6.4.3.1余弦定理教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦余弦定理的发现、证明及应用，以高铁挖隧道测量山脚长度为情境导入，抽象为三角形两边及夹角问题，衔接向量、三角函数等旧知，通过问题驱动引导学生用向量法探究边角关系。 此设计突出数学抽象与逻辑推理，情境创设激发兴趣，问题链推动学生用向量法、坐标法证明定理，例题涵盖解三角形及形状判断，培养数学运算素养，助力学生构建知识体系，为教师提供落实核心素养的结构化教学方案。

第二届学科网杯课件大赛教学设计表 组别 常德市高中数学周顺名师工作室 科目 数学 教学片段标题: 余弦定理 学情分析: 教学对象为当地一所普通农村高中高一年级的学生，从总体上看，学生的基础一般，部分学生的学习主动性还不够，需要教师一步步引导。在此之前，学生已经学习过勾股定理、三角函数、平面向量的基础上进一步学习余弦定理来解三角形，高一少部分学生虽然也具有一定的逻辑思维和运算能力，但能力不强所以在本节课的教学中要进一步培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。 教学目标： 1、在创设的问题情境中，发现余弦定理，并证明它，会运用余弦定理解三角形。 2、由问题推动研究出正弦定理，并采用数形结合的方式证明，逐步培养学生应用意识和应用能力。 3、通过发现、证明余弦定理运用余弦定理解三角形培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。 教学重难点: 重点：余弦定理的内容、证明及基本应用. 难点：余弦定理的发现及证明. 教学过程： 某地高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度？ 已知条件：1、选B点测得BC=200米，BA=300米. 2、用测角仪测得∠CBA= （1） 问题情景设置 c a b=？ 【设计意图】为了吸引学生的注意力，通过创设情景，不能直接测山脚的长度，能够测的以条件的形式给出，用悬念引导学生进入本节课程。 （二）问题推动，新知探究。 问题1：将以上情境抽象为三角形，由于图中涉及两边长及其夹角，请同学们思考从向量的角度可用什么方法来探讨图中的边角关系呢？ 问题2：如图设,,，如何用，表示？ 追问：如何将以上向量转换为模长呢？ 【设计意图】定理的发现与证明是本节课的重难点，我突破的方法是问题引导学生，从涉及两边及夹角联想到数量级进而转化到向量及模长上来，引导学生积极主动的思考。对余弦定理的发现采用的是由向量法来研究。 请同学们就=−转换为向量的模长展开讨论，并观察结论 总结特征。 【设计意图】在教师的引导下，学生分组讨论，合作交流，引导学生用向量法证明余弦定理。体现了数学新课标所倡导的积极主动，勇于探索的学习方式的课程理念。 三角形中边角关系的一个重要定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即 【设计意图】板书并说明这就是余弦定理的表达。几何画板让学生直观感受定理的正确性。 教师提问还有别的方法证明余弦定理吗？ 坐标法与几何法来证明。 【设计意图】为了培养学生的变式思维，勤于思考，善于解题的能力，引进坐标法来解决余弦定理的证明。 提出思考1： 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 【设计意图】通过公式的变形，能够很好的解决已知三角形三边解三角形三个角三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式。 提出思考2： 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？ 【设计意图】解释勾股定理是余弦定理的特例 如图，现已测得BC=200米，BA=300米，BC与BA的夹角为120度，请问此时山脚的长度是多少米？ 【设计意图】通过学习余弦定理完美的解决了山脚距离的问题。 （三）典例分析，知识运用。 例1.在∆ABC中， (1)若a=2，c=+，B=45°，求b及A. （2）若b=3，c=3，B=30°，求角A，C和边a. 【设计意图】 知识应用环节已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角. 例2. 在∆ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C. 已知三角形的三边求角的基本步骤 【设计意图】求第一个角——先利用余弦定理的变式求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角)求第二个角——继续用余弦定理求另一个角求第三个角——最后用三角形内角和定理求出第三个角。 例3. 在∆ABC中，已知(a+b+c)(b+c−a)=3bc，且sin A=2sinBcos C，试确定∆ABC的形状。 利用余弦定理的变式判断三角形的形状 【设计意图】通过例题3、余弦定理的变式，可以判断三角形的形状进一步达到培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养。 （4） 课堂小结，提炼升华。 1、 知识上： （1） 学到了余弦定理及变式； （2） 已知两边及一角和已知三边解三角形。 2、 思想上： (1) 转化化归；(2)数形结合；(3)分类讨论；(4)方程思想。 3、 方法上： （1） 向量法；（2）坐标法; (3)几何法。 【设计意图】充分发挥学生的主体地位，加深学生对本节内容的理解和掌握，提高学生的概括能力和表达能力，通过帮组学生构建知识结构体系达到进一步培养学生“四基”,“四能”和“数学学科核心素养”的目的。 （5） 作业布置，拓展升华。 必做题 1、在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状为( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 2、 在△ABC中，已知a= , b=2, c= , 解三角形。 选做题 1. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。 【设计意图】以作业的巩固性和发展性为出发点，设计了必做题和选做题两类题型，必做题是对本节课内容的反馈，而选做题可供学有余力的学生去探究，在探究思考的过程中学生能感受数学的实际应用价值。使学生都有收获，从而落实“双减”政策，真正实行“提质增效”的目标。 结束语： 新的数学方法和概念，常常比解决问题本身更重要。 — —华罗庚【设计意图】用我国著名数学家的名言结束我本次的活动，说明方法和概念的重要性 学科网（北京）股份有限公司 $