精品解析：安徽省A10联盟2025-2026学年高二上学期10月学情诊断数学试题（北师大版）

・A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（北师大版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关 3. “直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 不论何实数，直线过定点（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 8. 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆与圆有且只有一个公共点，则值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知关于，的二元一次方程表示一条直线，关于，的二元一次不等式或，则表示一个平面区域，如表示直线上的点以及直线右上方的点构成的平面区域.基于上述事实，记不等式组所表示的平面区域为，面积为S，则（ ） A. 若，则 B. 满足的的值有两个 C. “”是“为三角形”的充分不必要条件 D. 若五边形，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的标准方程为________. 13. 已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 14. 在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点，满足，则圆心的横坐标的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 16. 已知三条直线，，. （1）当三条直线交于一点时，求实数值； （2）三条直线有且只有两个交点，求实数的值. 17. 已知圆，圆. （1）若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求. 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为. （1）求的值； （2）点在直线上运动. （i）若，求的取值范围； （ii）点，，求当取得最小值时直线的方程. 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ・A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（北师大版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案. 【详解】设直线倾斜角为，，，则，故. 故选：. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题. 2. 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个. 【详解】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中， 有： 恒成立，故点P在圆外， 故选：A. 3. “直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质计算可得，再结合充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】由题意得，，解得或， 故“直线：与直线：相互垂直”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限，，， 且. 故选：B. 5. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 6. 不论为何实数，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 7. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程截距式，得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】设直线：，其中，， 由点在直线上， 得，得：，当且仅当，即，时等号成立， 故的面积，最小值为28，此时直线的纵截距为14. 故选：D. 8. 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 设直线OM（O为原点）斜率为， 由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时， 则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或， 所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切， 所以或，即或， 所以或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ） A. 圆心为，半径为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知关于，的二元一次方程表示一条直线，关于，的二元一次不等式或，则表示一个平面区域，如表示直线上的点以及直线右上方的点构成的平面区域.基于上述事实，记不等式组所表示的平面区域为，面积为S，则（ ） A. 若，则 B. 满足的的值有两个 C. “”是“为三角形”的充分不必要条件 D. 若为五边形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件作出组成的区域，进而可求出区域的面积，当时，根据对称性，即可判断A的正误；当时，，分析不满足题意，当时，分别求得直线与直线AD的交点E，和直线AB的交点F，进而可得和，由题意，可求出k值，分析可判断B的正误；当“为三角形”时，代入特殊点，可求得k的范围，根据充分、必要条件的定义，可判断C的正误；当直线过点时，组成的区域为四边形，此时为临界条件，分析即可得答案. 【详解】当时，，即连线左下方区域， 当时，，即连线左上方区域， 当时，，即连线右下方区域， 当时，，即连线右上方区域， 所以表示的平面区域是以，，，为顶点的正方形的边界及其内部， 直线恒过定点， 选项A:易知该正方形的面积为. 若，则， 由于直线过正方形的中心，其面积，故A正确； 选项B：因为直线过点，当时，， 所以当时，不存在的情况. 当时，联立，解得交点， 所以， 联立，解得交点， 所以， 所以， 解得，由，得，所以只有一条直线， 综上，满足的值只有一个，故B错误； 选项C：当直线过点时，直线与正方形组成区域为三角形， 此时，所以若为三角形，； 当直线过点时，， 所以若为三角形，， 综上，若为三角形，或， 所以“”是“为三角形”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：当直线过点，此时，此时组成的区域为四边形， 当时，为五边形，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平移可得平移后的圆心为，半径，即可得圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点，半径， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 即平移后圆心为，半径，故得到. 故答案为：. 13. 已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可. 【详解】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点，满足，则圆心的横坐标的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由圆与圆的位置关系即可. 【详解】设，因为， 所以， 即， 又圆上存在点，且满足， 所以两圆相交或相切， 因为圆的圆心在直线， 所以设圆心，由两圆的位置关系得： ， 解得：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程； （2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度. 【小问1详解】 由题设，所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 16. 已知三条直线，，. （1）当三条直线交于一点时，求实数的值； （2）三条直线有且只有两个交点，求实数值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程解得直线，的交点坐标为，把交点坐标为代入即可得解； （2）分析可知直线必与直线，其中之一平行，根据平行关系分析求解即可，注意检验. 【小问1详解】 联立直线，的方程得，解得， 即直线，的交点坐标为， 把交点坐标代入得，解得. 【小问2详解】 因为直线与直线相交，当三条直线有且只有两个交点时， 所以直线必与直线，其中之一平行. 当时，，解得， 此时，符合题意； 当时，，解得； 此时，符合题意； 综上所述：实数的值为或. 17. 已知圆，圆. （1）若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切，由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【小问1详解】 因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切 圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径 所以圆心距，， 所以，得，解得或. 【小问2详解】 当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交. 将两圆方程相减得直线的方程为. 所以圆心到直线的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为. （1）求的值； （2）点在直线上运动. （i）若，求的取值范围； （ii）点，，求当取得最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）应用斜率公式结合两角和正切公式计算求解； （2）（i）应用两点间斜率公式计算再数形结合得出范围；（ii）先求出点关于直线的对称点，再结合距离和最小应用点斜式得出直线方程. 【小问1详解】 直线斜率，倾斜角为，直线的斜率，倾斜角为， 则，则， 解得，故. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，直线：， 表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示， 记，，，， 其中，， 观察可知，，所以的取值范围为. （ii）作点关于直线的对称点， 则，解得，故； 此时， ， 故直线的方程为， 即. 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 【答案】（1），；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值； （3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值． 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 故所求切线方程为，； （2）连接交于点， 设，则， 在中， ， ∵，∴，∴，∴； （3）设切线方程为，即，的斜率为， 故圆心到切线的距离，得， ∴， ， 在切线方程中令可得， 故， ∴，此时，故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $