.，不符合二次函数的定义，不是二次函数； C.，是一次函数，不符合题意； D.，是二次函数，符合题意； 故选：D． 3. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 4. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 6. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，即可求出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：25． 8. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为， 故答案为：． 9. 若点和点均在二次函数的图象上，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 根据关于y轴的对称点为，当时，y随x的增大而增大，且，可得． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为y轴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 11. 如图，抛物线关于直线对称．下列四个结论中，①；②；③；④当时，；⑤，正确的有___________（填序号）． 【答案】①⑤##⑤① 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线开口方向以及与y轴的交点以及对称轴可判断①②；根据抛物线与x轴的交点可判断③；根据抛物线的对称性和图象在x轴上方部分可判断④；观察时可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， ∵抛物线关于直线对称， ∴，则， ∴，故①错误； ∵， ∴，②错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③错误； 由图知，当时，，故⑤正确； ∵抛物线关于直线对称， ∴当时，， ∴当时，不一定成立，故④错误， 综上，正确的有①⑤． 故答案为：①⑤． 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可； 【详解】解：， ， ，． 13. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 根据提取公因式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 15. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用公式法求解即可； 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【解析】 【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 17. 已知抛物线与直线交于和两点，请你确定抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线解析式的求解，准确计算是解题的关键． 先把点、代入一次函数解析式求出、，再代入抛物线解析式求解即可． 【详解】和在上， ，， ，， ，， 又，在二次函数上， ， 解得， 抛物线的解析式为． 18. 为何值时，关于的一元二次方程； （1）有两个相等的实数根？ （2）有两个不相等的实数根？ （3）无实数根？ 【答案】（1） （2）且 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【小问1详解】 方程有两个相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 【小问3详解】 方程无实数根， ， ． 19. 已知抛物线． （1）当顶点在轴上时，求抛物线的解析式； （2）若，写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若抛物线经过原点，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）对称轴是直线，顶点坐标是 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据函数的性质确定抛物线的形式，再由给出的条件求解是解题的关键． （1）顶点在轴上，满足的形式，求出即可得解； （2）把代入解析式，观察解析式的特点即可得解； （3）把代入即可得解； 【小问1详解】 顶点在轴上， ，即， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【小问3详解】 若抛物线经过原点，把代入得， 抛物线的解析式为． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 21. 如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）当的面积是时，直接写出t的值． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点P在上时，；当点P在上时，； （2）当点P、Q相遇时，，求出相遇时t的值，然后分两种情况讨论：当点P在上时，，，；当点P在上时，，，，分别求出关系式即可； （3）当点P在上时，令；当点P在上时，令，分别解方程即可． 【小问1详解】 解：分以下两种情况： 当点P在上时，根据题意得， ∴； 当点P在上时，根据题意得， ∴． 综上，或； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， 当点P、Q相遇时，， 解得， 分以下两种情况： 当点P在上时，， 根据题意得，，， ； 当点P在上时，，，， ． 综上所述，S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当点P在上时，令， 解得或； 当点P在上时，令， 解得（不符合舍去）， 综上，t的值为或． 22. 如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出直线的解析式为___________； （3）若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； （4）在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3），当时，最大值为 （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解； （4）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， 点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为， 点， 轴， 点， ， ， 当时，h的值最大，最大值为4； 【小问4详解】 解：在轴的负半轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当时， ， ， 点，点在轴的负半轴上， 点； 当时， 点，， ，， ， ， 点在轴的负半轴上， 点； 当时，点位于的垂直平分线上， ， 点位于的垂直平分线上， 此时点与点重合，不合题意，舍去； 综上所述，在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校2025—2026学年上学期第一次月考 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 6. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 8. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 9. 若点和点均在二次函数的图象上，则______（填“”、“”或“”）． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 11. 如图，抛物线关于直线对称．下列四个结论中，①；②；③；④当时，；⑤，正确的有___________（填序号）． 12. 解方程：． 13. 解方程 14. 解方程：． 15. 用公式法解方程：． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 17. 已知抛物线与直线交于和两点，请你确定抛物线的解析式． 18. 为何值时，关于的一元二次方程； （1）有两个相等的实数根？ （2）有两个不相等的实数根？ （3）无实数根？ 19. 已知抛物线． （1）当顶点在轴上时，求抛物线的解析式； （2）若，写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若抛物线经过原点，求抛物线的解析式． 20. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 21. 如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）当的面积是时，直接写出t的值． 22. 如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出直线的解析式为___________； （3）若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； （4）在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $