学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（苏科版九上第1章～第2章）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10. 11 12 13. 15. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) F B 0 A 图1 图2 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D 0 C B 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) A B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) C C+ A P B 26.(14分) 图 图3 2 m 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上第一章~第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程可化成的形式，则等于　　 A． B．4 C． D．14 3．如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数 （ ）　　 A． B． C． D． 4．近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 5．如图，是的直径，是弦，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程满足，有两个相等的实数根，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 7．如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 8．如图，的半径为4，弦的长为，点为优弧上一动点，交直线于点，则△的面积的最大值是　　 A． B． C． D． 二．填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9．一元二次方程的两根为和，则 　． 10．如图，某同学准备用一根内半径为的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为，则槽的深度 为 　 　． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　． 12．已知，，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三条边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为 　 ． 13．如图，边长为的正方形内接于，分别过点，作的切线，两条切线交于点，则图中阴影部分的面积是 　 ． 14．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 　 　 ． 15．如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按点，，，，，循环，其弧长分别记为，，，，，，．当时，等于　 ． 16．如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 　 ． 三、 解答题(本大题共8小题，共102分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明) 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）（用配方法解）． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、．（网格小正方形的边长为． （1）请在图中标出圆心点位置，点的坐标为__________；的半径为__________； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 19．（10分）已知矩形，，，点是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点． （1）如图1，连接，若是圆的切线， ①求证：； ②设与交于点，求的长． （2）若动点从点向运动，连接，作四边形关于直线对称的四边形，如图2．求点在运动过程中线段扫过的面积． 20．（10分）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 21．（10分）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且平分，求证：． 22．（10分）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 23．（10分）交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔．某品牌头盔在销售单价不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了． （1）求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额月销量单价）； （2）若该品牌头盔5月销售总额为7000元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超过10000元？ 24．（10分）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 25．（12分）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么__________秒后，的长度等于； （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果，分别从，同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在．请说明理由． 26．（14分）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单．【初步运用】 （1）如图1，四边形中，，，求的度数． 请完成思路分析：如图2，由知、、在以为圆心以为半径的圆上，由，可得__________．（本题直接填写答案，不用写出解答过程） 【方法迁移】 （2）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【问题拓展】 （3）①如图4，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 　　． ②如图5，在中，，是边上的高，且，，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 C D C D A c D C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.2047 10.211.m且m012.9或513.1-年4.2515.6如-2022 16 3 2√7-2 四、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【解析】(1)(x-5)2=2(5-x), (x-5)2-2(5-x)=0, .(x-5)x-5+2)=0, x1=5,x2=3;(4分) (2)x2-4x+1=0, .x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3, x-2=±V5, x=2+3,x2=2-V3.(8分) 18.(8分) 【解析】(1)如图，点P为所作，P点坐标为(2，-1)， B PA=V22+42=2V5, 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即0P的半径为2√5； 故答案为：(2，-1)，2√5；(3分) (2):P(2,-1),M(-1,1), .PM=(2+1)2+(-1-1)2=13, V13<√20=2√5， .PM的长小于圆的半径， .点M在0P内；(5分) (3)PA=PC=2V5,AC=V22+62=210, .PA2+PC2=AC2, .△PAC为直角三角形，∠APC=90°， 设该圆锥的底面圆的半径为r, 根据题意得2πr= 90×π×2V5 180 解得，= 3N (8分) 19.(10分) 【解答】(1)①证明：，矩形ABCD,AD=√3，点O是AD的中点， .A0=D0=3V3,∠A=90°， BA是圆O的切线， :A'B是圆O的切线。 AB=A'B;(2分) ②解：如图1，连接0B,则∠A0B=∠A'0B, 图1 :四边形ABCD是矩形， 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BC//AD, .∠FBO=∠AOB, ∠FBO=∠A'0OB, :FB=FO, 设FB=F0=x,则A'F=OA'-OF=3V5-x, 则在直角三角形A'BF中，A'B=AB=3, 根据勾股定理可得：AF2+A'B2=BF2, (3V3-x)2+32=x2, 解得：x=2√3， .0F=25;(5分) (2)解：当B、G重合时，如图2， B(G) 图2 ∠A0B=30°； 当G、C重合时，如图3， GC F A B 图3 :∠B0G=∠B'0G=120°， .点B旋转的角度是240°， 0B=0B',0A=0A', :线段4g'扫过的面积=240：08_240x:04-2x0g-x04=2元4B=6m.（10分) 360 360 3 3 3 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(10分) 【解析】(1)是“黄金方程”，理由如下： x2+2x-3=0, .(x+3)(x-1)=0, x+3=0或x-1=0, x1=-3,x2=1, :C=-3, .一元二次方程x2+2x-3=0是“黄金方程”；(5分) (2)关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0(c≠0)是“黄金方程”， .2c2+bc+c=0, :c≠0， 2c=-b-1, 公-2c+1=+b*1+1=6+分+好 7 b+0, 6-2c+1的最小值为 .(10分) 21.(10分) 【解析】(1)：AC是⊙0的直径， ∠ABC=90°， :∠ACB=25°， :.∠BAC=90°-∠ACB=650, :∠BDC=LBAC=65.(4分) (2):BD平分∠ABC, :∠ABD=∠CBD, ∴∠DAC=∠CBD, :AE平分∠CAB, :Z BAE ZCAE, :Z DAE ZDAC Z CAE,ZAED ZBAE +ZABD Z CAE ZDAC, ∴.∠DAE=∠AED, 4/9 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DA=DE.(10分) 22.(10分) 【解析】(1)如图所示，连接BF,AE交于点O,连接BD,，EC交于点N,直线ON即为所求作. E 、0 (4分) (2)设黄芪的销售单价定为x元，则每斤的销售利润为(x-40)元，月销售量为 500-10(x-50)=1000-10x)斤.(5分) 根据题意列方程得，(x-40)1000-10x)=8000.(7分) 整理得，x2-140x+4800=0. 所以(x-60)(x-80)=0. 解得x=60(不符合题意，舍去)，x,=80.(9分) 所以李伯应将销售单价定为80元， 答：李伯应将销售单价定为80元.(10分) 23.(10分) 【解析】(1)设该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为x,3月份的月销量为a, 由题意得：a(1+x)2=a(1+44%), 解得：x2=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去)， 答：该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为20%；(5分) (2)由题意可知，7月份该品牌头盔月销售总额为：7000(1+20%)2=10080（元）， :10080>10000, :7月份该品牌头盔月销售总额超过10000元. (10分) 24.(10分) 【解析】(1)证明：连接0C, 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B D :AB是⊙0的直径， LACB=∠AC0+∠BC0=90°， :0A=0C, .∠AC0=∠A, :LBCD=∠A, :ZACO=ZBCD, ∠BCD+∠BC0=90°，即∠BC0=90°， :0C是⊙0的半径， :CD是⊙0的切线；(5分) (2)解：：⊙0的半径为6，CD=8, 0C=0B=6, 在Rt△C0D中：0D=V0C2+CD2=10, BD=0D-0B=10-6=4. (10分) 25.(12分) 【解析】(1)设经过t秒后，PQ的长度等于2√10， 点P的速度为lcm/s,点Q的速度为2cm/s,AP=tcm,BQ=2tcm, .BP =(5-t)cm, :∠B=90°， :.PO2 BP2+B02, .(2V10)2=(5-t02+(2)2, 解得：t=-1(舍去)，t,=3, 答：3秒后，PQ的长度为2V10cm;(4分) 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2(0<x3.5), :点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s, .AP=x cm,BO=2x cm, .BP =(5-x)cm, :△PBQ的面积=BP.BQ=4, 2 1 “2×5-0x2x=4 整理得：x2-5x+4=0, 解得：x=1,x2=4(舍去)， 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2;(8分) (3)不存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q,理由如下： 设经过y秒后，存在这样的时刻，使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q, 点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s, .AP=y cm,BO=2y cm, .BP=(5-t)cm, :∠B=90°， ∴.P0=VBP2+B02=V(5-y)2+(2y)2=V5y2-10y+25, 以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q, .AP=PO, .y=V5y2-10y+25, y2=5y2-10y+25, .4y2-10y+25=0, ∴.△=(-10)2-4×4×25=-300， -300<0, .方程4y2-10y+25=0无解， .不存在这样的时刻.使以P为圆心，AP为半径的圆正好经过点Q.(12分) 26.(14分) 7/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)：∠BAC是OA的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC=80°， ·∠BDC= 2<BAC=40°： 故答案为：40；(3分) (2)作图如下： 由图知，∠APB=∠AOB=30°；同理∠AP,B=30°. P P21 B (5分) 4)①2m<1+ 2 在BC上截取BF=BA=V2,连接AF,以AF为直径⊙O,⊙O交AD于E,交BC于F,连接EF,过圆 心O作OG⊥EF于H且交圆O于G,过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于M,如图所示： E K D 1 、H B 、---℉MC BA=BF=2, AF=2, 00的半径为1，即0F=0G=1, :OG⊥EF, FH= 2 0H= 2 GH=1 2 :BF m<BM, 5m<2+1-5,即2m<1+ 2 故答案为：V2m<1+ ；(8分) 2 ②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作0F⊥AD于点F,连接OA、OB、OC· 8/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B、.E.DC :∠BAC=45°， ∠B0C=90°. 在RtAB0C中，BC=3+1=4, :B0=C0=2W2. :0E⊥BC,O为圆心， BECE-8c2. :DE =OF=1. 在RtAB0E中，BO=2V2,BE=2, :.0E=DF=2. 在RtAA0F中，A0=2√2,0F=1, AF=V0A2-0F2=V8-1=√万， AD=V7+2.(14分) 9/92025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.AIIBIICIIDI 5.JAIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1A]IBIICIIDI 3.[AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 8.1A]IB]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10 11. 12. 13. 14. 15 16. 和脑口h体脂后山n:m么忙山阳一学从体六干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共y个小邀，共6分.胼合应与出义子况明，址明心在叱异步探） 17.(8分) 18.(8分) yA r- -L-J-- - A r 请椿车趣馆趣酸售等超超年形限定酸馆等绕效」 19.(10分) B y- B G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 0 C E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) C @ A P 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上第一章~第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】．