第01讲 数数图形（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第01讲 数数图形 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 数数图形是指通过观察图形的特征和结构，有规律地数出图形中包含的线段、角、三角形、长方形等基本图形的数量。这是培养空间想象能力和逻辑思维能力的重要基础。 关键要素：图形特征（基本组成部分）、计数规则（有序计数）、分类方法（按大小或位置）、计算技巧（加法原理）。 2. 基本方法 ① 枚举法：按照一定顺序，不重复、不遗漏地一一数出图形数量。 ② 分类法：将图形按大小、形状或位置分类，分别计数后相加。 ③ 公式法：对规则图形使用固定公式计算（如数线段公式：n×(n-1)÷2）。 ④ 分解法：将复杂图形分解为基本图形，分别计数后相加。 ⑤ 标记法：给图形各部分做标记，确保计数时不重复、不遗漏。 二、核心题型与技巧 题型1：数线段问题 技巧：先数基本线段，再数由基本线段组成的组合线段，最后求和；或使用公式：n×(n-1)÷2（n为基本线段数）。 题型2：数角问题 技巧：与数线段方法类似，先数基本角，再数组合角，最后求和；或使用公式：n×(n-1)÷2（n为基本角数）。 题型3：数三角形问题 技巧：单层三角形可类比数线段方法；多层三角形先按层数分类，再用公式计算每层数量后相加。 题型4：数长方形问题 技巧：先数长边上的线段数，再数宽边上的线段数，两者相乘即为长方形总数。 题型5：数复杂图形问题 技巧：先分解图形为基本图形，按类别计数；注意重叠部分的处理，避免重复计数。 三、常见错误提醒 1.重复计数：未按顺序计数，导致同一图形被多次统计。 2.遗漏计数：忽略较小或隐藏的图形。 3.分类混乱：未明确分类标准，导致计数混乱。 4.公式误用：对不规则图形盲目套用公式。 5.层次不清：复杂图形中未区分基本图形与组合图形。 例题讲解 题型1：数线段问题 例题1：图中一共有（    ）条线段。 A．3 B．5 C．6 【答案】C 【分析】线段有两个端点，有限长，两点之间可以作一条线段。 根据图片可知：从前往后数：一共有3条短的线段，前两条组成一条较长的线段，后面两条短的组成1条较长的线段，3条短线段组成一条长线段。分别把这个几条相加求出共有的即可。 【详解】 （条） 所以一共有6条线段。 故答案为：C 跟踪练习1：下面各图中分别有多少条线段？                【答案】10条；21条 【分析】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。据此以某个端点为起点，同一方向它后面的端点依次作为终点，数出线段数量再相加即可。 【详解】（1）4＋3＋2＋1＝10（条） （2）（5＋4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1） ＝（9＋5＋1）＋（5＋1） ＝15＋6 ＝21（条） ：有10条线段。 ：有21条线段。 【点睛】数线段时要按照一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。 题型2：数角问题 例题2：数一数，图中一共有( )个角，锐角有( )个，直角有( )个，钝角有( )个。 【答案】 10 5 2 3 【分析】由一个点引出两条直直的线所组成的图形是角，这个点是角的顶点，两条直直的线是角的边。和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。三角尺上最大的角是直角，可由此比较解答。 【详解】图中一共有10个角，锐角有5个，直角有2个，钝角有3个。 跟踪练习2：下图中，一共有( )个角。 【答案】6 【分析】按顺序依次数，由一个角组成的角有3个，由两个角组成的角有2个，由三个角组成的角有1个，将数据加起来即可得出一共有几个角。 【详解】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 所以一共有6个角。 【点睛】本题主要考查数角，需按顺序仔细数。 题型3：数三角形问题 例题3：数一数，图中有( )个三角形。 【答案】3 【分析】三角形：有三个尖尖的角，三条直直的边；单独的三角形有2个，2个三角形组成一个较大的三角形，一共有3个三角形。 【详解】 数一数，图中有3个三角形。 跟踪练习3：下图中有（    ）个三角形。 A．4 B．6 C．8 【答案】C 【分析】单个数：图中有上下左右4个三角形；两两结合组合图形有：左上结合、左下结合、右上结合、右下结合，共4个，把单个数的图形个数和组合图形个数相加即可，据此解答。 【详解】4＋4＝8（个） 图中有8个三角形。 故答案选：C 题型4：数长方形问题 例题4：数一数，下图有( )个长方形。 【答案】9 【分析】单独的小长方形有4个，两个小长方形组成的长方形有4个，4个小长方形组成的长方形有1个，相加即可。 【详解】4＋4＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 下图有9个长方形。 跟踪练习4：下边有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．9 【答案】C 【分析】像这样长长方方的图形是长方形。由此数出单独的长方形数量和组合成的长方形数量，相加就是总数量。 【详解】单独的小长方形有4个；2个小长方形组成的大长方形有4个；4个小长方形组成的大长方形有1个。 4＋4＋1＝9（个） 一共有9个长方形。 故答案为：C 提升练习 1．下面的直线上有A、 B、C三个点，共有( )条射线，( )条线段。 【答案】 6 3 【分析】射线，有一个端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，有具体的长度。据此数出射线和线段的数量。 【详解】每个点可以数出2条射线，共三个点，所以一共有2×3＝6（条）射线； 两个点可以确定一条线段，所以线段有AB、AC、BC，共3条。 综上，图中直线上有A、B、C三个点，共有6条射线，3条线段。 2．下图这个图形里有( )条线段，( )个角，其中( )个钝角。 【答案】 7 10 4 【分析】线段两端都有端点，不可延长，两个端点间的线条是直的。 由一个点引出两条直直的线所组成的图形是角。 三角尺上最大的角为直角，用三角板的直角进行比较测量，比直角小的就是锐角，比直角大的就是钝角。 【详解】下图这个图形里有7条线段，10个角，其中4个钝角。 3．下图中共有( )条线段。 【答案】6 【分析】线段有两个端点，以A点为起点的线段有3条，分别为：AB、AC、AD；排除点A，以B点为起点的线段有2条，分别为：BC、BD；排除点A、B，以C点为起点的线段有1条，为：CD；以D点为起点的线段有0条，据此解答。 【详解】根据分析： 3＋2＋1＝6（条） 所以图中共有6条线段。 4．下面图形中，有( )条线段，( )个角，其中有( )个锐角。 【答案】 8 7 3 【分析】线段是一条直直的线，有限长，有两个端点，可以测量； 角有两条直直的边和一个公共端点，这两条直直的边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点； 三角板上最大的角就是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。据此数出图中线段、角、锐角的数量即可。 【详解】由图可知，单条的线段有6条，由2条单条的线段组成的线段有2条，所以一共有6＋2＝8（条）； 数出一共有7个角，其中锐角有3个。 5．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有 条。 【答案】21 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。据此可知，包含“☆”的线段左端点在“☆”的左边，从2个点中选1个，右端点在“☆”的右边，从6个点中选1个，由此包含“☆”的线段有2×6＝12条。同理，“△”左边端点可选的有5个，从5个中选1个，右端点有3个，从3个中选1个，所以包含“△”的线段有5×3＝15条。其中还有重复计算的部分，根据集合的知识点，还要减去同时包含“☆”和“△”的线段条数，同时包含“☆”和“△”的线段左端点有2个，右端点有3个可选，所以共有2×3＝6条，所以至少包含“☆”和“△”中一个的线段有12＋15－6条。 【详解】12＋15－6 ＝27－6 ＝21 则至少包含“☆”和“△”中一个的线段有21条。 【点睛】熟练掌握线段的定义，注意线段有两个端点。 6．下图中有( )条线段。 【答案】15 【分析】观察图形可知，单独的线段有5条，由两条单独的线段组成的线段有4条，由三条单独的线段组成的线段有3条，由四条单独的线段组成的线段有2条，由五条单独的线段组成的线段有1条，则一共有5＋4＋3＋2＋1条。 【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 则图中有15条线段。 【点睛】数线段的数目时，要按照顺序去数，要做到不重复、不遗漏。 7．如下图，有( )个直角，( )个钝角。 【答案】 11 2 【分析】在三角板上，最大角就是直角，钝角比直角大，锐角比直角小；据此数一数各有几个即可。 如图1，有11个直角；如图2，有2个钝角。 （图1）        （图2） 【详解】由题意分析得： 如下图，有11个直角，2个钝角。 8．图中有 条射线，有 个锐角。 【答案】 4 6 【分析】把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，依此数出射线的条数。从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。单个的锐角有3个，由2个小锐角组成的大锐角有2个，由3个小锐角组成的大锐角有1个，依此计算出锐角的总个数即可。 【详解】根据分析可知： 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 图中有4 条射线，6个锐角。 9．数一数：有多少个角？      ( )个                 ( )个 【答案】 15 36 【分析】根据角的概念，即由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，按顺序一条边一条边的找即可找出所有的角。 图一，单个的小角有5个，由2个小角组成的大角有4个，由3个小角组成的大角有3个，由4个小角组成的大角有2个，由5个小角组成的大角有1个，依此计算出角的总个数即可。 图二，单个的小角有8个，由2个小角组成的大角有7个，由3个小角组成的大角有6个，由4个小角组成的大角有5个，由5个小角组成的大角有4个，由6个小角组成的大角有3个，由7个小角组成的大角有2个，由8个小角组成的大角有1个，依此计算出角的总个数即可。 【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）       （15）个                          （36）个 10．数一数，如图所示的图形有( )个角。 ​ 【答案】6 【分析】根据角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，因此由一个单角构成的角有3个（∠AOB，∠BOC，∠COD），由两个单角构成的角有2个（∠AOC，∠BOD），由三个单角构成的角有1个（∠AOD），一共有（3＋2＋1）个角，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 角的个数为：3＋2＋1＝6（个） 所以如图所示的图形有6个角。 11．我会数。 ( )个三角形    ( )个长方形 【答案】 6 9 【分析】单独的小三角形有3个，2个小三角形组成的三角形有2个，3个小三角形组成的三角形有1个，相加即可。 单独的小长方形有4个，2个小长方形组成的长方形有4个，4个小长方形组成的长方形有1个，相加即可。 【详解】3＋2＋1＝6（个） 6个三角形 4＋4＋1＝9（个） 9个长方形 12．数一数，填一填。 ( )个      ( )个        ( )个 【答案】 5 6 3 【分析】三角形有3条直直的边；正方形是方方正正的，有4条直直的边，每条边都相等。由此数出单独的图形和组合成的图形，相加就是总数量。 【详解】图1：单独的小三角形有4个，4个小三角形组成的大三角形有1个，一共有4＋1＝5（个）； 图2：单独的小正方形有5个，4个小正方形组成的大正方形有1个，一共有5＋1＝6（个）； 图3：有3个单独的正方形。 13．图中共有( )个三角形（图示：由3个小三角形组成的图形）。 【答案】6 【分析】根据题图可知：图是有3个小三角形组成的1个大三角形，则此时已有4个三角形，然后从左数前两个小三角形组成1个较大的三角形，从右数，前两个小三角形组成1个较大的三角形，把数的数量相加即可。 【详解】4＋1＋1＝6（个） 则图中共有（6）个三角形（图示：由3个小三角形组成的图形）。 14．下图中共有( )个三角形。 【答案】5 【分析】根据题图可知，单独小块的三角形有3个，两小块拼成的三角形有2个，把它们相加，即可求出共有多少个三角形，据此解答。 【详解】根据分析可得： 3＋2＝5（个） 下图中共有5个三角形。 15．数一数，填一填。 有( )个长方形                  有( )个三角形 【答案】 6 6 【分析】左图：小长方形有3个，由2个小长方形组成的长方形有2个，由3个小长方形组成的长方形有1个，合起来一共有6个。 右图：小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有2个，合起来一共有6个。 【详解】由题意分析得： 左图：3＋2＋1＝6（个） 右图：4＋2＝6（个） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第01讲 数数图形 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 数数图形是指通过观察图形的特征和结构，有规律地数出图形中包含的线段、角、三角形、长方形等基本图形的数量。这是培养空间想象能力和逻辑思维能力的重要基础。 关键要素：图形特征（基本组成部分）、计数规则（有序计数）、分类方法（按大小或位置）、计算技巧（加法原理）。 2. 基本方法 ① 枚举法：按照一定顺序，不重复、不遗漏地一一数出图形数量。 ② 分类法：将图形按大小、形状或位置分类，分别计数后相加。 ③ 公式法：对规则图形使用固定公式计算（如数线段公式：n×(n-1)÷2）。 ④ 分解法：将复杂图形分解为基本图形，分别计数后相加。 ⑤ 标记法：给图形各部分做标记，确保计数时不重复、不遗漏。 二、核心题型与技巧 题型1：数线段问题 技巧：先数基本线段，再数由基本线段组成的组合线段，最后求和；或使用公式：n×(n-1)÷2（n为基本线段数）。 题型2：数角问题 技巧：与数线段方法类似，先数基本角，再数组合角，最后求和；或使用公式：n×(n-1)÷2（n为基本角数）。 题型3：数三角形问题 技巧：单层三角形可类比数线段方法；多层三角形先按层数分类，再用公式计算每层数量后相加。 题型4：数长方形问题 技巧：先数长边上的线段数，再数宽边上的线段数，两者相乘即为长方形总数。 题型5：数复杂图形问题 技巧：先分解图形为基本图形，按类别计数；注意重叠部分的处理，避免重复计数。 三、常见错误提醒 1.重复计数：未按顺序计数，导致同一图形被多次统计。 2.遗漏计数：忽略较小或隐藏的图形。 3.分类混乱：未明确分类标准，导致计数混乱。 4.公式误用：对不规则图形盲目套用公式。 5.层次不清：复杂图形中未区分基本图形与组合图形。 例题讲解 题型1：数线段问题 例题1：图中一共有（    ）条线段。 A．3 B．5 C．6 跟踪练习1：下面各图中分别有多少条线段？                题型2：数角问题 例题2：数一数，图中一共有( )个角，锐角有( )个，直角有( )个，钝角有( )个。 跟踪练习2：下图中，一共有( )个角。 题型3：数三角形问题 例题3：数一数，图中有( )个三角形。 跟踪练习3：下图中有（    ）个三角形。 A．4 B．6 C．8 题型4：数长方形问题 例题4：数一数，下图有( )个长方形。 跟踪练习4：下边有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．9 提升练习 1．下面的直线上有A、 B、C三个点，共有( )条射线，( )条线段。 2．下图这个图形里有( )条线段，( )个角，其中( )个钝角。 3．下图中共有( )条线段。 4．下面图形中，有( )条线段，( )个角，其中有( )个锐角。 5．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有 条。 6．下图中有( )条线段。 7．如下图，有( )个直角，( )个钝角。 8．图中有 条射线，有 个锐角。 9．数一数：有多少个角？      ( )个                 ( )个 10．数一数，如图所示的图形有( )个角。 ​ 11．我会数。 ( )个三角形    ( )个长方形 12．数一数，填一填。 ( )个      ( )个        ( )个 13．图中共有( )个三角形（图示：由3个小三角形组成的图形）。 14．下图中共有( )个三角形。 15．数一数，填一填。 有( )个长方形                  有( )个三角形 1 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