第三单元 角的度量（思维导图＋3考点＋2命题点+7种题型）-人教版四年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

第三单元 角的度量 【思维导图＋3考点＋2命题点+7种题型（含6种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 线段、直线、射线 考点二 角的认识及分类 考点三 角的度量及画角 04题型精研·考向洞悉 命题点一 角的认识 题型01 考察角的相关知识 题型02 数线段 题型03 数角 命题点二 角的度量及画角 题型01 利用角与角的关系求角的度 数问题 题型02 折纸中角的度数问题 题型03 钟面上的夹角度数问题 题型04 利用量角器或三角板画角 单元考点 考查 频率 新课标要求 线段、直线、射线 ★ 新课标要求学生需结合实例认识线段、射线和直线，说出三者的共性与区别。要了解线段有两个端点可度量，射线有一个端点、直线无端点且均能无限延伸；能结合生活实例感悟 “两点确定一条直线”“两点之间线段最短” 等基本事实，培养空间观念。 角的认识及分类 ★★ 新课标要求学生需结合生活情境与操作活动认识角，理解角由顶点和两条边组成的本质。低年级直观辨认锐角、直角、钝角；高年级扩充认识平角、周角，明确各类角的度数范围与大小关系。通过观察、分类等活动积累经验，发展空间观念与几何直观能力。 角的度量及画角 ★★★ 新课标要求学生需掌握角的度量与画角技能。会用量角器量角，明确操作规范；能用量角器画指定度数的角，也能用三角板画 30°、45° 等特定角。通过操作活动理解度量原理，比较角的大小，在过程中增强量感与空间观念。 【考情分析】本单元考查以基础概念和实操技能为主，易错点集中在量角时混淆内外圈刻度、画角漏标度数。 稍难题型多结合生活场景，如钟面夹角计算、数复杂图形中的角。整体侧重考查空间观念与实操能力，需通过强化基础操作和错题复盘提升得分率。 考点一 线段、直线、射线 1.认识线段、直线、射线 线段 直观认识线段 一根拉紧的线，绷紧的弦，线和弦的两端都是固定的，都可以看作线段。 特征 线段是直的，有两个端点。可以量出长度。线段两端的点就是剪短的端点。 表示方法 为了表述方便，可以用两个端点的字母表示线段。 表示为线段AB，读作：线段AB 生活实例 课桌、课本、直尺、黑板的每条直边都可以看作线段。 直线 初步认识 把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。 特征 直线是直的，没有端点，是无限延长的，不能测量长度。 表示方法 直线可以用表示直线上任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。 表示为直线l，读作：直线l 字母无先后顺序，也可以表示为直线BA 表示为直线AB，读作：直线AB 射线 初步认识 把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。 特征 射线是直的，只有一个端点，是无限长的，不能测量长度。 表示方法 射线可以用端点和射线上的另一点来表示。 表示为射线BA，读作：射线BA 表示为射线AB，读作：射线AB 注意：在读、写射线时，表示端点的字母必须在前。 生活实例 手电筒、探照灯、汽车灯、太阳灯射出来的光束，都可以看作射线。 2、线段、直线、射线的区别与联系 名称 区别 联系 图示 端点数量 延伸情况 能否测量 线段 2个 不能向两端延伸 可以测量 三者都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分 直线 无 可以向两端无限延伸 不能测量 射线 1个 只能向一端无限延伸 不能测量 3、经过指定的点画直线或射线 从一点出发画射线 过一点画直线 过两点画直线 图示 数量 无数条 无数条 只能画一条直线，即两点确定一条直线 【易错易混】 1、混淆“延伸”与“延长”：误以为线段能延伸（实际线段不能延伸，只能延长）。 2、搞错“能否测量”：误判射线、直线能测长度。 3、端点数量记混：混淆三者的核心特征。 4、生活实例对应错 1.（2024•山西长治•期中）下面是奇奇的部分家庭作业，他一共做对了（ ）道题。 （1）用尺子测量出一条直线长 4 厘米。（√） （2）直线比射线长。（×） （3）线段是它所在直线的一部分。（√） A．1 B．2 C．3 2.（2024•黑龙江•期中） 按要求画图。 （1）画出线段AB。 （2）画出直线AC。 （3）画出射线BC。 3.（2024•江西吉安•期中）“有始有终”指做事能够坚持到底，在数学上符合“有始有终”的是（ ）。 A．直线 B．射线 C．线段 4.（2024•全国•期中） 分一分。（将序号填在相应的横线上） 考点二 角的认识及分类 一、角的认识 1.角的定义和各部分名称从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫 作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 角的两条边可以无限延伸 2. 角的符号和表示方法角通常用符号“∠”来表示，读作“角”。 记作：∠1 记作：∠2 记作：∠O 记作：∠AOB 读作：角1 读作：角2 读作：角O 读作：角AOB 3.画角先画一个点，作为角的顶点；再从这个点向不同方向引出两条射线，作为角的两条边。 2、 角的分类 1、 角的种类 名称 图示 度数 定义 锐角 0°＜锐角＜90° 大于0°小于90°的角叫作锐角 直角 直角＝90° 等于90° 的角叫作直角 钝角 90°＜钝角＜180° 大于90°小于180° 的角叫作钝角 平角 平角＝180° 一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角 周角 周角＝360° 一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫作周角 2、 各类角之间的关系 （1）因为0°＜锐角＜90°＜，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°，所以锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 （2）1周角＝2平角＝4直角 1、（2024•新疆喀什•期中） 判断：角的两条边延长，角的大小不变，但用放大镜看角，角的度数变大了。( ) 2、（2024•福建龙岩•期中） 幸福小区要安装滑梯，设计师提供了以下三种类型的滑梯（如图所示）。 选择合适的滑梯要观察滑梯坡度面与地面所成的夹角，从安全与趣味性考虑，应该选择( )号滑梯，你的理由是：____________________________。 3、（2024•广东•期中） 大雁结群南飞过冬，飞行过程中一会排成“人”字，一会排成“一”字，“人”字形大雁群近似为110°的角，这个“人”字形角是一个( )角，它和一个( )°的( )角能拼成一个“一”字形角。 4、 （2024•河北保定•期中）2024年8月6日，巴黎奥运会女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵夺得冠军。主管教练陈若琳透露，为了备战“奥运会”，全红婵每天都要苦练207C（向后翻腾三周半抱膝），“向后翻腾三周半”，即是转 （ ）度。 A．800 B．1080 C．1260 考点三 角的度量及画角 1、 角的度量 1、 角的计量单位及表示符号 人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 2、 认识量角器 （1）量角器是把半圆分成180等份制成的，每1份所对的角的大小是1°，180等份即180°。 （2）中心两边各有1条0°刻度线，量角器上有两圈刻度。 左边的0°刻度线→外圈刻度（顺时针方向） 右边的0°刻度线→内圈刻度（逆时针方向） 3、 在量角器上找到指定度数的角 同一度数的角既可以在内圈刻度上找到，也可以在外圈刻度上找到，只是角的开口方向不同。 4、 用量角器量角：两重合，一对应 （1）两重合： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合。 线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 （2）一对应：看角的另一条边所对应的量角器上的刻度。 注意：确定好内、外圈刻度是读准度数的关键。 2、 画角 用量角器画指定度数的角 1、 定线：画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、 定点：在对应角的度数的刻度线的地方点一个点。 3、 连线：以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 记得标出角的符号和度数 1.（2024•福建厦门•期中）下图是一个活动角。如果把这个角的一边旋转40°，另一边旋转55°，那么得到的角的度数不可能是（ ）。 A．45° B．15° C．105° D．125° 2.（2024•全国•单元测） 从一个角的顶点引出一条射线，把它分成两个大小相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图①，∠1＝∠2，射线AD是∠BAC的平分线。 （1）在图②中画出角的平分线。 （2）如图③，A，O，C在同一条直线上，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC 的平分线，那么∠1＋∠2＝_______°。 3.（2024•河北邢台•期中）画出射线PQ和直线AQ，以线段AP为一条边画一个60度的角。 命题点一 角的认识 题型01 考察角的相关知识 1.（2024·安徽安庆·期末）这是东东画的一条长3cm的( )。生活中探照灯发出来的光线可以看作( )。从一点引出两条( )所组成的图形叫作角。 2.（2024·北京石景山·期末）下面说法不正确的是（ ）。 A．直线没有端点，射线只有一个端点 B．线段可以量出长度 C．直线和射线都可以无限延伸 D．角的两条边是线段 3.（2024·甘肃平凉·期末）用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角是（ ）。 A．20° B．30° C．40° D．300° 题型02 数线段 数线段：“端点数连加”法 1、解题步骤 （1）先数出线段上的所有端点； （2）计算“端点数－1”； （3）从“端点数－1”开始依次倒数至1相加； （4）相加得出的和就是这条线段上的总线段数。 2、公式 若线段有n个端点，总线段数＝( n－1)＋(n－2)＋…＋1 1. （2024·河南焦作·期末）下图中，共有( )条线段。 2. （2024·山东临沂·期中）下图中有( )条线段，有( )条射线，有( )条直线。 题型03 数角 数角：“边数连加”法 1、解题步骤 （1）先数出从同一顶点出发的所有边； （2）计算“边数－1”； （3）从“边数－1”开始依次倒序相加到1； （4）相加的和就是这个顶点处的总角数。 2、公式 若从同一顶点出发有n条边，总角数＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1 1.（2024·山东菏泽·期末）下图中共有( )个角。 2.（2024·河南信阳·期末）数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （ ） （ ） （ ） 角的个数/个 1 3 （ ） （ ） （ ） 命题点二 角的度量及画角 题型01 利用角与角的关系求角的度数问题 善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角）、三角尺中各个角、图中各角之间的关系和已知角等，求出未知角。 1.（2024·吉林白城·期末）.如图，已知∠1＝55°，下面正确的是（ ）。 A．∠2＝45° B．∠3＝135° C．∠4＝35° 2.（2024·河北保定·期末）王叔叔喜欢打台球，他发现球撞向桌边时就会向另一个方向弹走（如图所示）。 （1）已知∠1＝30°，∠2＝120°，则∠3＝（ ）°。 （2）王叔叔通过多次测量发现，球撞向桌边形成的角的度数和球弹走时与桌边形成的角的度数相等。请你根据这一发现，画出下面球从另一个方向弹走的角度和路线。 题型02 折纸中角的度数问题 此类题目解题关键：明确折起的角与原角是同一个角。 （2024·贵州黔西·期末）下图是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠2＝70°，那么∠1＝( )°。 题型03 钟面上的夹角度数问题 此类题目解题关键：牢记钟面上分针（或时针）转动 1 个大格是30°（即转动1个小格是6°。 1.（2024·湖南湘潭·期末）星期天上午，小明正在写作业，抬头看了一眼时钟，发现钟面上的分针正好指向12，且时针和分针所成的角的度数为60°，此时是（ ）：（ ）。请在钟面上画出此时间。 2.（2024·河南许昌·期末）2024年10月30日4时27分，搭载着神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。此时钟面上时针和分针所成的角是（ ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 D．平角 题型04 利用量角器或三角板画角 1、 用量角器画角 1、 画1条射线（角的一条边），量角器中心对准射线端点，0°刻度线对齐 2、 射线；找刻度点：在量角器上找到要画的度数，点一个点； 3、 连射线：从端点过刻度点再画1条射线，标度数。 2、 用三角板画角 1. 直接画（特殊角）选三角板上现成的角30°、45°、60°、90°： （1） 三角板顶点对准要画的角的顶点，一条边对齐起始线； （2） 沿三角板另一条边画射线，标度数。 2. 拼合画（和角）两块三角板的角拼一起（相加）： （1）边重合、顶点重合； （2）沿两边画射线，标度数。 1.（2024·新疆喀什·期末）画一个以A为顶点的80°的角，并写出是什么角。 2.（2024·浙江嘉兴·期末）绿地扩建施工中，工人们只用一副三角尺就能画一个135°的角。你知道他们是怎样做到的吗？请你用简单的语言描述一下，或者试着画一画（保留作图痕迹）。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 角的度量 【思维导图＋3考点＋2命题点+7种题型（含6种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 线段、直线、射线 考点二 角的认识及分类 考点三 角的度量及画角 04题型精研·考向洞悉 命题点一 角的认识 题型01 考察角的相关知识 题型02 数线段 题型03 数角 命题点二 角的度量及画角 题型01 利用角与角的关系求角的度 数问题 题型02 折纸中角的度数问题 题型03 钟面上的夹角度数问题 题型04 利用量角器或三角板画角 单元考点 考查 频率 新课标要求 线段、直线、射线 ★ 新课标要求学生需结合实例认识线段、射线和直线，说出三者的共性与区别。要了解线段有两个端点可度量，射线有一个端点、直线无端点且均能无限延伸；能结合生活实例感悟 “两点确定一条直线”“两点之间线段最短” 等基本事实，培养空间观念。 角的认识及分类 ★★ 新课标要求学生需结合生活情境与操作活动认识角，理解角由顶点和两条边组成的本质。低年级直观辨认锐角、直角、钝角；高年级扩充认识平角、周角，明确各类角的度数范围与大小关系。通过观察、分类等活动积累经验，发展空间观念与几何直观能力。 角的度量及画角 ★★★ 新课标要求学生需掌握角的度量与画角技能。会用量角器量角，明确操作规范；能用量角器画指定度数的角，也能用三角板画 30°、45° 等特定角。通过操作活动理解度量原理，比较角的大小，在过程中增强量感与空间观念。 【考情分析】本单元考查以基础概念和实操技能为主，易错点集中在量角时混淆内外圈刻度、画角漏标度数。 稍难题型多结合生活场景，如钟面夹角计算、数复杂图形中的角。整体侧重考查空间观念与实操能力，需通过强化基础操作和错题复盘提升得分率。 考点一 线段、直线、射线 1.认识线段、直线、射线 线段 直观认识线段 一根拉紧的线，绷紧的弦，线和弦的两端都是固定的，都可以看作线段。 特征 线段是直的，有两个端点。可以量出长度。线段两端的点就是剪短的端点。 表示方法 为了表述方便，可以用两个端点的字母表示线段。 表示为线段AB，读作：线段AB 生活实例 课桌、课本、直尺、黑板的每条直边都可以看作线段。 直线 初步认识 把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。 特征 直线是直的，没有端点，是无限延长的，不能测量长度。 表示方法 直线可以用表示直线上任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。 表示为直线l，读作：直线l 字母无先后顺序，也可以表示为直线BA 表示为直线AB，读作：直线AB 射线 初步认识 把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。 特征 射线是直的，只有一个端点，是无限长的，不能测量长度。 表示方法 射线可以用端点和射线上的另一点来表示。 表示为射线BA，读作：射线BA 表示为射线AB，读作：射线AB 注意：在读、写射线时，表示端点的字母必须在前。 生活实例 手电筒、探照灯、汽车灯、太阳灯射出来的光束，都可以看作射线。 2、线段、直线、射线的区别与联系 名称 区别 联系 图示 端点数量 延伸情况 能否测量 线段 2个 不能向两端延伸 可以测量 三者都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分 直线 无 可以向两端无限延伸 不能测量 射线 1个 只能向一端无限延伸 不能测量 3、经过指定的点画直线或射线 从一点出发画射线 过一点画直线 过两点画直线 图示 数量 无数条 无数条 只能画一条直线，即两点确定一条直线 【易错易混】 1、混淆“延伸”与“延长”：误以为线段能延伸（实际线段不能延伸，只能延长）。 2、搞错“能否测量”：误判射线、直线能测长度。 3、端点数量记混：混淆三者的核心特征。 4、生活实例对应错 1.（2024•山西长治•期中）下面是奇奇的部分家庭作业，他一共做对了（ ）道题。 （1）用尺子测量出一条直线长 4 厘米。（√） （2）直线比射线长。（×） （3）线段是它所在直线的一部分。（√） A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】（1）直线没有端点，无法测量的； （2）直线没有端点，无法测量的；而射线只有一个端点，也是无法测量的。两种不能比较长度； （3）直线是无限延伸的，而线段有两个端点，是直线上两点之间的部分。 【详解】（1）用尺子测量出一条直线长 4 厘米。这句话是错误的，奇奇判断为正确，他答错了这道题； （2）直线比射线长。这句话是错误的，奇奇判断为错误，他答对了这道题； （3）线段是它所在直线的一部分。这句话是正确的，奇奇判断为正确，他答对了这道题；综上，奇奇一共做对了 2 道题。 故答案为：B 2.（2024•黑龙江•期中） 按要求画图。 （1）画出线段AB。 （2）画出直线AC。 （3）画出射线BC。 【答案】见详解 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有 2 个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而画图即可。 【详解】如图所示： 3.（2024•江西吉安•期中）“有始有终”指做事能够坚持到底，在数学上符合“有始有终”的是（ ）。 A．直线 B．射线 C．线段 【答案】C 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此解答。 【详解】A．直线没有端点，即没有开始，没有终点，不符合“有始有终”的描述； B．射线有一个端点，有开始没有终点，不符合“有始有终”的描述； C．线段有两个端点，符合“有始有终”的描述。“有始有终” 指做事能够坚持到底，在数学上符合“有始有终”的是线段。 故答案为：C 4.（2024•全国•期中） 分一分。（将序号填在相应的横线上） 【答案】①；②⑩；④⑦；⑤⑧ 【分析】（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度； （2） 线段有两个端点，不能延伸，能量出长度； （3） 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度； （4） 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。根据相关定义进行筛选和分类即可。 【详解】直线：① 线段：②⑩ 射线：④⑦ 角：⑤⑧ 考点二 角的认识及分类 一、角的认识 1.角的定义和各部分名称从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫 作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 角的两条边可以无限延伸 2. 角的符号和表示方法角通常用符号“∠”来表示，读作“角”。 记作：∠1 记作：∠2 记作：∠O 记作：∠AOB 读作：角1 读作：角2 读作：角O 读作：角AOB 3.画角先画一个点，作为角的顶点；再从这个点向不同方向引出两条射线，作为角的两条边。 2、 角的分类 1、 角的种类 名称 图示 度数 定义 锐角 0°＜锐角＜90° 大于0°小于90°的角叫作锐角 直角 直角＝90° 等于90° 的角叫作直角 钝角 90°＜钝角＜180° 大于90°小于180° 的角叫作钝角 平角 平角＝180° 一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角 周角 周角＝360° 一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫作周角 2、 各类角之间的关系 （1）因为0°＜锐角＜90°＜，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°，所以锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 （2）1周角＝2平角＝4直角 1、（2024•新疆喀什•期中） 判断：角的两条边延长，角的大小不变，但用放大镜看角，角的度数变大了。( ) 【答案】× 【分析】角的大小由两边张开的大小决定，与边的长短无关。放大镜只会改变图形的视觉效果，不会改变角两边的张口大小，所以用放大镜看角，角的大小不变。【详解】角的两条边延长，角的大小不变，但用放大镜看角，角的度数变大了，这句话说法不对。 故答案为：× 2、（2024•福建龙岩•期中） 幸福小区要安装滑梯，设计师提供了以下三种类型的滑梯（如图所示）。 选择合适的滑梯要观察滑梯坡度面与地面所成的夹角，从安全与趣味性考虑，应该选择( )号滑梯，你的理由是：____________________________。 【答案】① ①号滑梯坡度适中，适中的坡度既能保证滑行速度，增加趣味性，又能确保安全性 【分析】选择滑梯时要考虑安全与趣味性。从安全角度考虑，滑梯的坡度（即滑梯面与地面的夹角）不宜过大，过大的坡度会增加滑行速度，可能导致儿童滑行时失控，存在安全隐患。从趣味性角度考虑，滑梯的坡度也不宜过小，过小的坡度会导致滑行速度过慢，缺乏刺激性和趣味性。因此，坡度适中的滑梯能兼顾安全性和趣味性。 【详解】由图可知，①号滑梯的坡度适中，②号滑梯的坡度过大，③号滑梯的坡度过小，因此从安全与趣味性考虑，应该选择①号滑梯，理由是：①号滑梯坡度适中，适中的坡度既能保证滑行速度，增加趣味性，又能确保安全性。（理由不唯一） 3、（2024•广东•期中） 大雁结群南飞过冬，飞行过程中一会排成“人”字，一会排成“一”字，“人”字形大雁群近似为110°的角，这个“人”字形角是一个( )角，它和一个( )°的( )角能拼成一个“一”字形角。 【答案】钝 70 锐 【分析】根据小于90° 的角是锐角，大于90° 小于180°的角是钝角，平角是 180°，结合题意分析解答即可。 【详解】110°大于90° 小于180°，所以这个“人”字形角是一个钝角；180° －110＝70°70° 是锐角，所以它和一个70°的锐角能拼成一个“一”字形角。 4、 （2024•河北保定•期中）2024年8月6日，巴黎奥运会女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵夺得冠军。主管教练陈若琳透露，为了备战“奥运会”，全红婵每天都要苦练207C（向后翻腾三周半抱膝），“向后翻腾三周半”，即是转 （ ）度。 A．800 B．1080 C．1260 【答案】C 【分析】一周＝360°，三周就是3×360°，半周就是360°÷2，然后将二者相加即可求出答案，据此作答。 【详解】根据上述分析可得：3×360°＝1080° 360°÷2＝ 180° 1080°＋180°＝1260°所以“向后翻腾三周半”，即是转1260度。 故答案为：C 考点三 角的度量及画角 1、 角的度量 1、 角的计量单位及表示符号 人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 2、 认识量角器 （1）量角器是把半圆分成180等份制成的，每1份所对的角的大小是1°，180等份即180°。 （2）中心两边各有1条0°刻度线，量角器上有两圈刻度。 左边的0°刻度线→外圈刻度（顺时针方向） 右边的0°刻度线→内圈刻度（逆时针方向） 3、 在量角器上找到指定度数的角 同一度数的角既可以在内圈刻度上找到，也可以在外圈刻度上找到，只是角的开口方向不同。 4、 用量角器量角：两重合，一对应 （1）两重合： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合。 线边重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 （2）一对应：看角的另一条边所对应的量角器上的刻度。 注意：确定好内、外圈刻度是读准度数的关键。 2、 画角 用量角器画指定度数的角 1、 定线：画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、 定点：在对应角的度数的刻度线的地方点一个点。 3、 连线：以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 记得标出角的符号和度数 1.（2024•福建厦门•期中）下图是一个活动角。如果把这个角的一边旋转40°，另一边旋转55°，那么得到的角的度数不可能是（ ）。 A．45° B．15° C．105° D．125° 【答案】C 【分析】根据题意，角的两条边可沿两种不同的方向旋转，一个是两边沿相反方向旋转，另一个是两边沿相同方向旋转，把两种不同方向旋转所得到的角计算出来，据此选择。 【详解】①如果两边沿相反的方向旋转，则可能得到的角为： 30°＋40°＋55°＝125° 40°－30°＋55°＝65° 55°－30°＋40°＝65° ②如果两边沿相同的方向旋转，则可能得到的角为： 30°＋40°－55°＝15° 30°＋55°－40°＝45° 因此，可能得到的角为：15°、45°、65°、125°，不可能得到的角是105°。 故答案为：C 2.（2024•全国•单元测） 从一个角的顶点引出一条射线，把它分成两个大小相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图①，∠1＝∠2，射线AD是∠BAC的平分线。 （1）在图②中画出角的平分线。 （2）如图③，A，O，C在同一条直线上，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC 的平分线，那么∠1＋∠2＝_______°。 【答案】（1）见详解（2）90 【分析】（1）根据角平分线的定义，先用量角器分别量出各角的度数，即把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，看另一条边对着的刻度（从0°刻度数起）就是角的度数；再把图②角的度数除以2算出结果，再把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，在角内部找到等于结果的刻度打上一点，再连接角的顶点和这一点作射线，就是这个角的角平分线。据此作图。 （2）根据题意，A，O，C 在同一条直线上，则∠AOC是平角，等于180°； OD，OE 分别是∠AOB，∠BOC的角平分线，则∠1＝∠AOD，∠2＝∠COE， 因∠AOD ＋∠1＋∠2＋∠COE＝180°， 所以∠1＝∠2的和等于180°的一半，即180°÷2 ＝ 90°。据此解答。 【详解】（1）经测量：图②的度数是120°，120°÷2＝60°所以，作图如下： （2） ∠AOC＝180° ∠1＝∠AOD ∠2＝∠COE ∠AOD＋∠1＋∠2＋∠COE＝ 180° 即（∠1＋∠2）×2＝180° ∠1＋∠2＝180°÷2＝90° 所∠1＋∠2＝90° 3.（2024•河北邢台•期中）画出射线PQ和直线AQ，以线段AP为一条边画一个60度的角。 【答案】见详解 【分析】根据射线只有一个端点，无限延长，直线没有端点，无限延长，分别画射线 PQ 和直线 AQ 即可；线段有两个端点，不能向两端延伸，据此连接 AP；量角器的中心点对准已知线段的端点，0 刻度线与线段 AP 重合，对准量角器 60 度的刻度线点一个点，把点和线段端点连接，然后标出角的度数即可。据此解答。 【详解】如图： 命题点一 角的认识 题型01 考察角的相关知识 1.（2024·安徽安庆·期末）这是东东画的一条长3cm的( )。生活中探照灯发出来的光线可以看作( )。从一点引出两条( )所组成的图形叫作角。 【答案】线段 射线 射线 【分析】线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；角有一个顶点，两条边，两边是两条射线。据此解答即可。 【详解】这是东东画的一条长3cm的线段；生活中探照灯发出来的光线可以看作射线。从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。 2.（2024·北京石景山·期末）下面说法不正确的是（ ）。 A．直线没有端点，射线只有一个端点 B．线段可以量出长度 C．直线和射线都可以无限延伸 D．角的两条边是线段 【答案】D 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸；从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。据此解答。 【详解】A．直线没有端点，射线只有一个端点。该选项说法正确。 B．线段有两个端点且有一定的长度，它的长度可以测量。该选项说法正确。 C．直线和射线都可以无限延伸。该选项说法正确。 D．角的两条边是射线。该选项说法错误。 故答案为：D 3.（2024·甘肃平凉·期末）用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角是（ ）。 A．20° B．30° C．40° D．300° 【答案】B 【分析】角的大小与边的长短无关，与两条边叉开的大小有关。用放大镜观察角，无论用多少倍的放大镜，角的两条边叉开的大小不变，角的度数不变。 【详解】用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角是30°。 题型02 数线段 数线段：“端点数连加”法 1、解题步骤 （1）先数出线段上的所有端点； （2）计算“端点数－1”； （3）从“端点数－1”开始依次倒数至1相加； （4）相加得出的和就是这条线段上的总线段数。 2、公式 若线段有n个端点，总线段数＝( n－1)＋(n－2)＋…＋1 1. （2024·河南焦作·期末）下图中，共有( )条线段。 【答案】10 【分析】线段是由两个端点确定的，因此我们需要找出所有可能的端点对，并判断它们是否构成了线段，再找端点对的时候，要做到避免重复。 【详解】以点 A 为端点的线段有：AB、AC、AD、AE； 以点B为端点的线段有：BC、BD、BE； 以点 C 为端点的线段有：CD、CE； 以点D为端点的线段有：DE。 4＋3＋2＋1＝10（条） 因此，共有 10 条线段。 2. （2024·山东临沂·期中）下图中有( )条线段，有( )条射线，有( )条直线。 【答案】9 14 2 【分析】根据对直线、射线、线段的认识，直线是把线段的两端无限延长，得到一条直线，射线是经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。把线段的一端无限延长，得到一条射线。线段是直线上任意两点之间的一段叫做线段。据此可数出线段、射线、直线的数量。 【详解】将图中的几个端点命名为 A、B、C、D、E、F，如图： 图中的线段有 AB、AC、AD、BC、BD、CD、EB、EF、BF，共有9条线段。根据射线的概念，其中 A、C、D、E、F 这 5 个点每个端点可有两个方向的射线，其中 B 点可有四个方向的射线，所以射线共有5×2＋4＝10＋4＝14（条）。图中的直线是线段 AD 所在的直线和线段 EF 所在的直线，所以有2条直线。 因此，图中有9条线段，有14条射线，有2条直线。 题型03 数角 数角：“边数连加”法 1、解题步骤 （1）先数出从同一顶点出发的所有边； （2）计算“边数－1”； （3）从“边数－1”开始依次倒序相加到1； （4）相加的和就是这个顶点处的总角数。 2、公式 若从同一顶点出发有n条边，总角数＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1 1.（2024·山东菏泽·期末）下图中共有( )个角。 【答案】10 【分析】数出由顶点延伸出的边数，再根据公式进行计算。 【详解】有顶点延伸出的边数是5条，边数－1＝5－1＝4，带入公式： 总角数＝4＋3＋2＋1＝10（个） 2.（2024·河南信阳·期末）数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （ ） （ ） （ ） 角的个数/个 1 3 （ ） （ ） （ ） 【答案】4；5；66；10；15 【分析】观察规律解答，2条射线组成一个角，射线的条数加1，角的数量等于＝射线的数量×（射线的数量－1）÷2，据此计算解答。 命题点二 角的度量及画角 题型01 利用角与角的关系求角的度数问题 善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角）、三角尺中各个角、图中各角之间的关系和已知角等，求出未知角。 1.（2024·吉林白城·期末）.如图，已知∠1＝55°，下面正确的是（ ）。 A．∠2＝45° B．∠3＝135° C．∠4＝35° 【答案】C 【分析】根据平角是180°，直角是90°的概念，通过已知的∠1的度数，结合平角和直角的度数来分别计算∠2、∠3、∠4的度数，进而判断选项的正确性。 【详解】A. 观察图形可知，∠1与∠2组成一个直角，直角是90°，那么∠2＝90°－∠1。已知∠1＝55°，所以∠2＝90°－55°=35°，故A选项错误。 B.  ∠2与∠3组成一个平角，平角是180°，那么∠3＝180°－∠2。由前面计算得∠2＝35°，所以∠3＝180°－ 35°=145°，故B选项错误。 C.  ∠1、直角与∠4组成一个平角，即∠1＋90°＋∠4＝180°， 那么∠4＝180°－∠1－90° 已知∠1＝55°，所以∠4＝180°－55°－90°＝35°，故C选项正确。 故答案为：C 2.（2024·河北保定·期末）王叔叔喜欢打台球，他发现球撞向桌边时就会向另一个方向弹走（如图所示）。 （1）已知∠1＝30°，∠2＝120°，则∠3＝（ ）°。 （2）王叔叔通过多次测量发现，球撞向桌边形成的角的度数和球弹走时与桌边形成的角的度数相等。请你根据这一发现，画出下面球从另一个方向弹走的角度和路线。 【答案】（1）30 （2）见详解 【分析】（1）平角是180°，根据图示可知，∠1、∠2和∠3组成一个平角，所以用180°减去∠1的度数，再减去∠2的度数，即可求出∠3的度数； （2）根据题意可知，弹走方向与桌边的夹角要画成70°；画角的步骤，使量角器的中心和O点重合，0°刻度线和已知射线重合，然后在量角器70°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【详解】（1）180°- 30°- 120°= 150°- 120°= 30°所以∠3 = 30°； （2）角度和路线如图： 题型02 折纸中角的度数问题 此类题目解题关键：明确折起的角与原角是同一个角。 （2024·贵州黔西·期末）下图是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠2＝70°，那么∠1＝( )°。 【答案】40 【分析】 如左图，由于是一张长方形纸折起来以后的图形，所以∠3＝∠2，由于∠1、∠2和∠3组成一个平角，所以∠1＝180－∠2－∠3；据此解答。 【详解】∠1＝180°－∠2－∠3= 180°－70°－70°＝40°即题图是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠2＝70°，那么∠1＝40°。 题型03 钟面上的夹角度数问题 此类题目解题关键：牢记钟面上分针（或时针）转动 1 个大格是30°（即转动1个小格是6°。 1.（2024·湖南湘潭·期末）星期天上午，小明正在写作业，抬头看了一眼时钟，发现钟面上的分针正好指向12，且时针和分针所成的角的度数为60°，此时是（ ）：（ ）。请在钟面上画出此时间。 【答案】10；00；图见详解 【分析】钟面上有12个大格，每一大格是30°。时针和分针所成的角的度数为60°，时针和分针之间有60°÷30°＝2个大格。分针正好指向12，时针指向2或10，时针和分针之间就有 2 个大格。小明在星期天上午写作业，时针指向10。 【详解】60°÷30°＝2（个） 星期天上午，小明正在写作业，抬头看了一眼时钟，发现钟面上的分针正好指向 12，且时针和分针所成的角的度数为60°，此时是10：00。作图如下： 2.（2024·河南许昌·期末）2024年10月30日4时27分，搭载着神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。此时钟面上时针和分针所成的角是（ ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 D．平角 【答案】B 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时27分，时针在 4 和 5 之间，分针指在5和6之间的第2小格，时针和分针相差大约1个大格，1×30°＝30°，30°角是锐角，所以钟面上时针和分针所成的角是锐角，据此解答即可。 题型04 利用量角器或三角板画角 1、 用量角器画角 1、 画1条射线（角的一条边），量角器中心对准射线端点，0°刻度线对齐 2、 射线；找刻度点：在量角器上找到要画的度数，点一个点； 3、 连射线：从端点过刻度点再画1条射线，标度数。 2、 用三角板画角 1. 直接画（特殊角）选三角板上现成的角30°、45°、60°、90°： （1） 三角板顶点对准要画的角的顶点，一条边对齐起始线； （2） 沿三角板另一条边画射线，标度数。 2. 拼合画（和角）两块三角板的角拼一起（相加）： （1）边重合、顶点重合； （2）沿两边画射线，标度数。 1.（2024·新疆喀什·期末）画一个以A为顶点的80°的角，并写出是什么角。 【答案】见详解；锐角 【分析】先从A点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器80°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角，小于90°的角是锐角。 【详解】根据分析画角如下： 2.（2024·浙江嘉兴·期末）绿地扩建施工中，工人们只用一副三角尺就能画一个135°的角。你知道他们是怎样做到的吗？请你用简单的语言描述一下，或者试着画一画（保留作图痕迹）。 【答案】见详解 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，可得到的角有90°＋45°＝135°，据此即可解答。 【详解】90°＋45°＝135°用等腰直角三角形的45°角与另一个直角三角尺的直角拼接即可得到一个135°的角。 画图如下： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $有两个端点 线段 可测量长度 有一个端点 线段、射线都可以看作直线的一部分。 线的认识 射线 不可测量长度 没有端点 直线 不可测量长度 定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角 角的符号“∠” 边 知识梳理 各部分名称 顶点边 度一 圆平均分成360份，将其中1份所对的角 作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1 度量工具：量角器一 把半圆分成180等份制成的 度量 角的度量单位 方法： 对准刻度 点点重合 线边重合 航角（大于0°而小于90°）、直角(90°)、钝角 (90°而小于180°)、平角(180°)、周角(360°) LLaG 角的度量 角的分类 大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角 1周角=2平角=4直角 用量角器画角 60 定点 连 画角 用三角尺画特殊角 60 会用量角器量角，能画指定度数的角 重难点 知道角的大小与两边张开程度有关，与边长无关 学法指导 读量角器时看错内外图刻度 易错点 画角后忘标角的符号和度数 Presented with xmind