方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是分式方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意； ．是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 2．若关于的一元二次方程可化成的形式，则等于　　 A． B．4 C． D．14 【答案】 【解析】原方程移项、配方得： ， ， ； 故选：． 3．如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数 （ ）　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】连接、， 、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 故选：． 4．近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意得． 故选：． 5．如图，是的直径，是弦，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】是的直径， ， ， ． 故选：． 6．关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意得△， ， ， ， ， ，解， 或． 故选：． 7．如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图，连接、，过点作交于点． △是等边三角形， ， ， △与△为等边三角形， ，， ， △为等边三角形， ，， ， ， ， ． 故选：． 8．如图，的半径为4，弦的长为，点为优弧上一动点，交直线于点，则△的面积的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图，连接，，过点作于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， 点在为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，△的面积最大， ，， △是等边三角形， ，， ， △面积的最大值． 故选：． 二．填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9．一元二次方程的两根为和，则　2047　． 【答案】2047． 【解析】根据题意得，，， ， 原式． 故答案为：2047． 10．如图，某同学准备用一根内半径为的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为，则槽的深度为 　2　． 【答案】2． 【解析】如图，由题意可知，，，则， 在中，由勾股定理得， ， ． 故答案为2． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　 ． 【答案】且． 【解析】关于的一元二次方程有实数根， △且， 解得：且． 12．已知，，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三条边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为 　9或5　． 【答案】9或5． 【解析】当时，△， 解得， ， 满足条件； 当时，，， 解得，， 当时，同理可得，， 综上所述，的值为9或5． 故答案为：9或5． 13．如图，边长为的正方形内接于，分别过点，作的切线，两条切线交于点，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】， 【解析】连接，， ，是的切线， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， 图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：， 14．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 　25　 ． 【答案】25． 【解析】设第二、三天销售量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即第二、三天销售量的平均增长率为， 故答案为：25． 15．如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按点，，，，，循环，其弧长分别记为，，，，，，．当时，等于　 ． 【答案】． 【解析】根据题意得：， ， ， ， 按照这种规律可以得到：， 所以． 16．如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 　　 ． 【解析】点在所对圆周角的圆上运动， 当的延长线过圆心时，有最小值，连接，，过作于，过作于， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． 的最小值是． 故答案为：． 三、 解答题(本大题共8小题，共102分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明) 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）（用配方法解）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ， ，． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、．（网格小正方形的边长为． （1）请在图中标出圆心点位置，点的坐标为 　　；的半径为 　　； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】（1），； （2）圆内； （3）． 【解析】（1）如图，点为所作，点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2），， ， ， 的长小于圆的半径， 点在内； （3），， ， 为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得． 19．（10分）已知矩形，，，点是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点． （1）如图1，连接，若是圆的切线， ①求证：； ②设与交于点，求的长． （2）若动点从点向运动，连接，作四边形关于直线对称的四边形，如图2．求点在运动过程中线段扫过的面积． 【答案】（1）①证明见解析； ②； （2）． 【解答】（1）①证明：矩形，，点是的中点， ，， 是圆的切线， 是圆的切线． ； ②解：如图1，连接，则， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， 则在直角三角形中，， 根据勾股定理可得：， ， 解得：， ； （2）解：当、重合时，如图2， ； 当、重合时，如图3， ， 点旋转的角度是， ，， 线段扫过的面积． 20．（10分）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）是“黄金方程”，理由见解析； （2）． 【解析】（1）是“黄金方程”，理由如下： ， ， 或， ，， ， 一元二次方程是“黄金方程”； （2）关于的一元二次方程是“黄金方程”， ， ， ， ， ， 的最小值为． 21．（10分）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且平分，求证：． 【答案】（1）； （2）证明过程见解答． 【解析】（1）是的直径， ， ， ， ． （2）平分， ， ， 平分， ， ，， ， ． 22．（10分）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）见解析； （2）李伯应将销售单价定为80元． 【解析】（1）如图所示，连接，交于点，连接，交于点，直线即为所求作． （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤． 根据题意列方程得，． 整理得，． 所以． 解得（不符合题意，舍去），． 所以李伯应将销售单价定为80元， 答：李伯应将销售单价定为80元． 23．（10分）交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔．某品牌头盔在销售单价不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了． （1）求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额月销量单价）； （2）若该品牌头盔5月销售总额为7000元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超过10000元？ 【答案】（1）； （2）7月份该品牌头盔月销售总额超过10000元． 【解析】（1）设该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为，3月份的月销量为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为； （2）由题意可知，7月份该品牌头盔月销售总额为：（元， ， 月份该品牌头盔月销售总额超过10000元． 24．（10分）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：的半径为6，， ， 在△中：， ． 25．（12分）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么 　3　秒后，的长度等于； （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果，分别从，同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在．请说明理由． 【答案】（1）3； （2）1秒； （3）不存在这样的时刻．使以为圆心，为半径的圆正好经过点．理由见解析． 【解析】（1）设经过秒后，的长度等于， 点的速度为，点的速度为， ， ， ， ， ， ， 解得： （舍去），， 答：3秒后，的长度为； （2）设经过秒以后，面积为 ， 点的速度为，点的速度为， ， ， ， 的面积， ， 整理得：， 解得：， （舍去）， 答：1秒后的面积等于； （3）不存在这样的时刻，使以为圆心，为半径 的圆正好经过点，理由如下： 设经过秒后，存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点， 点的速度为，点的速度为， ， ， ， ， ， 以为圆心，为半径的圆正好经过点， ， ， ， ， △， ， 方程 无解， 不存在这样的时刻．使以为圆心，为半径的圆正好经过点． 26．（14分）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单．【初步运用】 （1）如图1，四边形中，，，求的度数． 请完成思路分析：如图2，由知、、在以为圆心以为半径的圆上，由，可得__________．（本题直接填写答案，不用写出解答过程） 【方法迁移】 （2）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【问题拓展】 （3）①如图4，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 　　． ②如图5，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【解析】（1）是的圆心角，是的圆周角，， ；故答案为：40； （2）作图如下： 由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为1，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上第一章~第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程可化成的形式，则等于　　 A． B．4 C． D．14 3．如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数 （ ）　　 A． B． C． D． 4．近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 5．如图，是的直径，是弦，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程满足，有两个相等的实数根，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 7．如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 8．如图，的半径为4，弦的长为，点为优弧上一动点，交直线于点，则△的面积的最大值是　　 A． B． C． D． 二．填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9．一元二次方程的两根为和，则 　． 10．如图，某同学准备用一根内半径为的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为，则槽的深度 为 　 　． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　． 12．已知，，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三条边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为 　 ． 13．如图，边长为的正方形内接于，分别过点，作的切线，两条切线交于点，则图中阴影部分的面积是 　 ． 14．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 　 　 ． 15．如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按点，，，，，循环，其弧长分别记为，，，，，，．当时，等于　 ． 16．如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 　 ． 三、 解答题(本大题共8小题，共102分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明) 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）（用配方法解）． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、．（网格小正方形的边长为． （1）请在图中标出圆心点位置，点的坐标为__________；的半径为 　　； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 19．（10分）已知矩形，，，点是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点． （1）如图1，连接，若是圆的切线， ①求证：； ②设与交于点，求的长． （2）若动点从点向运动，连接，作四边形关于直线对称的四边形，如图2．求点在运动过程中线段扫过的面积． 20．（10分）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 21．（10分）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且平分，求证：． 22．（10分）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 23．（10分）交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔．某品牌头盔在销售单价不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了． （1）求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额月销量单价）； （2）若该品牌头盔5月销售总额为7000元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超过10000元？ 24．（10分）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 25．（12分）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么__________秒后，的长度等于； （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果，分别从，同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在．请说明理由． 26．（14分）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单．【初步运用】 （1）如图1，四边形中，，，求的度数． 请完成思路分析：如图2，由知、、在以为圆心以为半径的圆上，由，可得__________．（本题直接填写答案，不用写出解答过程） 【方法迁移】 （2）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【问题拓展】 （3）①如图4，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为__________． ②如图5，在中，，是边上的高，且，，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $