制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒-【优+学案】2025-2026学年新教材六年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

综合与实践 制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒（答案P20) 通基仙》299》2% 3.某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作” 实践活动. 知识点制作一个容积尽可能大的无盖长方体 (1)综合实践小组利用边长为a(cm)的正方形 形收纳盒 纸板制作出了两种不同的长方体盒子（图①为 1.在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为 无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体 8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸 纸盒) 盒.三位同学分别以下列方式在长方形纸片上 截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成 个无盖的长方体纸盒 12 12 12 ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方 法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 D C D ① ⑨ ③ b(cm)的小正方形，再沿虚线折合起来，求长方 甲：如图①所示，四边形ABCD是正方形； 体纸盒的底面周长， 乙：如图②所示，四边形ABCD是正方形； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方 丙：如图③所示，四边形ABCD是长方形，AB 法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 =2AD. b(cm)的小正方形和两个同样大小的小长方 将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按 形，再沿虚线折合起来.如果a=30cm,b= 从大到小的顺序排列，正确的是( )》 5cm.求该长方体纸盒的体积. A.甲>乙>丙 B.甲>丙>乙 (2)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6,4， C.丙>甲>乙 D.丙>乙>甲 3,它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它 2.(2024·烟台栖霞期中)有两张长为9cm,宽为 的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形， 5cm的长方形硬纸板A,B,如果在A的四个 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58； 角上各截去一个边长为0.5cm的正方形，如 通过比较长方体表面展开图取得最大外围周 图①所示；在B的四个角上各截去一个边长为 长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么 1cm的正方形，如图②所示，然后把它们分别 规律？ 折叠成一个无盖的长方体小盒，请问哪个硬纸 板折叠成的小盒容积较大？为什么？ 一六年级·上册·数学：鲁教版 97 通能力》> 通素第>沙 4.小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该 5.用一张正方形的纸片制成一个如图所示的无 厂用一批长为12cm,宽为8cm的白纸板做无 盖长方体纸盒， 盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时， 工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制 作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使 【问题分析】 用.请根据活动完成相应的任务， (1)请你画出无盖长方体展开后的形状. (2)正方形纸片剪去的部分是什么形状？ 如图①所示是常见的一种 (3)如果原正方形纸片的边长为20cm,剪去的 设计方案甲：在白纸板上 图形的边长为xcm,请你用含x的代数式来 截去两部分（图中阴影部 活 分)，盒子底面的四边形 表示这个无盖长方体纸盒的容积， ABCD是正方形，然后沿 【实践探索】 D 虚线折成一个无盖的长方 (4)如果剪去的小正方形的边长按整数值依次 体包装盒 变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm, 任务1：请计算方案甲中包装盒的容积 6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，折成的无盖 长方体的容积分别是多少？请你将计算的结 为了增加包装盒的容积， 有人提议将包装盒设计成 果填人下表。 活 圆柱形.小明横着裁剪把 剪去图形的 2 3 5 6 7 89 10 长方形的长作为底面圆的 边长/cm 容积/cm 周长进行设计，如图②得 ② 方案乙. (5)请你制作适当的统计图，反映无盖长方体 容积的变化情况. 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积 (π取3).并判断容积是否变大 【实践分析】 (6)根据你绘制的统计图，分析猜想当剪去图 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了. 形的边长取什么值时，所得的无盖长方体的容 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 动 积最大？此时无盖长方体的容积是多少？ 三 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装 盒设计的新方案，且容积还大于50cm3. 【实践反思】 (7)对这个探究过程你还有什么疑惑？ 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算 其容积.（π取3） 98 优计学案·课时通95=120(万元)，补全条形统计图如图所示： +销售总额万元 (2)“篮球”所在扇形的圆心角度数为360×20 100=72. 180 B层作业： 150 12 10 90 (1)参加“素描”活动的学生占总体的百分比为：100× 0 100%=10%, (2)1500×10%=150(名)，所以估计该校有150名学 1月2月3月4月5月月份 生想参加“素描”活动. (2)36 【例2】思路分析：由条形统计图可知，出行方式中步 不同意.理由：4月份家电部的销售额为95×32%= 行的有60人，骑自行车的有90人，乘公共汽车的有 30.4(万元)， 150人，因此得出的总人数为60十90十150=300（人）， 家电部5月份的销售总额比4月份多了，不同意他 的看法 乘公共汽车的占50× ×100%=50%,60+90=150 300 36×28% (3)B =8.4%, (人)，所以选项A,B,D都是正确的，因此不符合题意； 120 选项C是不正确的，因此符合题意。 (4)D卖区销售额最差，应该加强管理. 答案：C 本章综合提升 【变式训练2】D解析：A、2015年~2019年国内生产 【本章知识归纳】 总值的年增长率逐年减小，此选项正确；B、2020年国 数值数据全体具体数目变化趋势 内生产总值的年增长率开始回升，此选项正确；C、这7 【思想方法归纳】 年中，每年的国内生产总值不断增长，此选项正确； 【例1】思路分析：(1)根据电脑有200台，占40%，可 D、这7年中，每年的国内生产总值的增长率有增有减， 得四种家电销售的总数量；(2)根据洗衣机销售的数量 而国内生产总值不断增长，此选项错误. 除以总销量，可得洗衣机销售的数量占总销量的百分 【通模拟】 比；(3)先求得冰箱的台数，再画出条形统计图，根据彩 1.A2.B3.C4.60 【通中考】 电的销量为150台，可得150÷500=30%，进而得出扇 5.C 形统计图. 解：(1)电脑有200台，占40%，则销售总量为： 综合与实践 200÷40%=500(台). 制作一个容积尽可能大的无盖 (2)洗衣机销售的数量占总销量的百分比为50÷ 长方体形收纳盒 500×100%=10%. 1.C (3)冰箱有500×20%=100（台），条形统计图如 2.解：硬纸板B折叠成的小盒容积较大.理由如下： 图所示： 硬纸板A折叠成的小盒容积为：[(9一0.5×2)× +数量/台 (5-0.5×2)]×0.5=16(cm3); 200 150 硬纸板B折叠成的小盒容积为：[(9一1×2)×(5 100 1X2)]×1=21(cm3). 50 因为16<21，所以硬纸板B折叠成的小盒容积 0 较大. 彩电冰箱洗衣机电脑产品 3.解：(1)①所折成的长方体纸盒的底面是边长为(a 因为彩电的销量为150台，故150÷500=30%，洗 2b)cm的正方形，因此长方体纸盒的底面周长为 衣机的销量为50台，50÷500=10%，所以扇形统计图 4×(a-2b)=(4a-8b)cm. 如图所示： ②由题意可知，所作出的长方体的长为a一2b= 电脑 洗衣机 40% 10% 20(cam）.宽为”2的-10(em,高为5m, 彩电 冰箱 所以体积为20×10×5=1000(cm3). 30% 20% (2)要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开 的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所 【变式训练1】解：A层作业： 示，其展开图的周长最大，最大周长为58. (1)篮球人数为100-(40+10+25+5)=20（人），补 全条形统计图如图所示 ↑人数 4.解：任务一： 宽AB=12÷4=3(cm),因为四边形ABCD是正方 乒乓球素描书法篮球足球项目 形，所以高AD=AB=3cm, 20 又因为长为：8一3=5(cm),所以方案甲中包装盒的 (7)通过统计图和统计表中的数据变化，当x=3cm 容积为：5×3×3=45(cm3). 时，容积为588cm3,此时是否为最大值，还需要进一 任务二： 步探究 因为把长方形的长作为底面圆的周长，设半径为 关注人口老龄化 rcm,所以2πr=12,所以r=2cm, 所以直径为4cm,所以高为8-一4=4(cm),所以圆 1.C解析：A.当地老年人选择A型休闲方式的人数 柱形包装盒的容积为πr2×4≈3×22×4= 最少，说法正确；B.当地老年人选择B型休闲方式 48(cm3). 350 7 的频率是50十350+400+200十50030，说法正角； 因为48>45，所以容积变大。 400 任务三：当半径为3cm时，如图所示. 12 C.6×50+350+400+200+500=1.6(万人)，即估 计当地6万名老年人中约有1.6万人选择C型休闲 方式，故选项C说法错误；D.这次抽样调查的样本 容量是1500，正确. 所以直径为6cm,所以高为8-6=2(cm),所以容 2.抽样调查 积为3×32×2=54(cm3). 3.解：因为第七次全国人口普查总人数约是14.1亿， 5.解：(1)将无盖的长方体纸盒的5个面展开如图 所以2020年我国60岁及以上老年人的人口数量是 所示. 14.1×(5%+14%)=14.1×0.19≈2.7（亿）. 4.解：(1)296.7 (2)2023年60岁及以上户籍老年人口的数量是： 296.7+23.3=320(万人)，填表如下： 老年人口数 老年人口占户籍 年份 量（单位：万人） 总人口的比例 (2)由展开图可知，正方形纸片剪去的部分是正 2021年 279.3 21.2% 方形 2022年 296.7 22.3% (3)由原正方形纸片的边长为20cm,剪去的图形的 边长为xcm,得 2023年 320 23% 纸盒的长为(20-2x)cm,宽为(20-2x)cm,高为 (3)14能.理由： x cm, 根据2021一2023年老年人口数量增长情况，估计到 所以容积为x(20一2x)(20-2x)=x(20一2x)2. 2024年老年人口约有340万人，有4%的老年人入 (4)=1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm, 住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机 8cm,9cm,10cm代人x(20-2x)2进行计算可得， 构，到2024年此市养老服务机构的床位数约14万 容积分别为：324cm3,512cm3,588cm3,576cm3, 张，所以能满足老年人的入住需求， 500cm°，384cm°，252cm3,128cm3,36cm3,0 5.解：(1)500 cm3,如下表所示： (2)D组的家庭数是：500-80-120一100-20 剪去图 40=140.补充条形统计图如图所示. 形的边 7 10 家庭数 长/cm 容积 32451258857650038425212836 0 /cm (5)用折线统计图表示剪去小正方形的边长x,与纸 AB C D E F每户老人数 盒容积的变化关系如下： 3)估计其中每户4位老人的家庭有：10X00=2.8 正方形的纸片制成无盖长方体纸盒剪去的 边长与容积的变化情况统计图 (万户). t容积/em 800 6.解：(1)100 600 5123887504 (2)30~3980~89 400L ----↓----95----- (3)1616% 200324. 28 3601 (4)该地区60岁以上（含60岁）的人口数约为： 1 2345678910边长/em 80000×16%=12800(人) (6)由统计图以及表格中的数据可得，当剪去图形的 边长3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时 7.解：(1)60 因为202=60（人），所以60X10%2 无盖长方体的容积是588cm3. 6(人)，60×35%=21（人）. 21