1.4.2 充要条件 课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件（课后练习） 姓名： 班级： 学号： 【基础通关】 一、单项选择题 1.设a，b∈R，则“a＜b”是“ab＜（）2”的（　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若“－1＜x－m＜1”成立的充分不必要条件是“＜x＜”，则实数m的取值范围是（　 ） A.{m｜－≤m≤} B.{m｜－≤m≤} C.{m｜m＜－} D.{m｜m≥} 3.设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是（　 ） A.a，b都为1 B.a，b都不为1 C.a，b中至少有一个为1 D.a，b都不为0 4.已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的（　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　 ） A.a＜0 B.a＞0 C.a＜－1 D.a＞1 6.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（　 ） A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜－2＜x＜2} C.{x｜－2＜x＜－1或1＜x＜2} D.{x｜－2＜x≤－1或1≤x＜2} 7.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在.则“有毛”是“有皮”的（　 ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件. 8.设集合A＝{x｜x2＋x－6＝0}，B＝{x｜mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（　 ） A.m∈{0，} B.m∈{0，－} C.m∈{0，－，1} D.m∈{0，，1} 二、多项选择题 9.“x＞3”的必要不充分条件可以是（　 ） A.x＞0 B.x≥2 C.x≥3 D.x＞5 10.下列命题中的真命题是（　 ） A.点到圆心的距离大于圆的半径是点在圆外的充要条件 B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C.A∩B≠B是B⊆A的必要不充分条件 D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 11.使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（　 ） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 三、填空题 12.写出x＞1的一个必要不充分条件： . 13.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② . 14.“a＜”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的 条件. 四、解答题 15.已知集合M＝{x｜－1＜x＜4}，N＝{x｜x－a＞0}. （1）当a＝1时，求M∩N，M∪N； （2）若x∈M是x∈N的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【能力提升】 16.设x，y∈R，求证｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0. 【拓展思维】 17.在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合；若问题中的a不存在，请说明理由. 问题：已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜1－a≤x≤1＋a}（a＞0），是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　？ 参考答案 1.A　解析：若a＜b，则（）2－ab＝＝＞0，即＞ab；若＞ab， 即－ab＝＝＞0， 则a－b＞0或a－b＜0， 所以若a，b∈R，则“a＜b”是“ab＜”的充分不必要条件.故选A. 2.B　解析：不等式－1＜x－m＜1等价于m－1＜x＜m＋1，由题意得“＜x＜”是“－1＜x－m＜1”成立的充分不必要条件，所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤.故选B. 3.C　解析：由ab＋1＝a＋b，可得（a－1）（b－1）＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选C. 4.B　解析：由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”， 故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件. 5.C　解析：一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是＜0，即a＜0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a｜a＜0}的真子集，又{a｜a＜－1}⊆{a｜a＜0}，故C正确.故选C. 6.D　解析：∵ 集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－2＜x＜1}，∴A∩B＝{x｜－1＜x＜1}，A∪B＝{x｜－2＜x＜2}，∴ 集合∁A∪B（A∩B）＝{x｜－2＜x≤－1或1≤x＜2}. 7.A　解析：由题意知，“无皮”⇒ “无毛”，所以“有毛”⇒ “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故选A. 8.B　解析：A＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}， 若m＝0，则B＝⌀，B⫋A， 若m＝1，则B＝{2}⫋A， 若m＝－，则B＝{－3}⫋A， ∴B⫋A的一个充分不必要条件是m∈. 9.ABC　解析：由x＞3，可得构成集合M＝{x｜x＞3}，结合选项可得集合{x｜x＞0}，{x｜x≥2}，{x｜x≥3}，可知集合M是以上三个集合中任意一个集合的真子集，所以x＞0，x≥2，x≥3都是x＞3的必要不充分条件.故选ABC. 10.AD　解析：选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件，故选项A为真命题；选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题；选项C：A＝{1，2，3}，B＝{0，2，3}，满足A∩B≠B，但B⊆A不成立.当B⊆A成立时，则A∩B＝B，所以A∩B≠B不成立，所以A∩B≠B是B⊆A的既不充分也不必要条件，故选项C为假命题；选项D：当x＝1，y＝时，满足“x或y为有理数”，但“xy为有理数”不成立；当x＝y＝时满足“xy为有理数”，但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题.故选AD. 11.BC　解析：从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意. 12.x＞0（答案不唯一） 解析：设p：x＞1，欲求的条件为q，根据必要不充分条件的定义，由p⇒q成立，而q⇒/p，因此x＞a，只要a＜1，都能作为条件q，不妨取a＝0，得x＞1⇒x＞0；反之，不成立. 13.两组对边分别平行　一组对边平行且相等 14.充分不必要　解析：若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a＜”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a＜”，即“a＜”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件. 15.解：（1）因为a＝1，所以N＝{x｜x＞1}， 所以M∩N＝{x｜1＜x＜4}， M∪N＝{x｜x＞－1}. （2） 若x∈M是x∈N的充分不必要条件，则有M⊆N. 因为N＝{x｜x－a＞0}＝{x｜x＞a}. 所以a≤－1. 16.证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0， 得｜x＋y｜＝｜y｜，｜x｜＋｜y｜＝｜y｜，所以等式成立. 当xy＞0时，x＞0，y＞0或x＜0，y＜0. 当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y，｜x｜＋｜y｜＝x＋y， 所以等式成立. 当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－（x＋y）， ｜x｜＋｜y｜＝－x－y＝－（x＋y）， 所以等式成立. 总之，当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立. ②必要性：若｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜且x，y∈R， 得｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2｜x｜｜y｜， 所以｜xy｜＝xy，所以xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件. 17.解：由题意知A＝{x｜0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4（两等号不能同时取得）， 又a＞0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合为{a｜a≥3}. 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4（两等号不能同时取得）， 又a＞0，解得0＜a≤1， 所以a存在，且a的取值集合为{a｜0＜a≤1}. 若选③，则A＝B， 所以 又a＞0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 学科网（北京）股份有限公司 $