专题13 特殊的平行四边形中的八大最值模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题13. 特殊的平行四边形中的八大最值模型 本专题包含特殊的平行四边形中的最值模型八大最值模型，主要有：将军饮马、将军遛马、将军过桥、逆等线、瓜豆模型（原理）、费马点模型、胡不归模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25山东八年级期末）如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）    A． B． C．17 D．18 【答案】B 【详解】解：如图过C作，取，过点E作于点H， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴，， ∵， ，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴当、、三点共线时最短， ∴，∴，故选B； 2．（2025湖北·校考二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作关于的对称点，连接，    ，， 沿直线翻折得到，， ， ，， ， 四边形为矩形，， 在中， ，当、、、四点共线时，最小， 最小为，的最小值为．故选：D． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，在上取一点G使得，连接，     ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴点P在直线上运动， 如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接， ∴，，即， ∴，即三点共线， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的周长最小值为，故选C．    4．（2025·安徽·校考一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（      ） A．10 B．10 C．5 D．5 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵，，∴，， 在和中∵，∴， ∴，同理，∴， 如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，， 在中，由勾股定理得， ∴四边形的周长，故选A． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：如图：∵正方形，∴，， 分别作于E，于F，则， ∴，∴， ∴，∴，由轴对称可得：， ∵，∴，又∵，∴，∴， ∵，根据垂线段最短可得：，∴，故的最小值为，故选：A． 6.（2025·四川·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．    ∵在菱形中，，∴， ∵，∴，，即．∴．∴． ∵∴当时，即F与重合时，有最小值 ∴的最小值．故选B． 7.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】解：过点G作，垂足为H，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， 由旋转得：，∴， ∵，∴∴，∴， ∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G在边上时，最小且，∴的最小值为4，故选：D． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__． 【答案】 【详解】解：如图取的中点K，连接，，，延长交于J，作于H． ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∵，，∴，∴是等边三角形， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G在直线上运动， 根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，的值最小， 在中，∵，，， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 10．（24-25上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时，∴四边形是长方形， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．      11.（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，    ∴，，∴是等边三角形 ∴∴ ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为．故答案为：． 12.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，，∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上， 同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 13.（2024·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 14.（24-25九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，，， 的垂直平分线是，， ，的最小值为， ，，的最小值为． 15．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图,连接,过点作,使得,连接.    ∵四边形是菱形,∴, ， ∴是等边三角形,∴, ∵,∴,∴, ∵,∴,∴,∴, ∵,，， ∴的最小值为．故答案为：. 16．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形，∴，∴， ∵是的中点，∴，∵，∴，∴， ∵分别是，的中点，∴，∴要使有最小值， 即最小，∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点，∴，∴， ∴，∴．∴的最小值是．故答案为：． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点 ∴∴ 在中，；∴故答案为：． 18．（2025·陕西·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．    ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，    ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 19．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，． ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长． ∵四边形是矩形，∴，，， ∴，．∵，∴，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：．  20．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于，连接，，    四边形是菱形，线段、互相垂直平分， 、关于对称，则，，即就是的最小值． ，，是等边三角形， ，．在中，， ，的最小值为． 21．（24-25九年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作点，并延长交于点，连接 ∵四边形是矩形，∴，，且，， ∴，∵，即，∴， ∴，即，∴，即，∴点为的中点，即， ∵，∴，且（对顶角相等）， ∴，∴，，且， ∴是的垂直平分线，∴，∴周长为， 当、、三点共线时此时值最小，为， 在中，，∴， ∵，∴周长的最小值为，故答案为： ． 22．（2025·山东·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．    【答案】 【详解】解：证明：四边形是正方形，， ，，，， 在上取点，使，连接，，，，    ，，，， ，， 作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得， 以、、为顶点的三角形周长的最小值为，故答案为：． 23．（24-25·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 【答案】     平行四边形     2 【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC， ∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形． （2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2， ∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形， ∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3， ∴， ∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″， ∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2． 24．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 25.（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 26.（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 27．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3） 【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，，， 四边形和四边形都是矩形，， ，， ，，， ，， ，故答案为：； ②，， ，故答案为：； （2）成立，理由如下：四边形是矩形， ，， 过点作，分别交，反向延长线于点， ，四边形和四边形都是矩形，， ，，， ，， ，； （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ，，， 四边形和四边形都是矩形，， ，， ，，， ，，，， ，，， ，四边形是矩形，， ，的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13. 特殊的平行四边形中的八大最值模型 本专题包含特殊的平行四边形中的最值模型八大最值模型，主要有：将军饮马、将军遛马、将军过桥、逆等线、瓜豆模型（原理）、费马点模型、胡不归模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25山东八年级期末）如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）    A． B． C．17 D．18 2．（2025湖北·校考二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（    ）    A．5 B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 4．（2025·安徽·校考一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（      ） A．10 B．10 C．5 D．5 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 6.（2025·四川·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 7.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C． D．4 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__． 10．（24-25上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      11.（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    12.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 13.（2024·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 14.（24-25九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 15．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 18．（2025·陕西·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    19．（24-25·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________． 20．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 21．（24-25九年级下·陕西渭南·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 ． 22．（2025·山东·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．    23．（24-25·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 24．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 25.（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 26.（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 27．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $